Numerical Methods for General And Structured Eigenvalue Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Kressner, Daniel

出品人:

页数:258

译者:

出版时间:

价格:79.95

装帧:Pap

isbn号码:9783540245469

丛书系列:

图书标签:

• 数值方法
• 特征值问题
• 矩阵计算
• 线性代数
• 科学计算
• 数值分析
• 结构化矩阵
• 广义特征值问题
• 算法
• 数学

经典数值分析与矩阵理论：现代计算方法的深度探索 本书旨在为高等数学、应用数学、物理学、工程学等领域的学生和研究人员提供一套全面而深入的数值分析与矩阵理论的经典教材。我们聚焦于那些在科学计算和数据分析中至关重要的核心算法和理论框架，涵盖从基础的线性系统求解到复杂的优化问题处理。全书结构严谨，理论推导详尽，并通过丰富的实例和对算法稳定性的讨论，确保读者不仅掌握“如何做”，更能理解“为何如此”。 第一部分：线性代数与矩阵分解的基础巩固 本部分作为后续高级主题的基石，系统回顾和深化了读者对线性代数基本概念的理解，并重点引入了数值计算中不可或缺的矩阵分解技术。 第一章：数值线性代数的基石 本章首先探讨了有限精度算术对数值计算的深刻影响，包括浮点数的表示、舍入误差的传播，以及条件数的概念如何衡量问题的内在敏感性。我们详细分析了向量范数和矩阵范数的不同选择及其在误差分析中的作用。随后，深入讨论了线性方程组 $Ax=b$ 的数值求解问题，重点放在直接法。高斯消元法的理论基础、操作步骤被详尽阐述，并引入部分主元和完全主元策略来提高数值稳定性。我们严格推导了 LU 分解、Cholesky 分解（针对对称正定矩阵）的计算效率和稳定性特性，并讨论了这些分解在求解大规模系统中的实际应用和局限性。迭代法的引入则侧重于理解其收敛性判据，初步介绍雅可比（Jacobi）和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）方法的结构。 第二章：正交性、投影与最小二乘问题 本章的核心在于理解向量空间的内积结构及其在优化中的应用。我们从内积、正交基的概念出发，详细介绍了 Gram-Schmidt 正交化过程及其数值稳定性问题。基于此，重点讲解了 Householder 反射和 Givens 旋转这两种构建数值稳定正交变换的核心工具。这些工具的应用导出了 QR 分解，并将其作为求解最小二乘问题的黄金标准方法。我们不仅给出了法方程的劣势，还详细阐述了如何利用 QR 分解（或 SVD）来处理超定系统，分析了这些方法的条件数与解的稳定性之间的关系。针对病态问题，引入了正则化方法作为处理不适定问题的初步尝试。 第二部分：迭代法与大规模系统的处理 面对现代科学和工程中日益增长的矩阵规模，直接分解法往往因计算成本和内存需求而不可行。本部分将焦点转向高效的迭代求解方法。 第三章：迭代法的深入分析与加速 本章对第一章中介绍的迭代法进行系统深化。我们详细分析了 Krylov 子空间的概念，阐明了如何利用向量与矩阵的乘积来生成一个包含解信息的子空间。基于 Krylov 子空间理论，我们完整推导了 Arnoldi 迭代和 Lanczos 迭代过程，它们是现代大规模数值方法的核心引擎。 第四章：非对称与对称系统的 Krylov 子空间方法 针对非对称系统，本章详尽介绍了广义最小残量法（GMRES）的完整算法、收敛特性和内存限制。我们探讨了 GMRES 的重启策略以应对内存瓶颈。针对对称正定系统，本章的重点是共轭梯度法（CG）。我们不仅展示了 CG 算法的简洁性和优良的理论性质，还深入分析了其与二次型最小化问题的内在联系。为加速原始迭代法的收敛速度，本章专门辟出一节讨论预处理技术（Preconditioning），详细介绍了代数预处理方法，如多重网格法（Multigrid）的理论思想和预处理器的构造，这是高效求解的生命线。 第三部分：插值、数值微分与积分 本部分转向处理函数逼近和连续量离散化的核心问题，这是进行科学模拟的基础。 第五章：函数逼近与插值理论 本章探讨了如何用有限信息精确或近似地表示一个函数。内容涵盖拉格朗日插值、牛顿插值形式的推导及其误差分析。我们重点讨论了插值多项式的局限性（如Runge现象），并引入了分段插值，特别是三次样条插值。样条插值的优势在于其连续性和局部性，我们详细推导了自然样条和钳位样条的边界条件和方程组的求解过程。此外，还简要介绍了函数最佳一致逼近（Minimax Approximation）的理论背景。 第六章：数值微分与积分 本章处理导数和定积分的数值计算。对于微分，我们从泰勒级数出发，系统推导了有限差分公式（前向、后向、中心差分），并严格分析了截断误差和离散化误差。重点探讨了复合数值微分公式的设计。在数值积分方面，我们从牛顿-柯特斯公式（如梯形法则、辛普森法则）的构造和误差估计入手，逐步过渡到更高效的闭合型高斯求积公式。高斯求积通过选择最佳的节点和权重来最大化精度，本章详细阐述了如何利用 Legendre 多项式来确定这些最佳点。最后，讨论了高维积分的数值方法，如蒙特卡洛积分的基本原理。 第四部分：非线性方程与优化问题 本部分关注那些不具有简单线性结构的数学问题，这些问题在工程建模和实际决策中极为常见。 第七章：非线性方程组的求解 本章集中于求解形如 $mathbf{f}(mathbf{x}) = mathbf{0}$ 的非线性方程组。我们从一维的二分法和不动点迭代开始，引入局部收敛的牛顿法，并详细推导了牛顿法的多维推广——牛顿-拉夫逊法，分析了其二次收敛速度。为避免频繁计算雅可比矩阵，本章深入探讨了拟牛顿法，特别是 BFGS 和 DFP 算法，它们通过秩一或秩二更新来近似海森矩阵的逆，展示了如何平衡收敛速度和计算成本。 第八章：无约束优化问题 本章系统介绍求解 $min_{mathbf{x}} f(mathbf{x})$ 的方法。内容涵盖了函数的一阶和二阶最优性条件。梯度下降法（一阶方法）被详细分析，重点是步长选择（线搜索方法的理论，如精确线搜索和 Wolfe 条件）。为了获得更快的收敛，本章重点讲解了二阶方法，即牛顿法在优化中的应用，以及其计算上的挑战。优化算法的现代趋势——拟牛顿法（如 L-BFGS）和共轭梯度法（CG for Optimization）在本章中被详细介绍，强调了它们在处理高维问题中的实用性。 本书的最终目标是提供一个坚实的理论基础和一套可应用于实际计算的算法工具箱，培养读者批判性地评估数值方法适用性和稳定性的能力。书中所有算法均配有详细的伪代码描述，以便读者将其直接转化为任何编程语言实现。

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