A Course in Convexity pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Amer Mathematical Society

作者:Barvinok, Alexander

出品人:

页数:366

译者:

出版时间:2002-11

价格:502.00 元

装帧:HRD

isbn号码:9780821829684

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

Math
数理
MathTopology
Convexity
Optimization
Mathematical Analysis
Functional Analysis
Geometry
Mathematics
Pure Mathematics
Graduate Level
Textbook
Convex Sets

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具体描述

Convexity is a simple idea that manifests itself in a surprising variety of places. This fertile field has an immensely rich structure and numerous applications. Barvinok demonstrates that simplicity, intuitive appeal, and the universality of applications make teaching (and learning) convexity a gratifying experience. The book will benefit both teacher and student: It is easy to understand, entertaining to the reader, and includes many exercises that vary in degree of difficulty. Overall, the author demonstrates the power of a few simple unifying principles in a variety of pure and applied problems. <P>The notion of convexity comes from geometry. Barvinok describes here its geometric aspects, yet he focuses on applications of convexity rather than on convexity for its own sake. Mathematical applications range from analysis and probability to algebra to combinatorics to number theory. Several important areas are covered, including topological vector spaces, linear programming, ellipsoids, and lattices. Specific topics of note are optimal control, sphere packings, rational approximations, numerical integration, graph theory, and more. And of course, there is much to say about applying convexity theory to the study of faces of polytopes, lattices and polyhedra, and lattices and convex bodies. <P>The prerequisites are minimal amounts of linear algebra, analysis, and elementary topology, plus basic computational skills. Portions of the book could be used by advanced undergraduates. As a whole, it is designed for graduate students interested in mathematical methods, computer science, electrical engineering, and operations research. The book will also be of interest to research mathematicians, who will find some results that are recent, some that are new, and many known results that are discussed from a new perspective.

探索数学的坚实基石：一种关于优化、几何与计算的深入旅程数学的浩瀚宇宙中，有一片区域以其独特的美学和强大的实用性，吸引着无数的探索者。这片区域便是“凸集”与“凸函数”的理论，它们构成了现代数学中至关重要的一支，深刻影响着优化、几何、概率、统计乃至人工智能等众多学科的发展。本书旨在带领读者踏上一段严谨而详实的数学旅程，深入挖掘凸集和凸函数的核心概念，揭示它们背后的深刻原理，并展现其在解决实际问题中的强大力量。我们所构建的数学世界，其基石之一便是“集合”的概念。本书将首先从点集出发，系统地介绍各种重要的集合类型，并重点阐释“凸集”这一核心概念。读者将了解到，一个集合之所以被称为凸集，在于其内在的几何性质——连接集合内任意两点的线段也必须完全包含于该集合内部。这种看似简单的几何直觉，却蕴含着强大的数学力量。我们将深入探讨凸集的定义、基本性质，以及一些经典的凸集例子，例如超平面、半空间、多面体、球体以及各种锥体。对于这些基础概念，本书将提供清晰的数学表述，并辅以直观的几何解释，确保读者能够从不同角度理解凸集的精髓。随后，我们将目光转向“函数”，并聚焦于“凸函数”这一关键对象。凸函数，如同其名称所示，是指在凸集定义域上，其图像上任意两点之间的弦，始终位于函数图像的上方（或线上）。这一性质使得凸函数在求解最小值问题时展现出无与伦比的优势。本书将详细介绍凸函数的定义，包括其等价的条件，如Jensen不等式。我们将探讨连续凸函数、可微凸函数以及二阶可微凸函数的判别方法，并深入分析各种常见的凸函数类型，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数以及各种范数函数。通过大量的例子和例证，读者将能够熟练掌握判断一个函数是否为凸函数的技巧。凸集与凸函数的结合，便引出了“凸优化”这一研究领域，它是本书的核心内容之一。凸优化问题因其解的存在性、唯一性以及高效的求解算法而备受青睐。本书将系统地介绍凸优化的基本框架，包括目标函数、约束条件以及可行域。我们将深入探讨各种类型的凸优化问题，如线性规划、二次规划、半定规划等，并详细分析它们在工程、经济、金融等领域的广泛应用。为了有效地求解凸优化问题，理解和掌握各种优化算法至关重要。本书将投入大量篇幅，系统地介绍经典的凸优化算法。我们将从基础的梯度下降法及其变种（如随机梯度下降）开始，逐步深入到更高级的算法，例如牛顿法、共轭梯度法、内点法等。对于每一种算法，我们都将详细阐述其基本原理、收敛性分析，并提供具体的算法步骤和伪代码，方便读者理解和实现。本书将强调算法的理论基础，并探讨其在不同场景下的适用性和效率。除了理论分析和算法介绍，本书还高度重视凸集与凸函数在几何学中的应用。凸集的概念在计算几何学中扮演着核心角色，例如计算凸包、多边形相交等问题。本书将探讨如何利用凸集性质来分析和解决这些几何问题。此外，凸函数的研究也与几何测量、曲率等概念紧密相连。我们将探索凸函数与几何形状之间的深刻联系，以及它们在描述和分析几何对象时的作用。在概率与统计领域，凸函数也扮演着不可或缺的角色。例如，Jensen不等式在概率论中用于证明各种重要不等式，如期望与函数的Jensen不等式。本书将展示凸函数在期望值估计、信息论（如KL散度）以及统计推断中的应用，帮助读者理解其在数据分析和模型构建中的重要性。本书还将触及凸集与凸函数在现代人工智能领域中的一些前沿应用。在机器学习中，许多模型的目标函数本质上是凸函数，使得我们可以利用高效的凸优化算法来训练模型，例如支持向量机（SVM）和逻辑回归。此外，深度学习中的一些特定架构和正则化技术也与凸集和凸函数的概念息息相关。本书将概述这些联系，为读者提供一个更广阔的视野。本书的另一个重要特色是其严谨的数学推导和详实的证明。我们不会止步于概念的介绍，而是致力于为读者提供对每个重要定理和结论的深入理解。本书将包含大量的数学推导过程，力求清晰、准确，并引导读者逐步掌握证明的技巧。同时，为了便于读者学习，我们将精心设计一系列练习题，涵盖理论推导、概念辨析和应用求解等多个方面，帮助读者巩固所学知识，并提升解决问题的能力。本书的语言风格力求清晰、简洁，并避免使用过于晦涩的术语。我们将逐步引导读者进入凸集和凸函数的深奥世界，即使是初学者也能从中受益。对于具备一定数学基础的读者，本书将提供更深入的理论探讨和更广泛的应用视角。我们相信，通过对凸集与凸函数的深入探索，读者将能够构建起坚实的数学基础，并为其未来在科学研究和工程实践中的探索打下坚实的基础。总而言之，本书不仅仅是一本介绍凸集与凸函数概念的书籍，更是一次关于优化、几何与计算的深度探索。我们希望通过这场严谨而富有启发性的数学之旅，带领读者领略数学的魅力，掌握解决复杂问题的强大工具，并激发他们对数学及相关领域更深层次的兴趣。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

坦率地说，这本书的难度是相当可观的，但这种难度是“值得的”那种。它要求读者投入大量的时间和精力去消化每一个论证，但这投入的回报是巨大的。它迫使你走出舒适区，去面对那些真正有挑战性的数学问题。我特别欣赏作者在章节末尾设置的那些思考题，它们往往不是简单的计算或套用公式，而是需要你进行深层次的综合运用和创新性思维。很多题目甚至需要你结合其他领域的知识才能找到切入点。对于已经有一定基础，希望向专业研究迈进的读者来说，这本书简直是“黑化”自己的绝佳工具。它不是在教你如何做题，而是在训练你的“数学肌肉”，让你在面对前沿研究时，能够拥有足够的理论武装和分析能力。我必须承认，阅读过程中遇到挫折是常有的事，但成功攻克一个难题后带来的成就感，是无与伦比的。

评分☆☆☆☆☆

翻开这本书，最直观的感受就是它在深度和广度上都表现出了惊人的平衡。它不像某些入门书籍那样流于表面，也不像那些晦涩难懂的专著那样让人望而却步。作者似乎拥有一种魔力，能够将那些抽象、复杂的数学概念，通过清晰的逻辑和恰到好处的例子，化解成读者可以切实把握的内容。我尤其欣赏它在概念阐述上的严谨性，每一个定义、每一个定理的推导都像是精心打磨过的艺术品，每一个步骤都经得起推敲。对于那些真正想在凸分析领域打下坚实基础的人来说，这本书无疑是一份宝贵的财富。它不仅仅是知识的传授，更是一种思维方式的培养，让你在面对新的问题时，能够有条不紊地进行分析和解决。读完第一章后，我感觉自己的数学直觉都有了显著的提升，那种豁然开朗的感觉，是很多其他教材无法给予的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和配图，在专业数学书籍中算得上是上乘之作。清晰的字体、合理的行距，保证了长时间阅读的舒适性。更重要的是，那些用来辅助理解复杂几何直觉的插图，绘制得极为精准和富有洞察力。很多时候，一个好的图形胜过千言万语的文字描述，这本书深谙此道。例如，在讨论某些嵌入空间中的性质时，作者提供的图形能够瞬间点亮原本晦涩的代数表达。这表明作者不仅是领域内的专家，对教学艺术也有深刻的理解。我发现，相比那些只有文字堆砌的书籍，这本书的学习效率明显更高。它似乎在有意地引导读者的视觉和逻辑思维同步进行，避免了纯粹逻辑推演带来的枯燥感。这种对细节的关注，让整个阅读体验变得非常愉悦和高效。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构设计非常精妙，它并非是那种线性的知识堆砌，而更像是一张精心绘制的地图，引导读者从一个领域平稳地过渡到另一个领域。我注意到作者在组织章节时，总是会先建立起必要的背景知识，然后才引入新的核心概念，这种循序渐进的方式极大地降低了学习的心理门槛。更让我惊喜的是，书中对于一些关键定理的证明，提供了不止一种视角。有时候是代数的方法，有时候是几何的直觉，这种多角度的阐释，极大地丰富了我对问题本质的理解。对于我这种喜欢刨根问底的学习者来说，这种详尽而富有弹性的讲解方式简直是福音。它让我明白，数学的优美之处往往在于其解决问题的多样性和内在的一致性。阅读过程中，我经常需要停下来，在草稿纸上重新推演一遍，而每一次回顾，都能发现新的细节和妙处。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值，不仅体现在其理论的深度上，更在于它为后续学习搭建了一个极其稳固的理论基石。它不像某些教材那样，在完成某一个特定主题后就戛然而止，而是处处留有“接口”和“展望”。在介绍完核心理论后，作者会巧妙地引导读者思考这些工具在更广泛的应用领域，比如优化、控制论，甚至是统计物理中的潜在联系。这种宏观的视野，让读者在学习具体技术的同时，也能够感受到整个数学学科的脉络和活力。对于希望将理论应用于实际工程或前沿科学研究的人来说，这本书提供了必要的理论深度和跨学科的思维导图。它让我意识到，数学工具的力量是无穷的，关键在于我们如何构建起坚实的理论基础，并敢于将其应用到新的挑战面前。读完后，我感觉自己拿到了一套可以解决未来许多未知问题的“万能钥匙”。

评分☆☆☆☆☆