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出版者:Oxford University Press, USA

作者:Glyn Harman

出品人:

页数:320

译者:

出版时间:1998-8-13

价格:USD 275.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780198500834

丛书系列:

图书标签:

• 数论
• 度量理论
• 丢番图逼近
• 实数
• 超越数
• 调和分析
• 谱理论
• 概率论
• 傅里叶分析
• 几何数论

《代数拓扑中的纤维丛与陈类》 作者： [虚构作者姓名] 出版信息： [虚构出版社名称]，[出版年份] --- 内容简介：一部深入探索现代几何学核心概念的著作 《代数拓扑中的纤维丛与陈类》是一本旨在为研究生和高级本科生提供坚实基础的教科书，专注于代数拓扑学中最为核心且具有深远影响力的两个概念——纤维丛 (Fiber Bundles) 和 陈类 (Chern Classes)。本书摒弃了对基础拓扑学的冗长回顾，而是直接切入主题，力求以严谨的数学语言、清晰的逻辑结构和丰富的几何直观，将读者引向微分几何、K理论乃至现代物理学中这些工具的实际应用前沿。 本书的结构设计遵循由浅入深、由基础构建到高级理论的递进路线，共分为五大部分，二十个章节。 第一部分：纤维丛的基本结构与分类（第 1-4 章） 本部分奠定了全书的几何基础。我们首先从向量丛 (Vector Bundles) 的精确定义出发，详细讨论了局部平凡性、过渡函数和结构群的严格要求。关键在于建立向量丛与局部坐标系之间的关系，并引入了丛空间的内蕴结构。 接下来的章节深入探讨了主纤维丛 (Principal Fiber Bundles) 的概念，并阐明了向量丛与其对应的作为其线性群的结构群上的主丛之间的规范联系。章节的重点在于丛的构造，包括拉回 (Pullbacks) 和张量积 (Tensor Products) 运算如何产生新的丛。我们用大量的例子，如切丛 (Tangent Bundles)、共切丛 (Cotangent Bundles) 和典范丛 (Canonical Bundles)，来具体化抽象定义。 最关键的是，本部分详细阐述了丛的分类理论。我们引入了同伦群 (Homotopy Groups) 在丛分类中的作用，并探讨了霍普夫不变量 (Hopf Invariant) 在低维情形下的分类意义。本部分致力于确保读者能够熟练地从拓扑空间 $X$ 上的局部性质推导出全局结构。 第二部分：联络、曲率与几何结构（第 5-8 章） 在建立了纤维丛的拓扑框架后，本部分开始引入微分几何的工具，关注于丛上的微分结构。 联络 (Connections) 是本部分的核心。我们详尽地介绍了联络的定义、无穷小生成元以及它们如何诱导出丛空间上的微分结构。不同于纯粹的拓扑视角，本部分强调了联络在切空间与纤维空间之间“平行移动”的物理和几何直观。我们详细分析了水平子空间 (Horizontal Subspaces) 的存在性和唯一性，并探讨了霍奇理论在向量丛上的初步应用。 曲率 (Curvature) 作为一个核心概念贯穿始终。我们定义了联络的曲率张量，并深入分析了盖尔-马瑟尔-韦伊 (Weil) 的理论框架，探讨了曲率如何编码了丛的内在几何信息。本部分的一个亮点是对曲率形式的积分性质的初步探讨，预示着陈类的出现。 此外，本部分还讨论了典范联络 (Canonical Connections)，例如在球面丛上的联络，并为下一部分中将要讨论的纤维丛上的整体不变量奠定了基础。 第三部分：陈类——拓扑不变量的构建（第 9-13 章） 第三部分是本书的理论高潮，专注于陈类的构建、性质与解释。 第 9-10 章：陈类族与外微分形式 我们从外黎曼-罗赫 (Riemann-Roch) 公式的早期思想出发，正式引入了陈类的定义。首先，我们通过庞加莱对偶 (Poincaré Duality) 和上同调理论 (Cohomology Theory)，定义了第一陈类 $c_1(E)$。随后，我们扩展到陈类 $c_k(E)$ 的定义，重点考察了庞加莱-伯克霍夫-怀特 (Poincaré-Birkhoff-Whitney) 理论，利用陈-西蒙斯 (Chern-Simons) 形式来表达陈类在奇异上同调中的代表元。 第 11-13 章：陈类的基本性质与构造定理 本部分详细阐述了陈类是如何满足乘法性质（如张量积下的加法）、自然的结构（对丛映射的保持）以及上同调环中的行为。我们全面地展示了韦伊代数 (Weil Algebra) 的结构，并严格证明了陈类存在性定理——即存在一组唯一的上同调类，其在特定构造下与曲率形式相关联。 此外，我们详细分析了欧拉类 (Euler Class) 与陈类的关系，以及汤姆生成元 (Thom Generators) 在陈类理论中的关键作用。我们还引入了陈-魏伊（Chern-Weil）同构，揭示了微分几何中的曲率信息如何精确地控制拓扑空间的上同调结构。 第四部分：拓扑与几何的桥梁：同伦与K理论（第 14-17 章） 本部分将视角从纯粹的代数拓扑和微分几何扩展到现代代数拓扑的核心领域——K理论 (K-Theory)。 我们首先回顾向量丛上的拓扑 K 理论 $K(X)$，将其定义为丛的同构类构成的群，并详细讨论了其群结构（直和与张量积）以及环结构。K理论与陈类之间的深刻联系通过陈示性映射 (Chern Character Map) 得以建立，该映射将 K 理论元素映射到有理系数的上同调群中，并精确地对应于陈类组合。 接下来的章节探讨了稳定等价性 (Stable Equivalence) 和丛的分解定理。我们引入了向量丛的匹兹堡分解 (Pittsburg Decomposition) 的思想，并阐述了布蒂–格罗滕迪克 (Bott–Grothendieck) 定理，强调了 K 理论在处理“扭曲”丛时的优越性。 本部分最后讨论了拓扑学中的奇点理论，即如何利用陈类来理解特定拓扑空间（如球面）上的向量丛的“不可能存在”性。 第五部分：高级应用与展望（第 18-20 章） 最后一部分将理论应用于更广阔的数学和物理领域。 狄拉克指数定理的纤维丛视角： 我们从纤维丛的角度重新审视了阿蒂亚-辛格指数定理 (Atiyah-Singer Index Theorem)，展示了如何利用向量丛上的狄拉克算子 (Dirac Operator) 的性质，通过旋转指标 (Rotational Index) 与陈类之间的关系来计算算子的零模。 规范场论与陈类： 本部分探讨了陈类在理论物理中的直接解释，特别是在规范场论 (Gauge Theory) 中。我们讨论了汤姆斯瞬子 (Thouless Instantons) 和磁单极子 (Magnetic Monopoles)，其中陈类自然地作为荷 (Charge) 的量化指标出现。我们讨论了第一陈类与磁荷的关系。 高阶理论简介： 最终章节提供了对未来研究方向的概览，包括特征类 (Characteristic Classes) 的广义理论、Hodge理论在代数几何中的推广，以及非交换几何中纤维丛概念的重新诠释。 --- 目标读者与特点 本书假设读者已具备扎实的点集拓扑学、抽象代数和基础微分几何的知识。我们刻意避免了过多关于代数几何中代数簇的讨论，而是专注于微分流形上的向量丛。 本书的特点在于： 1. 几何直觉先行： 强调在引入严格定义之前，通过具体的几何实例（如球面、环面）来建立对纤维丛的直观理解。 2. 强调上同调的威力： 深度展示了上同调理论（特别是实系数和有理系数上同调）是如何成为计算和区分纤维丛的决定性工具。 3. 结构化证明： 许多关键定理的证明采用了模块化的方式，允许读者在理解不同层面的工具（拓扑、分析、代数）后，再串联起来形成完整的理论图景。 《代数拓扑中的纤维丛与陈类》旨在成为一本严谨、全面且具有挑战性的参考书，为读者在纯数学和理论物理领域继续深入探索打下不可或缺的基础。

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