21世纪高等院校工科类各专业数学基础辅导教材（下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:北京大学

作者:刘书田,胡京兴,等

出品人:

页数:249

译者:

出版时间:2008-2

价格:25.00元

装帧:

isbn号码:9787301123980

丛书系列:

图书标签:

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现代工程科学前沿：面向应用与创新的数学思维 本书聚焦于支撑二十一世纪工程技术飞速发展的核心数学工具与方法论，旨在为理工科高年级本科生及研究生提供一套深度融合现代工程应用、强调问题解决能力的进阶数学辅导体系。本书不涉及基础微积分、线性代数或概率论的入门性知识，而是直接切入这些理论在复杂系统建模、数据分析与优化控制中的高级应用。 --- 第一部分：工程中的微分方程与动态系统分析（约 450 字） 本部分深入探讨超越常微分方程基础形式的偏微分方程（PDEs）在描述物理现象中的核心地位，并着重于如何利用现代数值方法求解那些解析解难以获得的复杂工程问题。 1. 偏微分方程的建模与分类： 我们将详细解析傅里叶热传导方程、波动方程以及泊松方程在材料科学、电磁场分析中的实际意义。重点讨论边界条件（Dirichlet, Neumann, Robin）的物理设定与数学处理，并介绍分离变量法在特定几何结构下的应用局限性。 2. 泛函分析在无限维空间中的应用基础： 为了理解PDE的严格解，本章引入了希尔伯特空间的基本概念，讨论了算子理论在描述物理守恒律中的作用。这部分内容旨在为后续的变分法和有限元分析奠定坚实的理论基础，而非停留于对抽象空间的简单介绍。 3. 现代数值方法：有限差分与有限元法的对比： 我们详细比较了有限差分法（FDM）在处理规则网格问题时的优势与精度问题，并着重讲解了有限元法（FEM）如何通过变分原理（如伽辽金方法）来处理不规则几何形状和复杂材料属性。具体内容包括单元刚度矩阵的构建、装配过程、以及对非线性问题的迭代求解策略（如牛顿法在PDE求解中的应用）。 4. 动力系统与稳定性分析： 本章从工程控制论的角度审视常微分方程组（ODE Systems）。内容涵盖相平面分析、李雅普诺夫稳定性判据（Lyapunov Stability Criteria）的严格推导与应用，特别是如何利用线性化方法分析平衡点的局部稳定性。此外，还将介绍分岔理论（Bifurcation Theory）的基础，用以理解系统参数微小变化如何导致系统行为的质变（如霍普夫分岔）。 --- 第二部分：优化理论与计算方法（约 480 字） 本部分是现代工程设计与决策制定的数学核心。内容从理论推导过渡到高效的算法实现，侧重于无约束与约束优化问题在资源配置、系统校准中的实践。 1. 无约束优化的高级算法： 重点讲解牛顿法（Newton's Method）和拟牛顿法（Quasi-Newton Methods，特别是BFGS算法）的迭代过程、收敛速度分析及其在计算资源受限情况下的改进策略。对共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）在大型稀疏系统中的高效性进行深入剖析。 2. 约束优化与对偶理论： 详细阐述拉格朗日乘数法在等式约束优化中的严格应用。核心内容转向KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions），作为判断解是否为局部最优的必要条件，并讨论其在凸优化和非凸优化中的辨析。 3. 内点法与序列二次规划（SQP）： 针对大规模约束优化问题，本书将重点介绍内点法（Interior-Point Methods）的计算流程，包括障碍函数（Barrier Functions）的设计与求解路径的跟踪。SQP方法则被视为处理非线性约束问题的黄金标准，我们将分析其如何通过求解一系列二次规划子问题来实现高效收敛。 4. 随机优化与鲁棒性设计： 在面对不确定性输入时，如何保证解的可靠性。内容包括随机梯度下降法（SGD）及其在机器学习模型训练中的应用，以及如何利用鲁棒优化（Robust Optimization）框架，通过定义不确定性集来求解对参数波动不敏感的优化方案。 --- 第三部分：应用复变函数与积分变换（约 350 字） 本部分侧重于复分析在解决涉及边界和周期性问题的强大能力，并将其与工程中的信号处理和控制系统紧密结合。 1. 复变函数基础与解析函数的性质： 复数域中的导数定义、柯西-黎曼方程的物理意义。重点讨论解析函数在共形映射中的应用，如电位场或流体速度场的映射问题。 2. 柯西积分定理与留数定理的工程应用： 不进行冗长抽象的证明，直接聚焦于留数定理在计算定积分（尤其是涉及三角函数和无穷区间的积分）中的威力。通过实例展示如何利用留数法求解傅里叶逆变换中的特定积分，这在信号恢复中至关重要。 3. 傅里叶变换与拉普拉斯变换的深度应用： 本书强调拉普拉斯变换在求解线性常微分方程初值问题中的系统性优势，尤其是在分析系统瞬态响应和稳定裕度时。傅里叶变换则从频谱分析的角度，结合快速傅里叶变换（FFT）的计算效率，分析信号中的频率成分与系统滤波器的设计。 4. Z 变换在离散系统分析中的地位： 针对数字控制系统，本章介绍Z变换如何作为拉普拉斯变换在离散时间域的对应工具，用于分析和设计数字滤波器与控制算法的稳定性。 --- 第四部分：概率论的高级专题与随机过程（约 270 字） 本部分超越了基础概率论的范畴，深入探讨描述时间演化不确定性的随机过程理论及其在信号滤波与可靠性工程中的应用。 1. 随机过程的基本概念与分类： 马尔可夫链（Markov Chains）在状态转移分析中的应用，如可靠性评估与系统故障预测。着重介绍平稳性（Stationarity）和遍历性（Ergodicity）的工程含义。 2. 维纳过程与布朗运动： 作为所有连续时间随机过程的基础，我们将介绍布朗运动的数学结构及其与偏微分方程（如Black-Scholes方程的扩散项）的关联。 3. 随机过程的估计与滤波： 这是本章的重点。我们将引入卡尔曼滤波（Kalman Filtering）的递推算法，详细解释状态估计、协方差更新和卡尔曼增益的计算过程，展示其在导航、传感器数据融合与噪声抑制中的核心地位。本书将侧重于扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF）在线性化假设失效情况下的应用。 4. 蒙特卡洛方法与不确定性量化（UQ）： 介绍基于大量随机抽样的蒙特卡洛模拟，用于评估复杂系统性能的概率分布。重点讨论拉丁超立方采样（Latin Hypercube Sampling）等高效抽样技术，以及如何将这些方法与上述优化理论相结合，实现面向不确定性的工程设计。 --- 总结： 本书的编写遵循“理论为工具，工程为导向”的原则，所有数学概念的引入均服务于解决真实的、复杂的工程计算或分析难题。它要求读者已具备扎实的微积分和线性代数基础，旨在构建从“解题”到“建模与决策”的思维跨越。

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