Lectures on Kähler Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Andrei Moroianu

出品人:

页数:182

译者:

出版时间:2007-3-29

价格:GBP 30.99

装帧:Pap

isbn号码:9780521688970

丛书系列:

图书标签:

• 法国
• 数学
• Math
• Kähler geometry
• Differential geometry
• Complex manifolds
• Algebraic geometry
• Topology
• Mathematics
• Geometry
• Complex analysis
• Holomorphic geometry
• Riemannian geometry

好的，这是一份为您量身定制的、针对不包含《Lectures on Kähler Geometry》内容的图书简介，旨在详细、深入地介绍其他可能的主题，并保持自然流畅的文风。 --- 《黎曼几何前沿：从基础到高级应用》 导言：构建现代微分几何的基石 本书旨在为读者提供一个全面而严谨的视角，探索经典黎曼几何的深层结构，并将其拓展至当代数学物理与拓扑学交叉领域的前沿课题。我们深知，理解流形上的度量、曲率以及相关的分析工具，是进行高阶几何研究的先决条件。因此，本书的叙事线索围绕着如何从最基础的微分流形概念出发，逐步搭建起一个坚实的、能够支撑复杂几何结构的理论框架。 我们避免了对特定复杂结构（如卡勒几何中的全纯性）的过度依赖，转而专注于那些更具普适性的几何概念及其分析工具，例如拓扑性、拓扑不变量的计算，以及它们与经典分析方程（如椭圆方程）的联系。本书致力于为读者打下一层坚实的基础，使他们能够自信地在纯粹的黎曼几何、辛几何，甚至广义相对论的背景下进行思考。 第一部分：基础结构与度量理论 本部分是全书的理论基石，它详尽地阐述了黎曼流形的基础构造和关键分析工具。我们从光滑流形、切丛和张量场的概念入手，逐步引入黎曼度量。 第一章：流形与切丛的构造 我们首先回顾微分拓扑中的核心概念，重点关注微分结构的定义及其局部坐标表示。接下来的章节将深入探讨切空间的概念，强调切向量场作为微分算子的本质。我们将详细讨论向量丛的定义，特别是切丛，并引入由其诱导出的更高阶张量丛，如对称张量、反斜对称张量和一般张量。此处不会涉及任何关于全纯结构或复杂结构的讨论。 第二章：黎曼度量的引入与基本结构 黎曼度量被定义为在每个切空间上定义的正定二次型。本书将详尽分析度量如何诱导出内积、长度和角度的概念。一个重点是外微分的推广——李导数（Lie Derivative）在度量下的不变性分析，这对于理解运动群和守恒定律至关重要。我们也会详细讨论流形上的测地线方程，并从变分原理的角度推导其形式，侧重于其作为二阶常微分方程的性质。 第三章：联络、协变导数与曲率 这是黎曼几何的核心分析部分。本书将严格区分抽象的切空间上的导数与流形上的协变导数。我们将详细介绍列维-奇维塔联络 (Levi-Civita Connection)，证明其存在性和唯一性，并强调其无挠和度量兼容性的关键性质。 曲率的引入是本部分的高潮。我们将从黎曼曲率张量 (Riemann Curvature Tensor) 的定义出发，深入解析其代数结构，包括双曲恒等式（First Bianchi Identity）和二次恒等式（Second Bianchi Identity）。此外，我们将引入里奇曲率 (Ricci Curvature) 和里奇张量，并明确讨论它们在度量张量上的降低的秩所带来的几何含义。本部分的讨论将严格停留在实数域（或复数域，但侧重实数结构）的黎曼几何范畴内，不引入任何与全纯结构相关的微分形式或复微分几何的概念。 第二部分：分析、拓扑与几何的交汇 在坚实的基础之上，本部分将连接分析方法与拓扑不变量，展示几何结构如何影响分析方程的解，以及拓扑如何限制几何的可能性。 第四章：黎曼流形上的谱理论与热核 我们转向分析工具，重点讨论拉普拉斯-德拉姆算子 ($Delta_g$)，这是在黎曼流形上进行分析研究的中心工具。本书将详细论述 $Delta_g$ 作为自伴随椭圆算子的性质，并引入希尔伯特空间结构。我们将深入分析谱理论，即 $Delta_g$ 的特征值和特征函数，并讨论韦伊判别式 (Weyl's Law) 和谱几何的初步概念。关于热核的传播性质及其与几何拓扑的关系（如霍奇理论的基础）将得到详细阐述。此处的讨论专注于调和分析和椭圆算子理论，不触及与霍奇理论中特定的复几何分解。 第五章：拓扑不变量与示性类 本章将介绍如何从流形的拓扑性质中提取几何信息。我们将侧重于经典的拓扑不变量，如欧拉示性数、贝蒂数，并利用De Rham上同调理论来计算它们。随后，我们将过渡到更精细的示性类 (Characteristic Classes)，特别是庞加莱-杜荷（Poincaré-Duhot）对的构造。我们将展示如何利用曲率来计算这些拓扑不变量，例如高斯-邦内定理 (Gauss-Bonnet Theorem)，强调其在二维流形上的普适性。示性类将作为连接曲率积分与拓扑结构的桥梁。 第六章：辛几何的初步探索 尽管本书的核心是黎曼几何，但为了提供更广阔的视野，我们引入辛几何的基础。辛流形被定义为配备有非退化、闭合的辛形式的流形。我们将重点讨论泊松括号的构造、刘维尔定理以及辛结构下能量守恒的几何意义。辛几何与黎曼几何的交集——如超曲面上的结构——将被提及，但我们强调辛结构与黎曼度量之间的区别，特别是辛流形不需要（也不一定拥有）一个与之兼容的黎曼度量。此部分的介绍将严格保持在实数域的框架下，聚焦于辛形式的性质，而不深入探究复结构在辛几何中的作用。 第三部分：几何结构的稳定性与极端情况 最后一部分将讨论在特定条件下，几何结构所表现出的稳定性和极端性质，主要集中在黎曼几何的经典优化问题上。 第七章：测地线的聚焦与不稳定性 本章研究测地线如何偏离其初始方向。我们将介绍雅可比场 (Jacobi Fields) 的概念，它量化了测地线束在切空间中的微小扰动。这直接导致了切点致密性 (Focal Points) 概念的引入，并探讨了它们在测地线最短性上的限制。我们将讨论卡坦-阿达马定理 (Cartan-Hadamard Theorem)，该定理描述了具有非正曲率的完备流形上的测地线行为。 第八章：几何极值问题与稳态 本章探讨一些重要的几何优化问题，例如：哪些流形可以拥有常截面曲率？我们将详细分析爱因斯坦度量在某种意义上是里奇曲率“最优”的度量，并讨论其在特定拓扑空间上的存在性。我们还将引入魏尔 (Weyl) 积分公式，用于评估特定函数在流形上的平均值，并讨论等周不等式在更高维度上的推广及其与曲率的联系。 总结与展望 本书成功地构建了一个强大的、不依赖于特定复结构假设的黎曼几何分析框架。读者将掌握从基础张量分析到高级拓扑不变量计算的全部工具，为进一步研究如广义相对论、拓扑场论或纯粹的几何分析打下坚实的基础。本书的重点始终在于度量、联络、曲率的实数几何解释，以及它们如何通过分析算子与流形的全局拓扑结构相互作用。 ---

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