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出版者:Prentice Hall

作者:Angel, Allen R.

出品人:

页数:928

译者:

出版时间:2007-3

价格:$ 212.44

装帧:HRD

isbn号码:9780136129080

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 大学代数
• 数学
• 高等数学
• 基础代数
• 函数
• 方程
• 不等式
• 多项式
• 数学学习

离散数学：逻辑、结构与算法的基石 本书旨在为初涉离散数学领域的学生构建一个坚实而全面的知识体系。它不仅涵盖了离散数学的核心概念，更侧重于培养读者严谨的逻辑推理能力、抽象思维能力以及将数学工具应用于计算机科学和其他量化领域的能力。 --- 第一部分：逻辑与证明的艺术 (The Art of Logic and Proof) 本部分是整个离散数学大厦的逻辑基石。我们深知，没有扎实的逻辑基础，后续的结构分析和算法设计都将无从谈起。 第一章：命题逻辑与谓词逻辑 本章从最基础的逻辑原子——命题——入手，系统介绍了逻辑联结词（如“与”、“或”、“非”、“蕴含”、“当且仅当”）。我们将详细探讨如何使用真值表来分析复合命题的有效性，并引入重言式、矛盾式和可满足式的概念。 随后，我们将跨越到更具表达力的谓词逻辑（一阶逻辑）。这部分内容是理解数学和编程中复杂条件的关节。读者将学习如何使用量词——全称量词（$forall$）和存在量词（$exists$）——将自然语言中的陈述精确地转化为符号语言。我们将深入分析量词的嵌套和辖域规则，并讨论如何将复杂的自然语言描述（如“所有偶数都是可被二整除的”）准确地符号化。 第二章：直接证明、间接证明与归纳法 逻辑推理能力只有通过实际的证明过程才能真正掌握。本章致力于教授不同类型的数学证明技巧。 直接证明 (Direct Proofs)： 建立在已知事实和定义之上的线性推理链条。我们将通过实例展示如何从前提自然地推导出结论。 间接证明 (Indirect Proofs)： 包括反证法 (Proof by Contradiction) 和逆否命题证明 (Proof by Contrapositive)。反证法被视为最有力的证明工具之一，我们将详细剖析其内在逻辑，并展示如何巧妙地构造矛盾。 数学归纳法 (Mathematical Induction)： 这是离散数学中处理自然数序列和递归结构的关键工具。我们将区分弱归纳法 (Weak Induction) 和强归纳法 (Strong Induction)（或称完全归纳法），并提供大量应用于级数求和、图论性质验证和算法正确性证明的范例。本章的重点在于理解归纳基础（Base Case）和归纳步骤（Inductive Step）的本质联系。 --- 第二部分：集合、函数与关系 (Sets, Functions, and Relations) 本部分将抽象的数学对象具体化，为后续学习组合数学和代数结构打下基础。 第三章：集合论基础 集合是现代数学的通用语言。本章将定义集合、子集、幂集，并介绍集合的代数运算（并集、交集、差集、对称差）。我们不仅关注有限集合的操作，也会涉及无限集合的概念，为后续的计数原理做铺垫。对文氏图（Venn Diagrams）的应用和集合的证明将被穿插讲解。 第四章：计数技术与组合分析 (Counting Techniques and Combinatorial Analysis) 本章是应用性极强的一部分，直接服务于概率论和算法复杂度分析。 基本计数原则： 加法原理和乘法原理。 排列与组合 (Permutations and Combinations)： 详细区分有序选择和无序选择，引入组合恒等式，包括帕斯卡三角形的性质及其与二项式定理的关系。 鸽巢原理 (The Pigeonhole Principle)： 这是一个简单却极其强大的原理。我们将展示如何应用它来证明某些事物的存在性，特别是在处理离散对象时。 容斥原理 (Inclusion-Exclusion Principle)： 用于处理重叠集合的计数问题，是解决复杂交集计数的有力工具。 生成函数 (Generating Functions)： 作为高级计数工具，我们将介绍如何利用幂级数来编码和求解递归关系和计数问题。 第五章：函数与关系 函数是连接不同集合元素的规则，而关系则描述了集合元素间的相互联系。 函数 (Functions)： 重点讨论函数的性质——单射 (Injective)、满射 (Surjective) 和双射 (Bijective)。双射函数在构造一一对应和计算逆函数时至关重要。我们还将探讨函数的复合与反函数。 二元关系 (Binary Relations)： 定义关系的性质：自反性 (Reflexive)、对称性 (Symmetric)、反对称性 (Antisymmetric) 和传递性 (Transitive)。 等价关系与划分 (Equivalence Relations and Partitions)： 深入研究等价关系如何将集合自然地划分为不相交的等价类。 偏序关系与哈斯图 (Partial Order Relations and Hasse Diagrams)： 介绍非严格的顺序结构，并使用哈斯图直观展示偏序集（Poset）的结构。 --- 第三部分：代数结构与图论 (Algebraic Structures and Graph Theory) 本部分将视角从计数提升到结构分析，这是理解数据结构和网络模型的核心。 第六章：代数结构基础 本章引入抽象代数中最基础的概念，为计算机科学中的编码、加密和结构化数据提供理论背景。 群论初步 (Introduction to Group Theory)： 定义群 (Group)、子群 (Subgroup) 以及满足封闭性、结合律、单位元和逆元的代数系统。我们将分析有限群的例子（如模整数加法群 $mathbb{Z}_n$）。 同态与同构 (Homomorphisms and Isomorphisms)： 讨论结构如何保持不变地从一个代数系统映射到另一个系统，理解“结构相同”的数学意义。 第七章：图论 (Graph Theory) 图论是建模关系、网络和路径问题的核心工具。本章内容丰富，覆盖了从基础定义到高级应用。 图的基本概念： 无向图、有向图、加权图、子图、通路、回路。我们将详细介绍图的表示方法：邻接矩阵和邻接表，并讨论它们的优缺点。 图的特殊类型： 完全图 ($K_n$)、二分图 (Bipartite Graphs)、正则图。 连通性与欧拉/哈密顿路径： 探讨图的连通性、桥、割点，并分析欧拉路径（经过每条边恰一次）和哈密顿回路（经过每个顶点恰一次）的存在条件。 图的着色 (Graph Coloring)： 引入色数 (Chromatic Number) 的概念，讨论图着色定理及其在资源分配和调度问题中的实际应用。 树 (Trees)： 作为无环连通图的特例，树在数据结构（如二叉树、生成树）中占据核心地位。我们将重点分析最小生成树 (Minimum Spanning Trees) 的构造算法，如普里姆算法 (Prim's) 和克鲁斯卡尔算法 (Kruskal's)，并分析其贪婪策略的正确性。 --- 第四部分：递归与高级主题 (Recursion and Advanced Topics) 第八章：递归关系与求解 递归不仅是编程中的范式，更是离散数学中描述序列和结构定义的强大工具。 定义与求解： 介绍线性齐次递归关系，并侧重讲解特征方程法 (Method of Characteristic Equations) 来求解这类关系。 分治算法分析： 将递归关系与算法设计联系起来，特别是分析分治算法（如归并排序、快速排序）的时间复杂度，引入主定理 (Master Theorem) 作为快速分析工具。 --- 总结与展望： 本书的编写风格旨在清晰、严谨，并辅以丰富的例题和练习。每一章的理论推导后，都紧跟着实际应用场景的探讨，确保读者不仅理解“是什么”，更能掌握“如何用”。通过系统学习这些离散数学的核心概念，读者将为深入探索计算机科学中的算法分析、数据结构、数据库理论、密码学以及更高级的抽象代数和拓扑学打下坚不可摧的数学基础。本书致力于培养一种数学家的思维模式：精确、逻辑清晰、敢于面对抽象。

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