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出版者:Springer

作者:David A. Cox

出品人:

页数:568

译者:

出版时间:2005-3

价格:USD 54.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387207339

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 代数几何7
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• 2005
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• 编码理论

几何的语言，代数的探索：一段穿越抽象空间的旅程 想象一下，我们试图用一种古老而强大的语言来描绘无限的世界。这种语言不是我们日常交流的口语，而是由符号、方程和逻辑组成的精妙结构。它能够描述点的集合、线的弯曲、面的扭转，以及更高维度下那些我们难以想象的形状。这就是代数几何，一门将几何学的直观洞察与代数学的严谨形式相结合的学科。 代数几何，顾名思义，是以代数方程的解集来研究几何对象的。当我们将一组多项式方程的根所形成的点的集合视为一个几何实体时，代数几何的奥秘便由此展开。这些由方程定义的几何对象，我们称之为代数簇。它们可以是简单的直线、平面，也可以是复杂的曲线、曲面，甚至是超越我们日常直觉的高维空间中的对象。 本书将带领您踏上一段深入代数几何核心的探索之旅。我们将从最基础的概念出发，逐步构建起理解这一强大工具所需的理论框架。 第一部分：基石的搭建——环与域的王国 在深入代数几何之前，理解其赖以构建的代数基础至关重要。我们将首先探索环的概念，这是代数结构中最基本也是最重要的一个。环提供了一个框架，我们可以在其中进行加法和乘法运算，就像我们在整数或多项式上所做的那样。在此基础上，我们将重点关注域，特别是代数闭域，它们是代数几何中处理方程解的理想土壤。我们将学习多项式的性质，如因式分解、根的存在性等，这些都将是后续章节分析代数簇的基础。 第二部分：代数簇的诞生——方程与几何的联姻 这一部分将是代数几何的真正核心。我们将学习如何通过一组多项式方程来定义一个几何对象——代数簇。我们会探讨不同类型的代数簇，从最简单的仿射簇（定义在仿射空间中的簇）到更一般的射影簇（定义在射影空间中的簇）。理解代数簇的定义、性质以及它们之间的关系，是掌握代数几何的关键。我们将深入研究代数簇的理想（ideal），它完美地刻定了簇的几何结构。一个簇的几何性质，比如它的维数、连通性，都可以从其对应的理想中提取出来。 第三部分：几何的剖析——代数簇的属性与分类 一旦我们建立了代数簇的概念，接下来便是对其进行深入的分析和分类。我们将学习如何描述代数簇的维数，这是衡量其“大小”或“自由度”的一个重要指标。我们还将探讨光滑性的概念，它允许我们区分出那些“平滑无毛刺”的几何对象，类似于微积分中可导的概念。 为了更好地理解不同代数簇的结构，我们将引入模空间（moduli space）的思想。模空间是一种“空间中的空间”，它能够将具有相似几何性质的代数簇进行分类和组织。想象一下，我们可以用一个连续的“画布”来表示所有形状相似的三角形，这个画布就是模空间。这将帮助我们理解代数簇的“家族”以及它们之间的连续变形关系。 第四部分：深入的洞察——同态、上同调与更广阔的视角 随着我们对代数簇的理解不断加深，我们将触及更高级的概念。态射（morphism）在代数几何中扮演着类似“函数”的角色，它允许我们在代数簇之间建立联系，并研究这些联系的几何意义。我们还会探讨上同调（cohomology）理论，这是一个强大的代数工具，能够捕捉代数簇在不同尺度下的“孔洞”或“连通性”信息，这些信息往往难以通过直接的几何观察获得。 此外，我们还将接触到一些在现代数学中扮演重要角色的概念，如概形（scheme）。概形将代数几何的领域从只考虑“点”扩展到可以考虑“代数结构”，极大地丰富了代数几何的内涵，并使其能够处理更广泛的数学对象。 本书的特色 本书旨在为读者提供一个清晰、连贯且深入的代数几何学习路径。我们注重理论的严谨性，同时也力求通过直观的解释和恰当的例子，让抽象的概念变得易于理解。本书的结构精心设计，从基础概念逐步过渡到高级主题，确保读者能够循序渐进地掌握代数几何的精髓。 谁适合阅读本书？ 本书适合对数学充满热情，具备扎实线性代数和微积分基础的本科生、研究生，以及需要运用代数几何作为研究工具的数学家、理论物理学家和计算机科学家。如果您渴望用一种全新的视角来理解形状、空间和结构，或者您正在寻求一种强大的数学工具来解决复杂的问题，那么本书将是您的理想选择。 通过阅读本书，您将不仅学会一套强大的数学工具，更能培养出一种抽象思维的能力，学会用几何的语言来思考和解决问题，探索隐藏在代数符号背后的数学宇宙。准备好迎接这场思想的盛宴吧！

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深入研读完这本书后，我不得不赞叹作者在选材上的独到眼光和深厚的学术功底。此书的重点似乎并非仅仅在于罗列定理和证明，而更侧重于构建一个完整的、具有内在逻辑美感的理论体系。其中关于“相交理论”的章节，处理得尤为出色，它没有仅仅停留在欧几里得空间上的直观描述，而是将其提升到了更抽象的代数层面，使得读者能够理解其在更一般的代数簇上的普适性。书中的习题设计也是一大亮点，它们并非简单的计算题或概念复述，而是很多具有启发性的探索性问题，有些甚至引导读者去发现新的结构或证明一些稍有名气的引理。我花费了大量时间在那些需要深入思考的练习上，每一次解决都带来巨大的成就感，这种“动手”式的学习体验，是纯粹阅读理论无法替代的。此外，书末对某些重要拓扑结构（比如Zariski拓扑的微妙之处）的讨论，也展现出作者对细节的执着，正是这些细节，构成了现代几何理解的基石。总而言之，这是一本需要慢工细活去品味的教材，每一次重读都会有新的感悟，绝非可以一目十行读完的“快餐读物”。

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我个人对这本书的评价是：它成功地在严谨性与可读性之间找到了一个近乎完美的平衡点。许多经典的代数几何著作，往往因为过分追求形式上的简洁和证明的紧凑，而牺牲了读者的接受度，导致学习曲线异常陡峭。然而，此书的行文风格却显得异常“体贴”。例如，在引入“正则映射”及其与“环同态”之间的对偶关系时，作者用了好几页篇幅，详细对比了从几何对象到代数对象，以及反向映射的直观意义和代数表达，这种细致的过渡处理，极大地降低了初学者面对代数与几何互译时的认知负荷。我发现，当我遇到一个困难的概念时，回头翻阅前面几章，总能找到一个早已铺垫好的、更简单的视角来理解它。这体现了作者非凡的教学智慧，他似乎深谙学生可能在哪里卡住，并提前在那里放置了“脚手架”。这本书的排版也十分友好，公式的编号和引用清晰明了，这在查阅和回顾特定定理时提供了极大的便利，让整个学习过程更加流畅和高效。

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我对这本书的整体感受是：它是一部充满生命力的经典潜力股。它没有采用那种老派教材的僵硬和刻板，而是注入了一种现代数学特有的活力和开放性。书中在介绍完标准理论后，常常会留出一些“展望性”的小节，讨论当前研究的前沿方向，或者指出某些尚未解决的难题，这极大地激发了我继续探索的兴趣。我特别喜欢书的后半部分，它开始探讨更具拓扑味道的结构，比如一些关于上同调理论的初步介绍，虽然只是点到为止，但为我指明了未来可以深入学习的方向。这本书的语言风格是自信而富有启发性的，它鼓励读者去质疑、去探索，而不是盲目接受既有结论。读完后，我感觉自己不是完成了一门课程的学习，而更像是加入了一场持续进行的、关于几何本质的深刻对话。它提供的知识框架结构稳固，同时又为未来的扩展留下了足够的空间，是那种会让人愿意反复翻阅、在不同人生阶段都能获得新见解的优秀著作。

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作为一位长期关注几何学发展的研究者，我认为这本书最可贵之处在于它对“动机”的强调。代数几何之所以迷人，不仅仅在于其最终的结论有多么优美，更在于那些看似跳跃的步骤背后隐藏的深刻几何直觉。这本书在这方面做得非常到位，它不满足于告诉我们“应该这样做”，而是深入挖掘“为什么我们选择这样做”。例如，在讨论某些代数工具（如张量积）的引入时，作者会追溯到解决某个具体几何问题时的内在需求，这使得这些工具不再是抽象的代数构造，而是解决现实问题的有力武器。书中还穿插了对历史发展的简要回顾，虽然篇幅不长，但足以让读者理解某些概念是如何在历史长河中被逐步完善和定义的，这种历史的厚重感为冰冷的公式赋予了温度。对于有一定基础，但希望将知识系统化、并深入理解其内在驱动力的读者而言，此书提供了绝佳的视角，它让你从一个更高、更广的层面去审视这个领域，是深化理解的利器。

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这本新近读完的代数几何书籍，着实让我对这个领域有了全新的认识。书的结构安排得非常精巧，从基础概念的铺陈到高阶理论的深入，每一步都像是为初学者量身定制的阶梯，让人在攀登的过程中，感到既有挑战性又不至于迷失方向。作者的叙述方式极为清晰，尤其是在处理那些抽象的、常常令人望而生畏的概念时，他总能找到最直观的比喻或最恰当的例子来加以阐释。我特别欣赏书中对于“概形”这一核心概念的引入方式，它并非生硬地抛出定义，而是通过对古典代数几何中“代数簇”局限性的剖析，自然而然地引出了概形理论的必要性与优越性。这种由问题驱动的讲解，使得读者在学习新工具时，更能体会到其强大之处。书中对于范畴论工具的运用也十分克制和精准，避免了过多不必要的理论灌输，真正做到了工具为内容服务，而不是为了炫技而堆砌复杂的数学语言。对于那些希望从零开始系统学习现代代数几何的读者来说，这本书无疑是一份极佳的入门指南，它为你打下的基础是如此坚实，以至于后续转向更专业或更前沿的著作时，都会感到游刃有余。

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