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出版者:Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co

作者:Holliday, Berchie/ Cuevas, Gilbert/ Luchin, Beatrice/ Carter, John A., Ph.D./ Marks, Daniel

出品人:

页数:956

译者:

出版时间:2006-12

价格:$ 163.85

装帧:HRD

isbn号码:9780078738302

丛书系列:

图书标签:

• 代数2
• 高中数学
• 二次函数
• 多项式
• 指数函数
• 对数函数
• 三角函数
• 复数
• 不等式
• 方程组

深入探索：代数思维的广阔天地 书名： 代数思维的广阔天地 内容提要： 本书旨在为读者提供一个全面、深入、且富有启发性的代数学习体验，其核心目标是超越传统教科书对特定代数分支（如中学代数 II 或预备微积分）的刻板定义。我们聚焦于代数作为一种思维模式、解决问题的工具集以及连接数学不同领域的桥梁的本质。 本书不涵盖任何关于“代数 II”特定课程内容的知识点，例如：函数变换的细致规则、对数与指数方程的特定解法、或圆锥曲线的完整几何推导。相反，我们将把视野放得更远，探讨代数原理如何在更宏大、更抽象的结构中得到体现和应用。 第一部分：从算术到结构——代数的根基与抽象化 本部分将重新审视我们对数字和运算的理解，将这些基础概念提升到更抽象的层次。 第一章：数系的延展与封闭性 我们不再满足于有理数和实数域的边界。本章将追溯整数环 ($mathbb{Z}$) 和域 ($mathbb{Q}, mathbb{R}$) 的构造性定义。重点讨论封闭性在数学系统构建中的核心作用——为什么我们需要引入复数 ($mathbb{C}$)，并探索代数结构的概念如何为更复杂的系统奠定基础。我们将探讨皮亚诺公理（Peano Axioms）如何从最基本的自然数概念出发，构建起整个数系的大厦，这与传统代数教材中直接给出实数性质的教学方式截然不同。 第二章：运算的本质与群论的初探 本章将代数的“运算”（加法、乘法）视为一种关系，而不是简单的计算过程。我们将介绍代数结构的基本要素：集合、二元运算以及满足特定公理（结合律、交换律、单位元、逆元）的属性。 我们将引入群（Group）的概念，这不是为了教授群论的复杂定理，而是为了展示代数思维如何将看似不相关的系统——如整数的加法、非零有理数的乘法、乃至几何中的旋转对称性——统一在同一套简洁的框架之下。我们将分析循环群和置换群的微小例子，强调代数结构如何揭示系统内部的深层对称性。 第二部分：方程的语言与线性空间的几何 本部分着眼于代数如何描述空间关系，以及如何通过线性代数的视角来理解多变量问题，而非局限于求解单一变量的高次方程。 第三章：线性系统的内在动力学 传统代数常将线性系统（如 $ax + by = c$）视为一组联立方程。本书将从向量空间的角度切入。我们不再仅仅寻找解集，而是探究解集如何形成一个子空间。 重点讨论线性无关性、基（Basis）和维度的概念。我们将讲解矩阵如何作为一种“线性变换”的表示，它如何将一个向量空间中的元素映射到另一个空间。这为理解更复杂的、多维度的约束条件下的优化问题提供了理论框架，远超出了简单地使用高斯消元法求解特定数值解的范畴。 第四章：特征值与系统的稳定性 如果说线性代数是代数的骨架，那么特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）就是描述系统动态行为的“灵魂”。本章将深入探讨这些概念的几何意义：它们代表了在线性变换作用下，方向保持不变的特定方向。 我们将讨论特征值在动力系统分析中的应用——例如，如何通过分析一个迭代过程的特征值来判断系统的长期行为是趋于稳定、发散还是周期性振荡。这提供了一种强大的工具来理解金融模型、生态系统演化等复杂系统的内在倾向性。 第三部分：从多项式到域的扩张——代数的边界 本部分探讨了代数在超越求解特定方程之外的应用，特别是在代数数论和抽象代数中的重要角色。 第五章：多项式的世界与伽罗瓦的遗产 我们不会详细推导四次或更高次方程的求解公式。相反，本章的重点在于伽罗瓦理论（Galois Theory）的哲学洞察。我们将讨论“为什么五次及以上的多项式方程没有通用的根式解？”这一深刻问题。 核心在于理解多项式的根所构成的伽罗瓦群的结构。我们将讲解域扩张（Field Extensions）的概念，即如何通过逐步添加根来构建一个更大的数学环境，使得这些根可以在这个新环境中被“表示”出来。这展示了代数结构如何能证明某些问题的不可解性，而不是仅仅尝试去解它们。 第六章：抽象代数中的同态与同构 这是本书中最具抽象性的部分，旨在展示代数如何作为一个通用语言来描述结构间的关系。 我们将定义环（Ring）和域（Field），它们比群更复杂，包含了两种运算。关键在于理解同态（Homomorphism）：一种保持结构的映射。如果一个映射是同构（Isomorphism），则意味着两个看似不同的数学系统（例如，一个由特定多项式定义的环，与一个特定的矩阵环）在本质上是相同的。这种洞察力是现代数学和理论物理学（如规范理论）的基石。 结语：代数思维的未来视野 本书总结了代数思维如何从具体计算演化为对结构、对称性和关系的探索。它强调了代数不仅仅是工具箱中的特定技术，更是一种批判性思维方式，它允许我们将复杂现实抽象化为可分析的模型，从而洞察隐藏的规律。读者将带着更广阔的视角，去理解数学的连贯性与深度，为高等数学研究，无论是在纯数学、应用数学还是理论物理领域，打下坚实的哲学和结构基础。本书旨在激发读者对数学世界更深层次的兴趣和探索欲，而非完成一次特定的课程要求。

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