Arithmetic Geometry and Number Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Nakamura, Iku 编

出品人:

页数:400

译者:

出版时间:

价格:$ 85.88

装帧:HRD

isbn号码:9789812568144

丛书系列:

图书标签:

• Arithmetic Geometry
• Number Theory
• Algebraic Geometry
• Diophantine Equations
• Modular Forms
• Elliptic Curves
• Galois Representations
• L-functions
• Schemes
• Cohomology

好的，以下是一本名为《代数几何与数论》（Arithmetic Geometry and Number Theory）的图书简介，内容将围绕该领域的核心主题展开，力求详尽且专业，不涉及任何关于您提到的那本书的内容。 --- 图书简介：代数几何与数论 书名： 代数几何与数论 (Arithmetic Geometry and Number Theory) 作者： [此处留空，通常为作者姓名] 出版社： [此处留空，通常为出版社名称] 导言：数学的深层交汇点 本书深入探讨了数学中两个最为核心且相互渗透的领域——代数几何与数论——的交汇与融合。代数几何通过研究多项式方程的零点集合（即代数簇）来几何化代数结构，而数论则专注于整数、有理数以及相关代数结构中的性质。本书旨在构建一座坚实的桥梁，引导读者从古典的丢番图方程问题出发，攀升至现代代数几何中关于模空间、椭圆曲线和高维簇的深刻洞察，最终理解它们如何在解决基础数论问题中发挥决定性作用。 全书结构严谨，力求在保持数学深度的同时，提供清晰的逻辑脉络和丰富的实例支撑。我们侧重于介绍那些成功地将几何直觉应用于数论难题，并反之亦然的关键理论框架和技术工具。 --- 第一部分：数论基础与代数工具的引入 本部分为后续高级主题打下坚实的分析和代数基础。 第一章：数论的复兴与代数结构 我们首先回顾经典数论的基石，包括费马大定理的历史背景，狄利克雷关于算术级数中素数的定理。随后，引入理解代数几何的必备工具：环论、域扩张和伽罗瓦理论的初步概念。重点讨论代数数域的结构，包括环 $mathcal{O}_K$ 的唯一因子分解性质（或缺乏唯一分解的情形）。 第二章：理想理论与素数分解 本章的核心是Dedekind 域的概念及其重要性。我们将详细阐述理想在 Dedekind 域中唯一分解的定理，并展示如何利用这一概念来解决数论中关于“素数如何分解”的问题。这为理解模空间中局部性质的几何编码打下基础。我们还会触及类域论的初级思想，即如何用代数扩张的伽罗瓦群来描述域中理想类的结构。 第三章：椭圆曲线：几何与算术的完美结合 椭圆曲线是本书后续内容的核心对象之一。本章从射影平面上的光滑三次曲线出发，建立其群律。随后，深入探讨有理点（$mathbb{Q}$ 上的点）的结构，引入莫德尔定理的陈述及其在有理数域上的重要性。我们将详细介绍 Weierstrass 标准型，并分析其在计算和理论分析中的实用性。 --- 第二部分：代数几何的视角与模空间 本部分将视角转向几何结构，并引入研究数论对象的通用语言——模空间。 第四章：概形论基础 (Scheme Theory) 为了超越传统的代数簇，我们需要引入概形的概念。本章将从拓扑学的角度出发，定义预层（Presheaf）和层（Sheaf），随后构造局部环化空间（Spec R），并定义素理想谱作为基本研究对象。我们将解释为什么概形（而非经典代数簇）能更好地处理“特征 $p$ 域”上的数论问题，特别是如何将数论中的完备化过程几何化。 第五章：代数簇与奇点 本章聚焦于代数簇的局部性质。我们详细讨论正则局部环的定义，引入维数的概念，并分析在不同特征域上奇点（如尖点和交点）的几何和代数表现。这将为理解模空间中可能出现的奇异点（例如模空间的边界情况）提供几何直觉。 第六章：模空间的概念与构造 模空间是连接代数几何与数论的强大工具。本章将介绍模函数的严格定义，即那些将代数对象（如椭圆曲线、向量丛）参数化的函子。我们将以模空间 $mathcal{M}_g$（亏格为 $g$ 的光滑射影曲线的模空间）为例，展示如何通过模空间来“收集”所有具有特定几何属性的对象。分析模空间的不可约性、光滑性以及它如何编码了对象的分类信息。 --- 第三部分：高级交汇：深度整合与应用 本部分将前两部分的工具整合，深入探讨现代研究的前沿主题。 第七章： $L$-函数与黎曼猜想的几何视角 本章探讨解析数论中的核心对象——$L$-函数——的几何起源。我们将介绍德利涅在证明韦伊猜想时使用的$ell$-进上同调理论的初步概念。讨论代数簇（特别是在有限域 $mathbb{F}_q$ 上的簇）的态和公式（Hasse-Weil Zeta Function），并解释这些几何 $L$-函数如何与经典解析 $L$-函数（如黎曼 $zeta$ 函数）建立起深刻的联系。 第八章：模形式与自动形式 模形式是连接函数域、数论与表示论的桥梁。本章介绍模群 $ ext{SL}_2(mathbb{Z})$ 的结构及其在复上半平面上的自由作用。我们讨论模函数的性质，特别是它们如何通过傅立叶展开（$q$-展开）与数论（如模 $lambda$ 函数和拉马努金 $ au$ 函数）挂钩。 第九章：朗兰兹纲领的初步介绍 作为本书的总结与展望，本章概述了朗兰兹纲领的核心思想，即数论中的伽罗瓦表示与自守表示（源于自守形式）之间的深刻对应关系。我们将讨论谷山-志村猜想（现已证明的模化定理）在这一纲领中的地位，它表明每一个椭圆曲线都可以被一个模形式所“模化”，从而用自守对象的分析性质来解决丢番图方程（如费马大定理）的算术问题。 --- 结语 本书的构建旨在使读者不仅掌握代数几何和数论的独立技术，更重要的是，能够理解现代数学如何通过几何化手段来攻克最古老的数论难题。通过对椭圆曲线、模空间和 $L$-函数的系统性研究，读者将获得进入当代数学研究领域所需的深厚知识基础。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆