Bilinear Forms and Zonal Polynomials pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Mathai, A. M./ Provost, Serge B./ Hayakawa, Takesi

出品人:

页数:388

译者:

出版时间:1995-5

价格:$ 145.77

装帧:Pap

isbn号码:9780387945224

丛书系列:

图书标签:

• Bilinear Forms
• Zonal Polynomials
• Harmonic Analysis
• Special Functions
• Representation Theory
• Mathematics
• Algebra
• Analysis
• Combinatorics
• Orthogonal Polynomials

深入解析黎曼几何的边界：几何测度、微分拓扑与奇异性分析 图书名称：黎曼测度与奇异流形上的拓扑不变量 ISBN：待定 页数：约 650 页 目标读者：高等数学、微分几何、拓扑学、理论物理学及相关领域的研究人员与高级研究生。 --- 图书概述 《黎曼测度与奇异流形上的拓扑不变量》是一部聚焦于现代微分几何核心领域——黎曼几何、测度论在弯曲空间中的延伸，以及处理拓扑结构在具有边界或奇点的复杂流形上行为的专著。本书旨在填补经典黎曼几何教科书中对非光滑或具有高度对称性结构的区域分析的不足，为读者提供一套严谨的数学工具，用于探究测度如何在度量空间中自然地“流动”和“畸变”。 本书的结构设计遵循从基础概念的重构到前沿问题的深入探讨的路径，重点在于几何测度的精确定义、拓扑不变量的构造方法，以及在奇异性附近如何维持分析的有效性。我们避免了对特定代数结构的过于侧重，而是将精力集中于几何对象本身在不同尺度和拓扑环境下的内在性质。 第一部分：基础重构与测度论的几何化 本部分着重于巩固读者对传统微分几何框架的理解，并将其提升至更具分析性的高度。 第一章：流形上的测度与体积形式的推广 本章从勒贝格测度与哈尔测度的概念出发，系统性地探讨曲率张量对体积形式（或称为黎曼测度）的影响。我们详细分析了李导数（Lie Derivative）在体积形式上的作用，并引入了“曲率依赖的平移不变性”这一概念，用以描述测度在非欧几里得空间中的相对稳定性。重点讨论了通过特定坐标变换（如局部坐标系下的雅可比行列式）来重构一致测度的方法，为后续奇异点分析奠定基础。 第二章：微分形式、外微分与霍奇理论的拓扑基础 尽管本书关注测度，但对拓扑结构的研究是不可或缺的。本章回顾了德拉姆上同调（de Rham Cohomology），但着重于“弱上同调”在非光滑域上的适用性。我们引入了对“广义微分”的讨论，即允许导数在某些零测度集合上不连续的函数的处理方式。通过对霍奇分解定理的推广，我们探讨了在度量不完备（如希尔伯特空间中的嵌入）情况下，微分形式的积分如何精确反映流形的拓扑特征（如贝蒂数）。 第三章：几何不等式与能量最小化 本章转向变分法在黎曼几何中的应用。我们详细考察了泊松方程（Poisson Equation）在弯曲空间中的等价形式——拉普拉斯-贝尔特拉米算子（Laplace-Beltrami operator）。重点分析了庞加莱不等式（Poincaré Inequality）的几何版本，即在具有特定下界曲率的流形上，函数空间与其梯度空间之间的关系。这部分内容通过能量泛函的最小化，揭示了测度驱动下的几何演化路径。 第二部分：奇异性分析与边界行为 这是全书的核心所在，涉及如何处理那些传统微分方法失效的区域。 第四章：度量奇异点与渐近分析 本章定义了流形上的“度量奇点”——那些使黎曼度量张量（$g_{ij}$）的行列式趋于零或发散的点集。我们利用局部坐标系的正则化技术（如引入具有奇点的极坐标或锥形坐标），对这些奇异点周围的测度行为进行高阶渐近展开。我们探讨了“渐近平坦”度量（如与闵可夫斯基空间在无穷远处一致的度量）的推广，并讨论了其对全局拓扑的影响。 第五章：流形上的边界值问题与狄利克雷条件 当流形具有物理或几何边界时，边界的性质直接决定了内部测度的分布。本章深入研究了具有非平凡边界的区域上的拉普拉斯方程。我们详细分析了狄利克雷（Dirichlet）边界条件在弯曲表面上的具体实现，以及如何通过引入“表面测度修正项”来保证解的能量最小化。特别关注了“锥形奇点”边界（例如，一个尖锐边缘的二维流形）周围的解的局部结构。 第六章：规范不变性与几何流 本章将分析工具应用于动力学系统。我们考察了几何流（如Ricci流或Mean Curvature流）在奇异空间上的演化。核心在于如何保持规范不变性（Gauge Invariance）下的测度守恒。我们引入了“流形切空间上的规范选择”，并证明了在满足特定正则性假设下，解的存在性与唯一性可以通过对测度偏差的控制来保证。这一章的分析工具主要依赖于Sobolev 空间的推广，以适应解可能在小集合上不光滑的情况。 第三部分：拓扑不变量的构造与几何不变量的关联 本部分旨在连接测度分析与拓扑分类的宏观问题。 第七章：热核展开与谱几何的边界效应 谱几何是连接黎曼几何与拓扑学的重要桥梁。本章重点分析了拉普拉斯-贝尔特拉米算子的特征值谱。我们详细推导了热核（Heat Kernel）在具有边界或奇点的流形上的渐近展开公式，并展示了魏尔极限公式（Weyl's Law）如何被边界的拓扑性质（如边界曲率）所修正。通过分析特征值的微扰，我们获得了关于流形拓扑结构的新的不变量。 第八章：拓扑不变量的构造：环形同调与切丛的积分 本章讨论了如何从黎曼测度中提取出全局拓扑信息。我们引入了切丛（Tangent Bundle）上的纤维化结构，并利用切空间测度的平均值来构造新的拓扑不变量。这包括对第一陈类（First Chern Class）在弯曲空间上的积分表示的几何化解释，并探索了Chern-Weil理论在非完备度量下的适用范围。我们着重于那些不依赖于特定坐标选择的全局积分量。 第九章：黎曼空间上的测度收敛性与拓扑稳定性 最后的章节探讨了在参数空间中，黎曼度量如何变化时，流形的拓扑结构保持不变的条件。我们引入了 Gromov-Hausdorff 测度收敛的概念，并探讨了 Gromov-Lawson 猜想的几何版本：即在哪些条件下，度量上的微小扰动不会导致拓扑结构的突变。本书最后以对“奇异极限空间”（如某些树状图或扇形空间）的测度分布的精确描述作结，为研究复杂系统的几何拓扑分类提供了坚实的分析基础。 --- 本书特点： 1. 分析深度与几何直觉相结合： 在严谨的数学推导中，始终贯穿着对几何对象内在行为的深刻洞察。 2. 聚焦非光滑区域： 专门针对传统教材回避的、具有度量奇点或边界的流形结构进行系统分析。 3. 工具的系统性重构： 侧重于将测度论和泛函分析的方法论应用于弯曲和奇异空间。 本书是微分几何、几何分析和拓扑学交叉领域研究的必备参考书。

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