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出版者:Brooks Cole

作者:Steven Galovich

出品人:

页数:224

译者:

出版时间:2006-07-07

价格:USD 76.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780495108160

丛书系列:

图书标签:

Math
数学
学习
技巧
问题解决
思维训练
高等教育
教材
数学思维
逻辑推理
学术研究

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具体描述

This book introduces students to the process of doing mathematics and prepares them to succeed in higher-level mathematics courses. By discussing proof techniques, problem solving methods, and the understanding of mathematical ideas, the book provides a solid foundation for students majoring in mathematics, science, and engineering. Students will learn to grasp the underlying concepts of a subject and how to apply these concepts to solving problems. While being able to understand and reproduce proofs of theorems, they will also gain the ability to comprehend the connections among the important concepts and techniques of each subject. This book is intended for a course on proofs and mathematical reasoning, and could also be used as a supplemental text in courses such as algebra, analysis, and linear algebra.

《数学的奇妙旅程：探索从古代到现代的思维构建》本书带领读者踏上一段穿越时空的数学探索之旅，旨在揭示数学这门古老而又充满活力的学科是如何从最初的计数和测量演变为如今抽象而强大的工具。我们不满足于仅仅展示数学公式的冰冷逻辑，而是深入挖掘隐藏在这些符号背后的历史脉络、文化背景以及那些富有远见的思想家们是如何一步步构建起我们今天所依赖的数学世界的。第一部分：文明的基石——数学的起源与早期发展本部分追溯到人类文明的摇篮，考察最早的数学实践如何与日常生活紧密相连。我们将从美索不达米亚的泥板记录开始，探究古巴比伦人如何发展出令人惊叹的代数和几何知识，他们对位值系统的掌握如何超越了同时代的其他文明。随后，我们将目光投向尼罗河畔的古埃及。埃及的数学，植根于对土地边界的精确划分和宏伟金字塔的建造需求，展现了一种务实而又严谨的风格。通过分析著名的莱因德纸草书和莫斯科纸草书，我们将剖析古埃及人处理分数、体积计算以及他们独特的几何思维方式。紧接着，我们将进入古希腊文明的黄金时代。这不仅仅是数学的发展，更是哲学思维的爆发。欧几里得的《几何原本》不仅仅是一部几何学著作，更是一种公理化思维的典范，它确立了演绎推理的范式，影响了西方科学和哲学长达两千多年。我们将细致考察毕达哥拉斯学派对数与和谐关系的痴迷，以及阿基米德如何通过“穷竭法”预示了微积分的思想。他的洞察力如何将数学从纯粹的实用工具提升到抽象真理的探索。第二部分：跨越与融合——东方智慧与中世纪的沉淀当欧洲进入中世纪的沉寂期时，东方世界的数学正经历着蓬勃的发展。本部分将重点介绍印度和伊斯兰黄金时代的数学成就。印度的贡献至关重要，特别是他们对“零”这一概念的正式引入和系统化使用。我们探讨婆罗摩笈多（Brahmagupta）等数学家如何处理零和负数，以及他们对三角学（特别是正弦函数）的深入研究，这些成就为后来的全球数学发展奠定了坚实的基础。随后，我们将穿越到中世纪的伊斯兰世界。巴格达的智慧宫廷成为了连接东西方知识的桥梁。花拉子米（Al-Khwarizmi）的工作，不仅保存了希腊和印度的知识，更重要的是，他系统地发展了“代数”（Al-Jabr），将解决方程的方法提升到独立学科的地位。我们将看到阿拉伯数学家们如何精进三角学、球面几何，并在天文学和光学中应用这些复杂的数学工具。第三部分：文艺复兴与科学革命的催化剂文艺复兴时期，欧洲重新发现了古典智慧，并开始将其与新的实践需求相结合。本部分将聚焦于代数从求解特定方程到发展出更一般方法的演变。我们将审视费拉里（Tartaglia）和卡尔达诺（Cardano）在解三次和四次方程时的戏剧性竞赛，这极大地拓宽了我们对数字系统的理解，并间接引出了复数概念的早期萌芽。科学革命的到来，对数学提出了前所未有的精确性要求。伽利略、开普勒和笛卡尔的工作，标志着数学与物理世界的深度联姻。笛卡尔的解析几何，用坐标系将代数与几何无缝连接起来，为后来的动态研究铺平了道路。这种思维的转变，使得描述运动和变化成为可能。第四部分：微积分的诞生与现代数学的开启微积分，作为描述变化率和累积量的强大工具，是人类智力最伟大的成就之一。本部分将细致分析牛顿和莱布尼茨独立发展微积分的路径。我们将探讨他们如何运用极限、导数和积分的概念，成功地解析了行星运动、切线计算和面积求解等经典难题。我们也将简要提及对微积分基础（如极限的严格定义）的早期争议和后来的完善过程。随着微积分的成熟，数学开始走向更广阔的抽象领域。欧拉、高斯等巨匠的出现，标志着数学家们开始探索超越直接物理应用的纯粹结构。我们将触及数论的复兴，高斯在代数基本定理上的突破，以及非欧几里得几何的出现，后者彻底动摇了自欧几里得以来被奉为圭臬的绝对真理观。第五部分：十九世纪的严格化与二十世纪的格局重塑十九世纪是数学走向现代严谨性的关键时期。科西、魏尔斯特拉斯等人致力于为微积分奠定坚实的分析基础，使得函数、连续性和收敛性的定义变得无可指摘。这种对基础的深度反思，催生了集合论的萌芽。进入二十世纪，数学的研究范围空前扩大。我们将探讨抽象代数（群论、环论）如何揭示不同数学结构之间的内在联系；拓扑学如何研究空间在连续形变下保持不变的性质；以及哥德尔不完备性定理如何对数学自身的逻辑完备性提出了深刻的哲学挑战。本书的最终目标是展示，数学不是一套孤立的规则，而是人类理解世界、组织思维和追求真理的连续过程。从泥土上的刻痕到描述宇宙的复杂方程，我们所见的“Doing Mathematics”是一种永无止境的创造性活动。