The Theory of Stochastic Processes III pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Gikhman, Iosif I./ Skorokhod, Anatoli V.

出品人:

页数:387

译者:

出版时间:

价格:540.00 元

装帧:Pap

isbn号码:9783540499404

丛书系列:Classics in Mathematics

图书标签:

• Stochastic Processes
• Probability Theory
• Markov Chains
• Diffusion Processes
• Martingales
• Queueing Theory
• Statistical Mechanics
• Mathematical Finance
• Time Series Analysis
• Random Variables

深入理解复杂系统：经典力学与现代控制的交汇 书名： 经典力学体系中的非线性动力学与湍流演化：从欧拉方程到奇异解的探索 作者： [此处留空，以增加真实感] 出版社： [此处留空，以增加真实感] 出版年份： [此处留空，以增加真实感] --- 内容概述与核心主题 本书聚焦于经典连续介质力学框架下，特别是在高雷诺数和强非线性条件下，流体系统所展现出的复杂动力学行为。我们避免了概率论和随机过程的讨论，而是将分析的焦点完全锁定在确定性、高维常微分方程组（ODE）或偏微分方程组（PDE）所描述的物理现象上。 本书旨在为研究人员和高级研究生提供一个严谨的理论工具箱，用以解析那些由确定性初始条件和边界条件驱动的系统，如何演化出看似无序、实则高度依赖初值的复杂结构，即确定性混沌。我们深入探讨了流体动力学中的核心方程——不可压缩牛顿流体的纳维-斯托克斯（Navier-Stokes, N-S）方程——在特定物理条件下的解析与数值逼近方法，并将其与经典的欧拉方程（无粘性流体）的特性进行对比分析。 全书的结构围绕着从宏观守恒律出发，逐步深入到微观层面的相空间几何和拓扑结构展开。我们认为，理解复杂流体行为的关键在于精确刻画其流线拓扑以及涡旋结构的自组织能力。 第一部分：确定性动力系统的基石与重构 本部分奠定了分析高维非线性系统的数学基础，完全基于经典的微分几何和拓扑学概念，而非测度论或概率统计。 第一章：连续介质的运动学描述与守恒律的微分表述 详细回顾了质量、动量和能量在连续介质中的守恒定律的偏微分方程（PDE）形式。重点分析了N-S方程中对流项的二次非线性如何成为系统复杂性的根源。我们严格区分了欧拉方程（仅含速度梯度项）与N-S方程（引入粘性扩散项）在系统长期演化中的根本差异。讨论了物质导数的物理意义，并引入了涡度向量作为描述流体局部旋转的关键物理量。 第二章：相空间几何与李雅普诺夫指数的确定性定义 在有限维系统（如通过模态截断获得的常微分方程组）的分析中，本章阐述了李雅普诺夫指数在确定性混沌中的作用。我们侧重于局部指数增长率的几何解释，即相邻轨线在相空间中的分离速度。我们推导了雅可比矩阵的构建方法，并展示了如何通过矩阵的特征值来判断系统局部稳定性和敏感依赖性。此处讨论的焦点是最大李雅普诺夫指数的计算，以量化系统的“混合”能力。 第三章：双曲动力学与吸引子的拓扑结构 本章深入探讨了奇异吸引子（如洛伦兹吸引子）的内在结构。我们将其视为高维流形上的拓扑不变量集合，强调其分形维数和奇点的排布。通过对低阶模型（如Rössler系统或改进的洛伦兹模型）的精确求解，我们展示了鞍点、稳定结和极限环在吸引子表面上的分布规律。关键在于理解这些结构如何共同构成了流体的长期不衰减的“记忆”。 第二部分：流体动力学中的非线性现象与湍流的结构化解析 本部分将理论工具应用于具体的流体力学问题，着重分析确定性湍流的起源和尺度依赖性。 第四章：受迫振荡与参数激励下的确定性失稳 研究外部周期性激励（如周期性边界条件或时变压力梯度）如何导致流体系统从层流向湍流的转变。我们使用Floquet理论分析周期性系统的稳定性，并探讨倍周期分岔序列在流体参数（如雷诺数或非线性振幅）变化时的出现。本章详述了Hopf分岔如何从一个稳定的定常态解（如Poiseuille流或Couette流）中产生周期性的涡旋振荡。 第五章：涡度传输与三维流场的准周期行为 在三维、高雷诺数的流场中，我们关注涡丝的拓扑演化。利用Helmholtz涡旋定理，我们分析了涡度如何通过对流和扩散进行重新分配。本章通过对特定非线性波动方程（如非线性Schrödinger方程在波动力学中的类比）的分析，探索了准周期振荡的现象，即系统在相空间中沿着一个高维环面演化，尚未完全进入混沌状态。我们着重分析了共振现象在涡旋相互作用中的表现。 第六章：二维湍流与能量级串的确定性解释 针对二维流体，我们深入探讨了其能量和动量逆向级串的机制。此现象完全可以通过对Vorticity-Stream Function方程的分析来解释，其中两个非线性耦合的守恒量（如总能量和总涡量平方）的存在，限制了系统的演化空间。本章通过对Kolmogorov假设的直接检验，论证了在缺乏三维涡旋拉伸机制的情况下，能量如何在小尺度上被持续注入，而非通过随机性耗散。我们侧重于有限时间爆炸解的存在性与否，这对于理解高能流场的精确解至关重要。 第三部分：数值方法与高维系统的解析挑战 本部分探讨了解析求解复杂流体方程的局限性，并介绍了高精度数值模拟中确保结果确定性的方法。 第七章：高精度时间步进与空间离散化在非线性流体中的应用 讨论了用于求解N-S方程的隐式和显式时间积分方案（如Runge-Kutta法、Crank-Nicolson法）的稳定性和精度。重点在于如何选择空间离散格式（如有限体积法、谱方法）以最小化数值耗散和数值色散，从而确保模拟结果准确反映物理系统的确定性敏感性，而非数值方法的固有噪声。 第八章：模式识别与低维动力学重构（Proper Orthogonal Decomposition, POD） 本章介绍POD方法作为一种降阶技术，但其目的并非引入随机性，而是从高维流场快照中提取最优的、确定性的、能量最大的模态基。我们分析了如何通过分析低维投影空间中的动力学系统来重构原始非线性流动的关键特征。POD的基向量及其时间系数代表了流场中最主要的确定性、相干结构。 结语 本书将确定性动力学工具应用于流体力学这一经典领域，旨在揭示在经典方程支配下，系统如何通过非线性耦合自发地产生复杂性和尺度依赖性。我们避免了对微观层面的随机涨落的探讨，而是聚焦于宏观尺度上由初始条件精确决定的、高度敏感的演化路径。本书为深入理解经典物理系统在极端非线性状态下的内在确定性规律提供了坚实的理论基础。 关键词： 纳维-斯托克斯方程, 确定性混沌, 涡度传输, 分岔理论, 李雅普诺夫指数, 周期性激励, 奇异吸引子, 谱方法。

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