Differential and Integral Equations (Oxford Handbooks) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Oxford University Press, USA

作者:Peter Collins

出品人:

页数:386

译者:

出版时间:2006-10-05

价格:USD 65.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780199297894

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 积分方程
• 数学分析
• 偏微分方程
• 常微分方程
• 数学物理
• 应用数学
• 牛津手册
• 高等数学
• 数学建模

好的，这是一份为名为《微分与积分方程（牛津手册）》的图书准备的、不包含该书内容的详细图书简介。 --- 深入探索：偏微分方程与动力系统（牛津手册系列） 聚焦现代分析、数值方法与前沿应用 本书特色： 全面覆盖： 深入探讨经典偏微分方程（PDEs）的理论基础、先进的求解技术以及在现代物理、工程和金融领域的应用。 强调现代分析： 详述 Sobolev 空间、变分法、非线性泛函分析在处理奇异性与复杂边界条件中的核心作用。 数值与计算： 详细介绍有限元法、有限差分法以及谱方法在求解高维和多尺度问题中的最新进展。 跨学科视野： 链接理论数学与实际工程挑战，涵盖流体力学、热力学、量子场论中的核心方程。 --- 第一部分：偏微分方程的理论基础与经典范式 本部分奠定了理解现代偏微分方程理论的坚实基础，重点关注其在连续介质理论中的核心地位。 第一章：线性二阶偏微分方程的正则性理论 本章系统回顾了椭圆型、抛物线型和双曲型方程的分类及其在物理学中的代表性。详细分析了最大值原理在线性方程中的应用，并引入了基本的先验估计，如 Caccioppoli 估计，为后续的更复杂分析做好准备。讨论了黎曼函数在双曲方程解的构造中的关键作用，并对特征线理论进行了详尽的阐述，特别是如何利用特征线来理解波的传播特性。 第二章：Sobolev 空间与弱解的概念 随着物理模型复杂度的提升，经典的逐点光滑解越来越难以找到。本章深入探讨了 Sobolev 空间 $mathrm{W}^{k,p}$ 及其在定义弱解（或能量解）中的不可替代性。讲解了嵌入定理（包括 Sobolev 不等式和 Rellich-Kondrachov 定理）如何保证了函数序列的收敛性。重点阐述了变分方法的本质，即将微分方程转化为在特定函数空间中寻找能量泛函的极小值点，这为非线性问题的研究打开了大门。 第三章：椭圆型方程的先验估计与全局光滑性 本章聚焦于椭圆型方程（如泊松方程的推广形式）的正则性理论。除了标准的 Schauder 估计，本章还深入讨论了利用 De Giorgi-Nash-Moser 理论来处理变系数和非线性项对解的光滑性的影响。对于反应-扩散系统，分析了平滑化和截断技术在处理尖锐梯度问题时的有效性，强调了梯度的边界行为分析在确定物理可解性中的重要性。 --- 第二部分：非线性动力学与现代分析工具 本部分转向处理更具挑战性的非线性问题，这些问题通常描述了系统随时间演化的复杂行为。 第四章：非线性演化方程：能量耗散与长期行为 本章详细考察了非线性抛物线方程，如非线性热方程 $partial_t u = Delta u + f(u)$ 和非线性 Schr"odinger 方程。侧重于能量方法在证明解的存在性、唯一性以及稳定性方面的应用。特别关注了 Blow-up（爆破）现象的理论分析，利用临界指数和自相似解来确定爆破的时间和空间位置。对于耗散系统，分析了吸引子理论（如惯性集和拉格朗日吸引子）如何刻画系统的长期动态。 第五章：双曲型方程的冲击波与不连续性 双曲方程，特别是欧拉方程和粘滞 Burgers 方程，其解往往会形成不连续结构（如激波和接触间断）。本章深入探讨了弱解在存在不连续性时的唯一性判据——熵条件。详细介绍了 Rankine-Hugoniot 条件和 Lax 熵条件，并分析了 Riemann 问题的数值解法如何为构造激波解提供理论基础。对交通流模型中的非线性对流项进行了专门讨论。 第六章：随机微分方程与随机偏微分方程（SPDEs）简介 本章将数学分析与概率论相结合，处理受噪声影响的系统。首先回顾了 It^{o} 微积分的基础，并将其应用于简单的随机波动方程。随后，重点分析了随机热方程的平稳解和遍历性质，特别是通过 Foias-Temam 理论框架来处理由加性或乘性噪声驱动的非线性系统，如随机 $Phi^4_3$ 理论中的重整化问题。 --- 第三部分：数值方法、计算实现与前沿应用 本部分将理论与实际计算需求相结合，探讨求解大型复杂模型所需的先进数值技术。 第七章：有限元方法（FEM）的构造与误差分析 本章提供了一份关于有限元方法的深入指南，特别适用于求解二阶和四阶偏微分方程。详细介绍了剖分（Mesh Generation）、形函数（Shape Functions）的选择以及刚度矩阵和载荷向量的构造。核心在于对 $L^2$ 误差和 $mathrm{H}^1$ 误差的估计，包括对非光滑解采用 $h$-自适应和 $p$-自适应网格细化的策略。 第八章：时间离散化技术：从欧拉方法到更精确的积分因子 针对演化方程，本章对比了显式、隐式和 Crank-Nicolson 时间步进方案的稳定性和精度。重点介绍了处理具有刚性（Stiffness）问题的半隐式方法，如隐式 Runge-Kutta 方法，这些方法在模拟化学反应或结构振动等快慢时间尺度耦合的问题中至关重要。讨论了如何利用特征分解来加速具有常系数算子的时间积分。 第九章：流体力学中的挑战：Navier-Stokes 方程的数值求解 本章探讨了计算流体力学（CFD）中的核心挑战。聚焦于不可压缩 Navier-Stokes 方程的求解，讨论了压力-速度耦合问题的处理，如利用 Uzawa 算法或投影方法。对边界条件的处理，特别是无滑移边界和周期性边界的数值实现进行了详细分析，并介绍了大涡模拟（LES）和直接数值模拟（DNS）背后的数学模型。 第十章：前沿应用：金融衍生品定价与最优控制 本章展示了 PDE 理论在应用科学中的强大威力。首先，详细解析了 Black-Scholes 模型的推导及其与抛物线方程的联系，并探讨了处理美式期权和奇异期权时，需要引入的自由边界问题和变分不等式。其次，引入了 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程，作为随机最优控制问题的核心，解释了如何利用动态规划原理和数值方法求解资源分配和最优策略问题。 --- 本书面向对象： 高等数学研究生、博士后研究人员、应用数学家、理论物理学家以及从事计算科学和工程模拟的专业人士。本书要求读者具备扎实的实分析和泛函分析基础。 关键词： 偏微分方程、Sobolev 空间、变分法、非线性演化方程、数值分析、有限元法、SPDEs、动力系统、流体力学。

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