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出版者:Springer

作者:Klaus Fritzsche

出品人:

页数:398

译者:

出版时间:2002-4-12

价格:USD 94.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387953953

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 复流形
• 【教材】
• Math
• GTM
• English
• Complex Analysis
• Holomorphic Functions
• Complex Manifolds
• Riemann Surfaces
• Several Complex Variables
• Topology
• Geometry
• Mathematical Analysis
• Advanced Mathematics
• Pure Mathematics

《从全纯函数到复流形》 一部探索复数世界深层结构的严谨著作 本书《从全纯函数到复流形》并非一部简单的教科书，而是一次跨越多个数学分支的深度探索，它旨在为读者构建一个关于复数世界严谨而系统的理解框架。本书的叙事脉络清晰，从最基础的全纯函数概念出发，层层递进，最终抵达抽象而强大的复流形理论。它不仅涵盖了理论的精髓，更注重展现数学思想的演进和不同概念之间的内在联系。 全纯函数的奥秘：解析性质的基石 本书的开篇，我们将一同深入理解全纯函数这一核心概念。全纯函数，作为复变函数论的基石，其定义本身就蕴含着深刻的解析性。我们不仅会学习其定义、性质，例如柯西-黎曼方程，更会探讨其带来的强大解析延拓能力。本书将详细阐述柯西积分定理和柯西积分公式，揭示全纯函数为何如此“特殊”——它们不仅是局部可微的，更是处处可解析的，其在复平面上的行为被其在任意一点的解析性质完全确定。 泰勒级数和洛朗级数是理解全纯函数局部行为的有力工具。本书将详细讲解如何利用这些级数来分析全纯函数的奇点，区分可去奇点、极点和 essential 奇点，并深入讨论留数定理在计算复杂积分中的强大应用。我们还将审视解析延拓的深刻内涵，它允许我们将一个函数从其定义的区域推广到更广阔的区域，这在数学和物理的许多领域都扮演着至关重要的角色。 复数域的丰富性：代数与几何的交织 在打下坚实的全纯函数基础后，本书将把视角拓展到更广阔的复数域。我们将会探讨复数代数结构，例如复数环、域的性质，以及与之相关的代数方程求解。多项式的根的分布，代数基本定理的证明，都将在本书中得到细致的分析。 同时，复数域的几何直观性也将被充分挖掘。复数的几何表示，即复平面上的点，以及复数运算对应的几何变换（如平移、旋转、缩放）将贯穿全书。函数映射的几何意义，例如线性变换、分式线性变换（Möbius 变换）如何扭曲和映射复平面，将通过具体的例子和图示得到生动的展示。本书将揭示，代数上的运算如何精确地对应到几何上的变换，为理解更复杂的几何对象打下基础。 区域与结构的拓展：从单连通域到紧致曲面 随着我们对全纯函数理解的加深，本书将开始关注函数作用的“舞台”——复数域的子集，即区域。我们将会区分开区域的拓扑性质，特别是单连通域和非单连通域。单连通域的特殊性在于，任何闭合曲线都可以连续地收缩成一点，这使得柯西定理在单连通域上有着更为简洁和强大的应用。 本书将深入研究黎曼映射定理，这一深刻的定理表明，任何两个单连通的、非空且非全平面的区域，都存在一个保角映射（全纯且其导数非零的映射）将它们一一对应起来。这个定理极大地揭示了单连通复区域的同构分类，是复分析领域的一个里程碑式的成果，其证明本身就充满了数学智慧。 我们将逐步引入更复杂的区域结构，例如复环以及其他带有“洞”的区域。这些结构的分析需要更精细的工具，例如复数积分的路径选择和多值函数（如对数函数和根式函数）的处理。理解这些结构，是通向更高级理论的必然步骤。 复曲面：从全局视角审视复数之美 本书的最后部分，我们将迈入复流形，特别是复曲面的理论。复曲面是复数域的拓扑空间，在局部来看，它看起来就像一个全纯函数可以作用的复数域，但在全局上，它可能具有非常复杂的拓扑结构。本书将清晰地阐述复曲面的定义，以及如何通过“图册”（charts）和“粘合”（gluing）的策略来构造一个全局的复结构。 我们将详细讨论复曲面的分类，特别是紧致复曲面。本征值、本征向量、以及与这些概念相关的李群和李代数的思想，将在描述复曲面的对称性和结构时发挥作用。我们还将接触到一些重要的复曲面，例如球面、环面（torus），以及更一般的黎曼面。 函数的性质在复曲面上将得到更广泛的探讨，例如亚纯函数（允许在有限个点有极点的全纯函数）在紧致复曲面上的行为。我们还会探讨上同调（cohomology）等更高级的代数拓扑工具，这些工具对于理解复曲面的全局性质至关重要。本书将为读者揭示，复曲面不仅仅是抽象的数学对象，它们在代数几何、微分几何、甚至理论物理（如弦理论）中都扮演着核心角色。 本书的价值与读者群体 《从全纯函数到复流形》适合于数学专业本科高年级学生、研究生，以及对复分析和复几何有浓厚兴趣的数学研究者。本书假定读者已经具备扎实的微积分和线性代数基础，并对拓扑学有初步的了解。 本书的写作风格严谨而不失清晰，每一个概念的引入都伴随着详尽的定义、定理的证明以及丰富的例子。通过阅读本书，读者不仅能够掌握复分析和复流形的核心理论，更能够培养严谨的数学思维，理解不同数学分支之间的深刻联系，并为进一步深入研究高深数学领域打下坚实的基础。它是一次激动人心的数学旅程，带领读者从复数的点滴细节，走向理解宇宙深层数学结构的宏伟图景。

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坦白说，这本书的定价对于它的内容呈现来说，显得有些过高了。我承认其知识的价值，但作为一本教材或参考书，其生产质量有待商榷。尤其是在涉及一些复杂张量运算和符号表示时，字体和标点符号的混用时有发生，这在如此专业的领域是不能容忍的疏忽。在理论深度上，它确实到达了复流形研究的前沿领域，例如某些向量丛的稳定性条件的探讨，其严谨性是顶尖级别的。我发现作者在处理纤维丛的截面存在性问题时，引用了非常现代的分析工具，这表明了作者紧跟学术前沿的努力。但是，这种前沿性也意味着这本书的“保质期”相对较短，因为复几何领域的发展日新月异。总而言之，它是一份厚重的、充满真知灼见的学术资料，但缺乏亲和力，更像是一份需要被“解码”的专业文献集，而不是一本可以轻松融入日常学习的伴侣书。

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这本书的封面设计着实吸引人，那种深沉的蓝色调配上精致的烫金字体，让人联想到数学殿堂中那些晦涩却又光芒万丈的定理。我抱着极大的期待翻开它，希望能在这本《From Holomorphic Functions to Complex Manifolds》中找到连接直观函数概念与更高阶几何结构的桥梁。起初的章节，对于黎曼曲面和全纯函数性质的探讨，深入浅出，作者的笔触细腻，仿佛在引导我们漫步于一个由复数构筑的精妙迷宫。特别是关于柯西积分公式的推广和局部构造的描述，逻辑链条清晰有力，即便面对那些抽象的拓扑限制，也能感觉到一种数学上的美感。然而，随着内容的推进，我发现作者在处理一些基础概念的引入上略显跳跃。例如，在讨论向量丛的初级理论时，如果能加入更多关于线性代数与微分几何交叉点的直观几何解释，对于初学者来说会更加友好。总的来说，它在专业深度上是毋庸置疑的，但阅读体验上，似乎在某些关键的“软着陆”环节略有不足，需要读者具备相当的预备知识才能完全领会其精髓。

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阅读这本厚重的著作，我最大的感受是作者试图在一本书中囊括从初级复变函数到现代复几何的宏大蓝图。这种野心是值得称赞的，但执行起来难免显得有些用力过猛。书中关于霍奇理论的介绍部分，内容极为扎实，涉及到了代数拓扑的一些深层工具，这无疑为有志于研究这一领域的读者提供了宝贵的资源。我特别欣赏作者在处理微分形式的拉普拉斯算子时的严谨性，每一个微分和积分的交换都经过了详尽的论证。不过，这种详尽有时反而成了障碍。在试图快速建立整体概念框架时，过多的技术细节会让人感到窒息。我希望看到更多精炼的概括性陈述，将那些复杂的证明过程适当地“折叠”起来，留给读者自己去探索那些细节。它更像是一份详尽的参考手册，而不是一本引人入胜的叙事性教材。对于已经有一定基础的研究生来说，它是一份优秀的“工具箱”，但对于希望通过阅读建立起对复流形直观感知的读者，可能需要配合其他更具启发性的读物。

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这本书的排版和图示部分，简直是一场视觉的灾难，这极大地影响了阅读的连贯性。在讨论如厄米度量或卡拉比-丘流形时的关键图示，往往模糊不清，或者位置安排得极其别扭，使得原本就抽象的数学对象更难想象。内容上，它确实涵盖了复几何中的核心议题，比如凯勒结构的定义和性质，以及相关的模空间理论的初步探讨。作者对这些前沿话题的涉猎深度令人印象深刻，显示了其深厚的学术功底。但这种深度是以牺牲可读性为代价的。我花了很多时间去对照不同的章节，试图理解作者是如何从一个概念平滑地过渡到下一个概念的。有时候，感觉作者仿佛在对着一位满级玩家讲解基础知识，完全忽略了读者在逻辑跳跃点上可能产生的困惑。这是一部为“行家”准备的作品，如果你不是已经浸淫此道多年，准备好迎接大量的自我修正和回溯阅读吧。

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我购买这本书的初衷是想系统性地梳理一下从全纯映射到复结构定义的内在联系。书中关于构造局部坐标系和证明外微分代数上运算的相容性时所使用的代数工具非常纯粹，体现了作者对结构主义数学哲学的深刻理解。这部分的论证是无可挑剔的，如果你追求的是数学证明的“纯度”和逻辑上的完美闭环，那么这本书无疑是顶级的。然而，这种纯粹性带来了一个副作用：极度缺乏物理或几何上的直观动机。例如，在讨论切丛和典范截面时，如果能穿插一些关于物理场论或代数几何中实际应用案例的简短注解，哪怕只是一个脚注，都能极大地增强读者的参与感。目前来看，它更像是在一个纯粹的、真空中的数学空间里进行推导，缺少与“世界”的连接点。对于那些需要将数学工具应用于实际问题（即使是抽象问题）的研究者来说，这本书提供的“为什么”可能不如“如何做”来得清晰。

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