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出版者:Prentice Hall

作者:Sullivan, Michael

出品人:

页数:1152

译者:

出版时间:2007-3

价格:$ 176.00

装帧:HRD

isbn号码:9780132256889

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

好的，这是一份针对一本名为《Precalculus》的图书，但内容不涉及微积分预备知识的图书简介，字数约为1500字。 --- 《代数与函数：高等数学的坚实基石》 卷首语：构建通往高等数学的坚实桥梁 我们身处一个由量化关系和复杂结构构成的世界。无论是理解行星的轨道、设计高效的算法，还是分析经济模型的动态变化，都需要一种精确、严谨的语言来描述这些现象。这门语言，便是高等数学。然而，要真正掌握微积分、线性代数乃至更深层次的数学分支，必须首先拥有一个无可指摘的基础。 本书《代数与函数：高等数学的坚实基石》（暂定名，以区别于传统预备微积分教材）正是在这一理念下诞生的。我们深知，许多初次接触高等数学的学习者，在试图攀登微积分的高峰时，往往因为在函数本质、代数操作的精细性以及图形的直观理解上存在漏洞，而感到步履维艰。 因此，本书的重点并非是“为了微积分而做的准备”，而是对核心代数结构和函数理论的深度挖掘与巩固。我们将彻底解构和重塑读者对这些基础概念的理解，确保读者在未来面对任何高等数学课程时，都能拥有如磐石般坚固的知识体系。 第一部分：代数重构——从基础到精通 本部分致力于将读者从相对松散的初中代数概念中提升出来，进入一个高度结构化、逻辑严密的代数世界。我们相信，代数不仅仅是解方程，更是一种关于结构和变换的思维方式。 第一章：集合论与数系溯源 我们将从最基础的逻辑单元——集合开始。这不是简单的罗列，而是对数学语言的构建。我们将详细探讨集合的运算（并、交、差、补），理解笛卡尔积和函数定义的前置条件。随后，我们将对数系进行一次彻底的“溯源之旅”：从自然数、整数、有理数，到无理数，最终构建出实数系统。重点在于理解实数的完备性和区间表示法的严谨性，为后续所有函数的定义奠定基础。 第二章：多项式代数精要 多项式是数学中最基础、应用最广泛的代数结构之一。本章将超越简单的因式分解，深入研究： 1. 多项式的代数性质：理解多项式的加减乘除操作，特别是多项式长除法和综合除法（Ruffini's Rule）的几何意义。 2. 根的存在性与性质：深入探讨代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）的非正式阐述和应用，理解复数根的成对出现。高阶因式分解技术，如利用有理根定理寻找可能的有理根，以及对根与系数关系（Vieta's Formulas）的深入应用，将是本章的重点。 3. 多项式函数与图形的映射：将代数根与函数图的x轴截距精确对应起来，分析高次多项式的局部行为和渐近趋势。 第三章：有理表达式与代数重构 本章处理涉及到变量除法的代数表达式。我们将细致讲解有理式（Rational Expressions）的加减乘除，特别强调通分的本质——寻找最小公倍式。更重要的是，我们将用系统的方法处理复有理式（Complex Rational Expressions）的化简，这要求学生对分数和多项式的操作具备极高的精确度。本章还会覆盖方程和不等式中出现有理表达式时的求解技巧，重点在于识别和排除定义域外的“虚假解”。 第二部分：函数的核心理论——关系的本质与表现力 函数是连接输入与输出的精确机器，是所有现代科学建模的语言核心。本部分将彻底解构函数的概念，使其从抽象符号转变为可操作的工具。 第四章：函数的定义、域与值域的精确界定 我们将严格定义“函数”：从集合论的视角，理解函数是笛卡尔积中的一种特定二元关系。重点在于对定义域 (Domain) 和 值域 (Range) 的精确计算。我们将教授如何通过代数约束（分母不为零、偶次根下非负等）和图形分析来确定这些关键属性。函数的垂直线检验将被用作理解函数单值的核心工具。 第五章：基本函数族的深度剖析 本章将对初等函数进行系统性的“解剖”： 1. 线性函数：理解斜率的意义——变化率的恒定性。从两点式到点斜式再到斜截式的推导过程，以及平行与垂直线的代数条件。 2. 二次函数与抛物线：顶点式、标准式与一般式的互换。重点在于理解抛物线的对称轴、顶点（最大/最小值）的代数求法，以及这些特性在实际问题中的意义。 3. 幂函数与根式函数：分析不同指数（正、负、分数）对函数图像的影响。特别是对奇次根和偶次根在定义域和值域上的差异的深入探讨。 第六章：函数的变换与组合 理解函数如何通过平移、缩放和反射来生成新的函数，是掌握函数灵活性的关键。 1. 基本几何变换：详细分析对 $f(x)$ 内部（水平变换）和外部（垂直变换）的操作如何影响图形。我们将使用坐标点的变化来解释为什么 $f(x-h)$ 是向右平移，这常常是学习者的一个难点。 2. 函数的代数组合：探讨函数的加、减、乘、除的运算规则，以及由此产生的新的定义域问题。 3. 函数的复合 (Composition)：这是理解更复杂模型如链式反应的关键。我们将严格定义 $(f circ g)(x) = f(g(x))$，并通过实例展示如何从内层函数开始，一步步替换和简化，直至得到最终表达式。 第七章：反函数的概念与构造 反函数描述了一种“撤销”操作。本章将探讨： 1. 单射性与可逆性：理解为什么只有“一对一”的函数（单射函数）才存在反函数，并利用水平线检验来判断。 2. 反函数的代数求解：教授标准的步骤：交换 $x$ 和 $y$，然后解出新的 $y$。 3. 图形的对称性：证明函数 $f(x)$ 及其反函数 $f^{-1}(x)$ 的图形关于直线 $y=x$ 对称的几何原理，并利用此原理进行快速验证。 第三部分：高级函数结构与建模应用 本部分将函数知识拓展到更具动态和周期性的领域，为处理现实世界的波动现象做准备。 第八章：指数与对数函数——增长与衰减的语言 我们将超越简单的计算，深入理解指数函数的本质： 1. 指数函数 $b^x$：分析底数 $b > 1$ 和 $0 < b < 1$ 对增长和衰减的影响，以及它们在自然增长（以 $e$ 为底）中的应用。 2. 对数函数的定义与性质：将对数 $log_b x$ 定义为指数函数的反函数。深入研究对数的运算律（积、商、幂法则），这些法则源于指数律的直接推导。 3. 换底公式与实际应用：掌握如何利用换底公式进行计算，并将其应用于金融复利、放射性衰变等实际情境的建模中。 第九章：有理函数与渐近分析 有理函数（两个多项式的比值）的分析需要结合代数和图形学。本章将集中于： 1. 垂直渐近线与可去间断点：如何通过因式分解识别分母为零的点，区分是垂直渐近线还是“洞”。 2. 水平渐近线与斜渐近线：通过比较分子和分母的次数，系统地确定函数的远端行为，理解这些渐近线如何描述函数在无穷远处的趋势。 3. 函数图像的绘制策略：结合零点、渐近线、对称性，建立一套完整的、可重复的理性函数图像绘制流程。 结语：通往严谨思维的阶梯 本书《代数与函数：高等数学的坚实基石》旨在提供一个无懈可击的代数和函数理论基础。我们避免了对极限和导数的引入，而是将所有精力聚焦于函数本身的结构、定义和内在逻辑。通过对概念的深入剖析和大量严谨的练习，我们确信，完成本书的学习后，读者将不仅能够流畅地运用数学工具，更重要的是，能够像数学家一样思考——清晰、精确、富有逻辑。这便是通往所有高等数学领域的最可靠阶梯。

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