Elementary and Intermediate Algebra for College Students pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Prentice Hall

作者:Angel, Allen R.

出品人:

页数:1056

译者:

出版时间:2007-3

价格:$ 179.30

装帧:HRD

isbn号码:9780132337229

丛书系列:

图书标签:

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现代高等数学基础：从微积分到离散结构 本书旨在为具有高中代数基础的大学生提供一个全面而深入的数学导论，内容涵盖微积分的核心概念、线性代数的初步理论，以及离散数学中的关键结构。我们致力于构建一座坚实的桥梁，连接学生已有的基础知识与未来专业课程所需的严格数学思维。 --- 第一部分：微积分的严谨构建 (Calculus: Rigorous Foundations) 本部分旨在以严谨的分析视角，重新审视和深化学生对极限、连续性和导数的理解，并为其在工程、物理和经济学中的应用打下坚实的基础。 第 1 章：极限与连续性的新视角 (Limits and Continuity Re-examined) 本章将超越直观理解，深入探讨 $epsilon-delta$ 语言的精确含义。我们不仅关注函数的极限计算，更侧重于证明函数的连续性、一致连续性以及在特定区间上的性质（如介值定理和极值定理）。我们将引入序列和级数的收敛性，作为理解函数极限的强大工具。 1.1 序列的收敛与发散：单调有界定理的应用，柯西序列的概念。 1.2 极限的 $epsilon-delta$ 定义：形式化证明的练习，涉及三角函数和多项式的极限。 1.3 连续性与拓扑性质：开集、闭集在实数轴上的意义，对有界闭区间上连续函数性质的拓扑解释。 1.4 导数的分析定义：从极限角度定义可导性，可微性与连续性的关系。 第 2 章：微分学的深化与应用 (Advanced Differential Calculus) 本章将系统地介绍多元函数的微分，为理解梯度和方向导数做准备。泰勒定理的推广及其在函数逼近中的作用是本章的重点。 2.1 多元函数的偏导数与链式法则：在参数曲面上的应用，隐函数定理的直观推导。 2.2 方向导数与梯度向量：梯度场分析，理解梯度在优化问题中的作用。 2.3 泰勒级数与拉格朗日中值定理的证明：重点分析余项的精确形式，并讨论幂级数的一致收敛性。 2.4 极值点的判定：二阶偏导数判别法（Hessian 矩阵的引入）。 第 3 章：积分理论的严格基础 (The Theory of Integration) 本章将建立黎曼积分的严格定义，并介绍其局限性，为后续接触勒贝格积分做好铺垫。重点将放在积分的线性性质、中值定理的推广以及微积分基本定理的严谨论证。 3.1 黎曼可积性的充要条件：达布上、下和的比较，不连续点的密度分析。 3.2 微积分基本定理的证明：区分第一型和第二型基本定理，并分析其在反常积分中的应用。 3.3 积分的广义形式：反常积分的收敛判别法（比较判别法、阿贝尔判别法）。 3.4 不定积分与初等函数：探讨哪些函数可以被初等函数积分，超越函数的积分技巧。 --- 第二部分：线性代数的结构与空间 (Linear Algebra: Structure and Spaces) 本部分侧重于抽象向量空间的建立，从几何直觉过渡到代数结构。重点在于理解矩阵与线性变换之间的深刻联系，以及特征值问题的几何意义。 第 4 章：向量空间与线性映射 (Vector Spaces and Linear Transformations) 本章从集合论的角度定义向量空间，而不是仅仅停留在 $mathbb{R}^n$ 的层面。维度、基、子空间的概念将得到精确的定义和严格的证明。 4.1 抽象向量空间的公理化定义：对域的讨论，例子包括函数空间和多项式空间。 4.2 基、维数与坐标表示：坐标变换矩阵的推导，以及如何证明任何有限维向量空间都存在基。 4.3 线性映射的核与像：秩-零化度定理的完整证明及其在同构判断中的应用。 4.4 矩阵的构造与行列式：基于线性映射定义的行列式，包括莱布尼茨公式和拉普拉斯展开的严谨性。 第 5 章：内积空间与正交性 (Inner Product Spaces and Orthogonality) 本章引入内积的概念，将度量（长度和角度）的概念推广到任意维度的抽象空间中，这对于信号处理和函数分析至关重要。 5.1 内积的定义与性质：柯西-施瓦茨不等式的严格证明。 5.2 施密特正交化过程：构建任意向量空间的一组正交基，并讨论其唯一性。 5.3 正交投影与最小二乘法：在线性方程组无解情况下的最佳近似解的几何解释。 5.4 自伴（厄米特）算子：自伴矩阵的性质，以及其特征值必须是实数的证明。 第 6 章：特征值与对角化 (Eigenvalues and Diagonalization) 本章关注线性变换的内在特性，特别是如何通过选择合适的基来简化变换的表示（即对角化）。 6.1 特征值问题的代数与几何：特征子空间的概念，代数重数与几何重数的区别。 6.2 对角化条件：证明一个 $n imes n$ 矩阵可对角化的充要条件是存在一组 $n$ 个线性无关的特征向量。 6.3 应用：微分方程组的解法：利用矩阵指数 $e^A$ 求解线性常微分方程组。 6.4 若尔当标准型引论：在矩阵不可对角化时，如何通过若尔当块来表示线性算子。 --- 第三部分：离散结构的逻辑与计数 (Discrete Structures: Logic and Enumeration) 本部分聚焦于非连续数学对象的研究，为计算机科学和理论建模提供形式化的工具。 第 7 章：命题逻辑与谓词演算 (Propositional and Predicate Logic) 本章建立形式化的推理系统，区分有效论证和谬误，并引入一阶谓词演算的基础。 7.1 命题的真值与连接词：真值表分析、逻辑等价性。 7.2 形式化论证与推理规则：自然演绎法（如肯定前件、否定后件）的应用和证明结构。 7.3 谓词与量词：全称量词和存在量词的严格定义，量词的否定规则。 7.4 逻辑的完备性与一致性：对这些基本性质的直观介绍和历史背景。 第 8 章：计数方法与组合恒等式 (Counting Techniques and Combinatorial Identities) 本章系统地教授解决复杂计数问题的策略，从基础的乘法、加法原理到高级的容斥原理和生成函数。 8.1 排列、组合与多重集：隔板法（Stars and Bars）的详细推导。 8.2 二项式定理与帕斯卡恒等式：利用组合论证证明二项式系数的恒等式。 8.3 容斥原理 (Principle of Inclusion-Exclusion)：解决“没有一个”类型问题的标准方法，并举例说明其在错排问题中的应用。 8.4 生成函数入门：利用形式幂级数解决线性递推关系，特别是斐波那契数列的闭式解。 第 9 章：图论基础与连通性 (Foundations of Graph Theory and Connectivity) 本章介绍图论的基本概念，强调图作为离散结构模型的强大能力，关注连通性、遍历性和树的性质。 9.1 图的定义与表示：邻接矩阵和邻接表，有向图与无向图的区别。 9.2 欧拉路径与哈密顿回路：欧拉定理的证明（必要与充分条件），以及哈密顿回路的 NP-完全性问题概述。 9.3 树的性质：生成树的定义，克鲁斯卡尔（Kruskal）算法和普里姆（Prim）算法在寻找最小生成树中的应用。 9.4 图的着色问题：图的色数概念，以及四色定理的历史背景介绍。 --- 本书的特点： 本教材侧重于“为什么”而不是仅仅“如何做”。每章的最后都包含一个“分析与证明”部分，鼓励学生从代数的符号操作迈向数学的严格推理。内容组织上确保了对现代科学和工程应用中所需数学工具的全面覆盖，尤其注重微积分和线性代数之间的概念交叉与统一。

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