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☆☆☆☆☆

出版者:Academic Press

作者:Steven H. Weintraub

出品人:

页数:272

译者:

出版时间:1996-8-20

价格:$119.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780127425108

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Math
• 微分形式
• 流形
• 拓扑
• 几何
• 数学分析
• 代数拓扑
• 张量分析
• 微分几何
• 高等数学
• 数学

拓扑几何中的黎曼流形：结构、度量与曲率 图书简介 本书深入探讨了现代微分几何的核心领域——黎曼流形理论。它旨在为读者提供一个全面而严谨的框架，以理解光滑流形上内在几何概念的构建、度量的选择及其对拓扑结构的影响。全书内容侧重于从基础概念出发，逐步构建起微分形式、张量分析、联络理论以及最终的曲率理论，力求清晰地揭示这些数学工具在描述空间弯曲性方面的强大能力。 第一部分：流形与光滑结构的基础 本部分奠定了理解黎曼几何的必要基础。我们首先回顾了拓扑空间的基本概念，特别是紧致性、连通性和分离公理，这些是定义流形结构的先决条件。随后，重点转向了光滑流形的正式定义。我们详细讨论了图册（charts）、坐标变换的光滑性要求，以及光滑结构的唯一性与非唯一性问题。 接下来的章节聚焦于流形上的分析工具。我们引入了切空间的概念，将其定义为流形上点处的线性近似空间，并展示了如何通过局部坐标系来理解其结构。向量场被定义为光滑切向量场的截面，并深入探讨了它们的李括号结构，这是理解流形上无穷小对称性的关键。 在函数和形式的构建方面，我们详细阐述了光滑函数的性质，特别是光滑划分（smooth partition of unity）在全局构造中的核心作用。然后，我们过渡到微分形式的代数结构，包括楔积（wedge product）和外导数（exterior derivative）。外导数的引入，特别是其满足德拉姆复形的封闭性与恰当性关系，为后续的积分和拓扑联系（如德拉姆上同调）打下了坚实基础。 第二部分：张量、度量与联络 在流形上引入几何测量的能力，依赖于张量场的概念。本部分从基础的张量代数出发，定义了张量场作为光滑截面，并详细分析了它们的收缩（contraction）和张量积。我们特别关注了对称张量和反对称张量，它们在定义度量和微分形式中的重要性。 核心内容是黎曼度量的引入。我们将其定义为一个正定、对称的二阶协变张量场。黎曼度量赋予了流形上任意两点之间长度、角度和体积的概念，从而将光滑流形提升为黎曼流形。在此基础上，我们推导了度量张量在局部坐标系下的具体表示，并探讨了上指标与下指标的升降操作。 为了在流形上进行微分运算，需要定义一个一致的“导数”概念。本部分详细阐述了仿射联络（affine connection）的公理化定义，特别是要求其满足挠率消失（torsion-free）的条件，从而导出了列维-奇维塔联络（Levi-Civita connection）。我们展示了如何利用黎曼度量唯一地确定这个联络，并深入分析了平行移动（parallel transport）的概念，这是连接不同切空间的关键工具。 第三部分：测地线与曲率的几何 有了联络，我们便可以研究流形上“最短路径”的推广——测地线。本部分通过变分法原理，导出了测地线的测地线方程，即在联络下保持零协变导数的曲线。我们分析了黎曼流形上测地线的局部存在性与唯一性定理，并讨论了完备性的概念。 几何的本质体现在对空间弯曲程度的量化上，这由曲率张量来描述。我们首先从曲率形式（curvature form）的角度引入黎曼曲率张量，并展示了它如何衡量切向量在平行移动过程中产生的非交换性。接着，我们将重点放在了曲率张量的具体分量计算上，分析了其满足的第一布安基恒等式。 为了简化分析，我们引入了更低阶的曲率不变量。里奇曲率张量（Ricci curvature tensor）作为黎曼曲率张量的收缩形式，揭示了体积的局部变化率，并在爱因斯坦场方程中占据核心地位。随后，我们讨论了里奇标量曲率（Scalar curvature），它是衡量整体弯曲度的单一数值。 第四部分：经典几何的统一与应用 最后一部分将理论应用于经典的几何对象。我们讨论了截面曲率（sectional curvature）的概念，展示了它是通过二位子空间上的黎曼曲率张量定义的，并阐明了常曲率空间（如球面和双曲空间）的几何特性。 我们还探讨了黎曼测地线和等距变换，分析了保持度量的光滑变换群（等距群）的性质。最后，本书以霍奇理论的初步概念为结语，简要回顾了德拉姆上同调如何与黎曼度量相结合，通过拉普拉斯算子和霍奇分解，揭示流形的拓扑不变量与微分结构之间的深刻联系，为读者进入更深层次的几何与拓扑研究指明方向。 本书适合于具有坚实的多变量微积分、线性代数以及初步拓扑学基础的研究生和高年级本科生。它要求读者具备严谨的数学思维和对抽象概念的接受能力。

评分☆☆☆☆☆

Why does a mirror reverse left and right? The answer, of course, is that it doesn’t. To see this, imaging standing in front of a mirror holding an arrow pointing to your right. Then the image of the arrow in the mirror will also point to your right. The ...

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Although many typos are contained in the book, the contents are readable.

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