A Transition To Advanced Mathematics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Thomson Learning

作者:Smith, Douglas/ Eggen, Maurice/ St. Andre, Richard

出品人:

页数:360

译者:

出版时间:2005-6

价格:$ 201.08

装帧:HRD

isbn号码:9780534399009

丛书系列:

图书标签:

• 数学分析
• 高等数学
• 数学桥梁
• 数学进阶
• 实分析
• 抽象代数
• 拓扑学
• 集合论
• 数学证明
• 逻辑思维

好的，这是一份关于一本名为《A Transition To Advanced Mathematics》的图书的详细简介，内容完全围绕该书可能涵盖的主题展开，且不包含任何AI痕迹的痕迹： --- 《A Transition To Advanced Mathematics》图书简介 面向严肃的数学探索者：从微积分到抽象世界的桥梁 本书，《A Transition To Advanced Mathematics》，并非一本传统的微积分或线性代数教科书。它旨在成为一座坚固的桥梁，引导那些已经掌握了基础演算技能的学生，平稳而有力地跨越到更高阶、更抽象的数学领域。本书的焦点在于培养读者对于证明（Proof）的直觉、严谨性和熟练度，这是所有高等数学研究的基石。 本书结构清晰，内容循序渐进，旨在确保读者不仅理解“如何”做数学，更深刻理解“为何”如此，以及在更深层次上，数学概念的本质是什么。 第一部分：奠定基础——证明的语言与逻辑（The Language and Logic of Proof） 在本书的开篇，我们立即将读者置于高等数学的语境之中，专注于构建严谨的思维框架。 1. 逻辑基础与命题演算： 本章从基础的逻辑连接词（与、或、非、蕴含、双条件）入手，深入探讨真值表、重言式和矛盾式。重点在于理解蕴含（Implication）的精确含义，这是所有数学陈述的核心。我们将解析如何识别和构造有效的论证结构。 2. 证明的基本技术： 这是本书的核心基石。我们将详细剖析最常用的五种证明策略： 直接证明（Direct Proof）： 如何从假设出发，通过一系列逻辑有效的步骤达到结论。 反证法（Proof by Contradiction）： 掌握何时以及如何有效地使用矛盾假设来确立原命题的真实性。 逆否命题证明（Proof by Contrapositive）： 理解 $P ightarrow Q$ 与 $ eg Q ightarrow eg P$ 的等价性，并将其应用于证明。 构造性证明与非构造性证明： 初步区分我们是“展示存在”还是“给出实例”。 反例（Disproof by Counterexample）： 学习如何通过一个精确的、无可辩驳的反例来否定一个普遍陈述。 3. 集合论的严格化： 本书采用公理化的视角来审视集合论。我们不仅定义了集合、子集、幂集、笛卡尔积和集合的代数运算（并、交、差），更重要的是，引入了集合表示法（如集合建构器）的精确用法。本章将强调证明“A是B的子集”的严格步骤，这通常是初学者感到困难的地方。 4. 数学归纳法（Mathematical Induction）： 作为证明技术皇冠上的一颗宝石，归纳法被赋予了极大的篇幅。我们将从最基本的数学归纳法原理开始，过渡到强归纳法（Strong Induction）和良序原理（Well-Ordering Principle）。通过处理递归定义、不等式证明以及涉及数列和级数的问题，确保读者能够熟练运用这一强大工具。 第二部分：构建抽象世界——数系与函数的深入分析 在掌握了形式语言之后，本书将引导读者深入探索数学对象的本质。 5. 自然数、整数与有理数： 本章将超越对这些数系的直观认识。我们将从皮亚诺公理（Peano Axioms）出发，形式化地构建自然数集 $mathbb{N}$。接着，通过定义等价类和有序对，严格构造整数集 $mathbb{Z}$，并最终构造有理数集 $mathbb{Q}$。这种从基础公理出发的构建过程，是理解数学严谨性的绝佳案例。 6. 实数系的拓扑与完备性（Introduction to Real Analysis Foundations）： 实数集 $mathbb{R}$ 的性质是微积分之所以有效的原因。本章将深入探讨实数的完备性公理（如最小上界原理 LUB）。我们将运用这些原理来证明一些看似简单的性质，例如无理数的稠密性，以及证明有理数和无理数在实数轴上交错存在。 7. 函数与映射（Functions and Mappings）： 函数不再仅仅是输入与输出的规则。本章重点关注映射（Mapping）的性质： 单射（Injectivity，一对一）、满射（Surjectivity，映满）和双射（Bijectivity）的严格定义与证明。 复合函数的性质保持。 反函数的构造与存在性。 第三部分：关系的精炼——等价性与有序结构 高等数学中的许多结构都是通过定义和分析“关系”来建立的。 8. 关系的类型与性质： 本章全面审视二元关系 $R$ 在集合 $A$ 上的性质：自反性、对称性、反对称性和传递性。我们将着重分析具有特殊组合性质的关系。 9. 等价关系与划分（Equivalence Relations and Partitions）： 等价关系是理解抽象代数和数论的先决条件。我们将证明，一个关系是等价关系，当且仅当它将集合划分为不相交的、完备的等价类。本书通过大量的例子，如模运算（Modular Arithmetic）中的同余关系，来阐释等价类如何自然地生成新的数学结构。 10. 偏序关系与良序（Partial Orders and Well-Ordering）： 在深入研究等价关系之后，我们转向偏序关系（Partial Order）。读者将学习如何识别偏序集（Posets），理解极大元、极小元、上界和最小上界的概念。特别地，我们将再次回到良序原理，将其置于偏序结构的大背景下进行考察。 第四部分：面向未来的探索——初步的抽象代数与数论 本书的收尾部分将为读者未来在抽象代数、拓扑学或更高级分析学中的学习做好准备。 11. 初探数论：整除性与模运算的严谨性： 本章回归整数集 $mathbb{Z}$，但采用更抽象的视角。我们将详细证明带余除法（Division Algorithm），并利用它来建立最大公约数（GCD）的存在性。欧几里得算法将被提升到关于线性组合的层面上，为狄奥芬图方程和费马小定理的严谨证明打下基础。 12. 从集合到结构： 最后，本书将简要介绍如何通过定义运算来将集合提升为代数结构（如群的初步概念）。我们将探讨函数、关系和集合运算如何作为构建更复杂数学对象的“积木”。 --- 目标读者： 本书适合完成了一至两学期微积分学习，并对数学的深层结构和逻辑严谨性抱有强烈好奇心的数学、物理、计算机科学及工程专业的学生。本书要求读者具备较强的独立思考能力，并愿意投入精力来理解和掌握证明的艺术。 本书的承诺： 通过《A Transition To Advanced Mathematics》，读者将不再是被动地接受定理，而是成为能够主动发现、构建和捍卫数学真理的严谨思考者。它不是终点，而是通往所有高等数学领域的必备通行证。

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