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出版者:Academic Press

作者:Joseph J. Rotman

出品人:

页数:376

译者:

出版时间:1979-7-12

价格:USD 72.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780125992503

丛书系列:

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好的，以下是一本名为《代数拓扑基础》的图书简介，该书内容与《Introduction to Homological Algebra》完全无关。 --- 图书名称：代数拓扑基础 (Foundations of Algebraic Topology) 作者： [此处可填写真实作者名或虚构作者名] 出版社： [此处可填写真实出版社名或虚构出版社名] 页数： 约 650 页 定价： [此处可填写真实定价或虚构定价] 简介 《代数拓扑基础》是一本旨在为数学、物理学以及相关工程领域的研究者和高年级本科生、研究生提供坚实基础的教材。本书聚焦于代数拓扑学的核心概念、基本工具及其在解决几何和拓扑问题中的应用。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在通过详尽的定义、直观的例子和严格的证明，引导读者深入理解抽象的拓扑结构如何通过代数组合被量化和分析。 本书的撰写遵循循序渐进的原则，从最基础的拓扑空间概念出发，逐步构建起同调论和上同调论的理论框架。我们力求在保持数学严谨性的同时，提供足够的几何直觉，以帮助读者理解这些抽象概念的实际意义。 --- 主要内容概述 第一部分：拓扑空间与连续映射 本书伊始，我们首先回顾并深化了拓扑学的基本概念。这部分内容旨在为后续代数工具的引入奠定必要的语言基础。 1. 拓扑空间的基本概念： 详细阐述了开集、闭集、邻域、连续性、紧致性、连通性等核心概念。我们引入了度量空间、Hausdorff空间以及完备性的讨论，为后续引入同伦、同调理论中的关键结构（如纤维丛）做好铺垫。 2. 连续映射的性质： 探讨了连续映射在拓扑空间分类中的作用，特别是同胚、商空间的概念。此处着重分析了商空间的构造如何影响拓扑性质的保持或改变。 3. 嵌入与积空间： 详细讨论了流形的基础概念，包括局部坐标系和图册。积空间的构造及其拓扑性质的继承性被深入分析，为构建复杂几何对象的拓扑描述打下基础。 第二部分：同伦论：基础与应用 同伦论是代数拓扑中一个至关重要的分支，它通过研究路径和映射的形变来区分拓扑空间。 1. 基本群（$pi_1$）： 本部分从路径和圈的概念出发，严谨地构造了基本群，并展示了其作为不变量的强大威力。我们详细讨论了自由群的性质，以及如何计算简单连通空间（如球面 $S^n$ 的基本群）的同伦群。 2. 覆盖空间理论： 覆盖空间的构造是理解基本群的几何工具。我们详尽阐述了提升引理（Path Lifting Lemma）和映射提升定理（Map Lifting Theorem），并以此为基础证明了不动点定理和布劳尔不动点定理的某些特殊情况。 3. 纤维丛： 纤维丛的概念在微分几何和物理学中具有核心地位。本书介绍了主丛、向量丛的基本构造，以及丛空间与基空间之间同伦群的联系，特别是欧拉类和示性类的初步概念引入。 第三部分：奇异同调论：构建量化工具 同调论是代数拓扑的核心。本书选择从奇异同调论（Singular Homology Theory）入手，因为它具有最强的普适性和最清晰的计算性。 1. 单纯形与链复形： 我们从最基础的几何对象——单纯形（Simplex）开始，定义了奇异链群 $C_n(X)$，并引入了边界算子 $partial$。通过链复形的构造，我们形式化了“洞”的概念。 2. 同调群的构造与性质： 详细定义了同调群 $H_n(X) = ker(partial_n) / ext{im}(partial_{n+1})$。重点讨论了五大基本性质：正合性（Exactness）、维度可加性（Dimension Axiom）、同伦不变性（Homotopy Invariance）、迈耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）以及约化同调（Reduced Homology）。 3. 马尔德维兹序列与应用： 迈耶-维托里斯序列是计算复杂空间同调群的有力工具。本书提供了多个关于球面 $S^n$、环面 $T^2$ 以及楔和积空间的详细计算实例，展示了如何利用该序列分解复杂拓扑结构。 第四部分：胞腔同调与计算模型 为了提供更高效的计算方法，本书引入了胞腔同调（CW Homology）。 1. CW复形： 定义了 CW 结构，并解释了其如何简化同调计算。 2. 胞腔同调的定义与与奇异同调的同构： 证明了胞腔同调群与奇异同调群在同构意义上是等价的，这极大地简化了对常见拓扑空间的计算。例如，对射影空间 $mathbb{RP}^n$ 和 Grassmann 流形的同调计算被简化为对矩阵的分析。 第五部分：上同调基础：对偶性与截面 上同调论是同调论的对偶，在微分几何和理论物理中具有不可替代的地位。 1. 上链复形与上同调群： 介绍了上链复形 $C^n(X; G)$ 的构造，以及上边界算子 $delta$。重点阐述了上同调群 $H^n(X; G)$ 的定义。 2. 上同调与张量积： 分析了上同调与系数域的选择对结果的影响。引入了万有系数定理（Universal Coefficient Theorem）的陈述和应用，展示了如何从同调群推导出上同调群。 3. 上同调环： 构造了杯积（Cup Product）和帽积（Cap Product），定义了上同调环结构。杯积的几何解释（映射的截面）被详尽阐述，特别是与纤维丛的陈类（Chern Classes）的初步联系被提及。 --- 本书特色 几何直觉与代数严谨的平衡： 每一代数构造都伴随着清晰的几何动机解释，避免了纯粹的符号推演。 丰富的计算实例： 包含大量从简单空间到复杂流形（如球面、环面、射影空间）的详细同调与同伦计算步骤。 聚焦核心工具： 深入探讨了五大公理（特别是迈耶-维托里斯序列）的应用，确保读者能够熟练运用这些分析工具。 连接前沿： 在适当位置引入了示性类、向量丛等概念的初步介绍，为读者后续深入研究微分拓扑和几何学指明方向。 《代数拓扑基础》不仅是理解拓扑空间内在结构的一把钥匙，更是学习现代几何与拓扑学不可或缺的基石。本书旨在培养读者运用代数语言描述和区分几何对象的分析能力。

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对于《Introduction to Homological Algebra》这本书，我的期望是它能提供一个清晰且富有逻辑性的框架，帮助我理解同调代数的核心思想。我希望这本书能够从最基础的概念入手，例如群同调（group cohomology）和环同调（ring cohomology）的初步介绍，以此来引入同调代数的基本工具——链复形（chain complexes）。我特别关注它如何处理“正合性”（exactness）的概念，以及为何需要超越正合函子（exact functors）去研究导出函子（derived functors）。我希望书中能详细解释投射（projective）和内射（injective）模的概念，以及它们在构建分辨率（resolutions）中的作用。导出函子，如Tor和Ext，我期待这本书能以一种易于理解的方式来定义它们，并通过一系列精心设计的例子来展示它们的计算方法和性质。我希望这些例子能够涵盖不同的数学领域，例如交换代数、模论，甚至一些初级的代数几何。这本书能否帮助我理解在各种代数结构中，同调代数是如何揭示隐藏的性质，例如群扩张（group extensions）的分类，或者模的结构（structure of modules）的分析，将是我衡量其成功与否的关键。我期望这本书不仅是知识的传授，更是思维方式的引导，让我能够独立运用同调代数的工具解决更复杂的问题。

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《Introduction to Homological Algebra》这本书，对我而言，是开启一段严谨数学探索之旅的钥匙。我寄希望于它能系统地介绍同调代数这一数学分支的核心内容，从基础的链复形（chain complexes）出发，逐步深入到同调（homology）和上同调（cohomology）的计算与应用。我特别关注书中对“正合性”（exactness）的深入讨论，以及投射（projective）和内射（injective）模在构建分辨率（resolutions）中的关键作用。我对导出函子（derived functors）的介绍充满期待，尤其是Tor函子和Ext函子，我希望这本书能提供清晰的定义、可操作的计算方法，以及它们在代数几何、交换代数等领域的实际应用范例。例如，我期望看到Tor函子如何帮助我们理解张量积（tensor products）的性质，以及Ext函子如何用于对模的扩张（extensions of modules）进行分类。这本书能否有效地帮助我建立起对同调代数的直观理解，并培养我独立运用其工具解决复杂数学问题的能力，将是我评价其成败的关键。我深信，这本书将是我在抽象代数领域深造的宝贵财富。

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《Introduction to Homological Algebra》这本书以其精炼的标题，向我展示了它所要探索的数学疆域。作为一名对抽象代数充满热情的学习者，我希望这本书能够提供一个系统而深入的导引，让我理解同调代数的核心思想和方法。我期待这本书能够从链复形（chain complexes）的构建和性质开始，逐步引入同调（homology）和上同调（cohomology）的概念，并阐明它们在代数结构分析中的作用。我尤其关心书中对“正合性”（exactness）的讨论，以及如何通过投射（projective）和内射（injective）分辨率来定义导出函子（derived functors）。Tor函子和Ext函子，我希望这本书能以清晰的语言和丰富的例子来展示它们的定义、计算方法以及在代数几何、交换代数等领域的广泛应用。例如，我希望能看到Tor函子如何帮助我们理解张量积（tensor products）的性质，以及Ext函子如何用于分类模的扩张（extensions of modules）。这本书能否帮助我建立起对同调代数的直观理解，并培养运用其工具解决问题的能力，将是我评价其价值的重要维度。我期望这本书能成为我数学探索旅程中的重要里程碑。

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当我翻开《Introduction to Homological Algebra》时，首先吸引我的是它为读者构建的知识图谱。这本书似乎不仅仅是一本教材，更像是一份精心绘制的数学地图，指引着我深入探索同调代数的广阔天地。我特别看重的是它如何引导我理解“同调”这一核心概念的起源和意义。是从群论中的亏数（deficiency）概念，还是从拓扑学中的同调论（homology theory）那里获得灵感？这本书能否清晰地解释链复形（chain complexes）和余链复形（cochain complexes）之间的联系与区别，以及它们如何成为构建同调代数的基础？我希望书中能深入探讨同态（homomorphism）在链复形中的作用，特别是那些保持复形结构的同态，以及它们如何诱导出同调群之间的映射。此外，导出函子（derived functors）是同调代数的核心工具，我非常期待这本书能以一种引人入胜的方式介绍它们，例如从投射分辨率（projective resolutions）和内射分辨率（injective resolutions）的构建开始，并解释这些分辨率是如何“衡量”一个函子偏离精确性的程度的。我希望能理解Tor函子和Ext函子是如何具体计算的，以及它们在理解模（modules）的结构和性质方面起到的关键作用。这本书的深度和广度，能否让我看到同调代数在代数几何、交换代数、表示论等领域中的应用前景，是我关注的重点。

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我尝试理解《Introduction to Homological Algebra》这本书，更多的是被它所描绘的数学语言所吸引。它并非那种仅仅罗列定义和定理的书籍，而是仿佛在邀请我参与一场思维的探险。我期望这本书能够深入浅出地解释“同调”这个概念的真正含义，它不仅仅是关于链和群的计算，更是关于对象之间的“关系”和“结构”的一种深刻洞察。我希望它能生动地展示链复形（chain complexes）是如何在代数对象之间建立桥梁，以及同调（homology）和上同调（cohomology）是如何揭示这些对象隐藏的性质。书中关于函子（functors）的介绍，我希望能看到它们如何“传递”代数结构，以及那些“正合”函子（exact functors）的优越性，而同调代数正是为了处理那些“不正合”的函子而诞生的。导出函子（derived functors）的引入，我希望它能以一种非常清晰的逻辑链条展现，从最初的直观想法，到严谨的定义，再到它们在实际问题中的应用。例如，我希望能看到Tor函子和Ext函子是如何通过投射分辨率（projective resolutions）和内射分辨率（injective resolutions）来定义的，以及这些分辨率本身是如何构成的。这本书能否提供足够多的例子，帮助我理解这些抽象概念的几何意义或代数直觉，将是我衡量其价值的重要标准。我期待这本书能成为我深入理解抽象代数和代数拓扑学的坚实基石。

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《Introduction to Homological Algebra》这本书的封面散发着一种沉静而权威的气息，预示着它将带领我进入一个严谨且深刻的数学世界。我希望这本书能够系统地介绍同调代数的基本框架，包括链复形（chain complexes）、同调（homology）和上同调（cohomology）的基本概念。我特别看重它如何阐释“正合性”（exactness）的重要性，以及为何我们需要导出函子（derived functors）来处理那些“不正合”的函子。我希望书中能清晰地解释投射（projective）和内射（injective）模的概念，以及它们在构建链复形（chain complexes）和分辨率（resolutions）中的关键作用。导出函子的引入，我期待这本书能够以一种逻辑严谨的方式介绍Tor函子和Ext函子，包括它们的定义、计算方法以及在不同数学分支中的应用。例如，我希望看到Tor函子如何应用于研究张量积（tensor products）的性质，以及Ext函子如何用于分析模的扩张（extensions of modules）。这本书能否提供足够的例子和练习，帮助我巩固所学知识，并培养独立解决问题的能力，将是我衡量其价值的重要标准。我期望这本书能为我打开一扇通往代数几何、交换代数等更高级领域的大门。

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我拿起《Introduction to Homological Algebra》这本书，怀揣着一种探索未知领域的兴奋感。我深知同调代数在现代数学中的重要地位，它如同一种通用的语言，能够连接起看似风马牛不相及的数学分支。因此，我非常期待这本书能够带领我系统地学习这一领域。我希望它能从链复形（chain complexes）的定义和基本性质出发，逐步引入同调（homology）和上同调（cohomology）的概念，并清晰地解释它们与拓扑空间中的同调论（homology theories）的联系。我特别想深入理解函子（functors）在同调代数中的作用，特别是那些“左导出函子”（left derived functors）和“右导出函子”（right derived functors），以及它们是如何被构造出来的。我希望书中能够详细讲解Tor函子和Ext函子，不仅仅是它们的定义，更重要的是它们的计算方法和在具体问题中的应用。例如，我希望能看到Tor函子如何用于研究张量积（tensor products）的性质，以及Ext函子如何用于分类模的扩张（extensions of modules）。这本书能否提供一些直观的几何解释或代数直觉，来帮助理解这些抽象的概念，对我来说至关重要。我期望这本书能够让我对同调代数有一个全面而深入的认识，并为我进一步学习更高级的主题打下坚实的基础。

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当我第一次看到《Introduction to Homological Algebra》这本书时，我就被它所蕴含的数学深度所吸引。我渴望通过这本书深入理解同调代数这一强大的数学工具。我希望这本书能够从链复形（chain complexes）和同调（homology）的基本概念讲起，逐步引导我理解更复杂的理论，例如导出函子（derived functors）。我期待书中能详细解释投射（projective）和内射（injective）模的概念，以及它们在构造链复形（chain complexes）和分辨率（resolutions）中的重要作用。特别是对于Tor函子和Ext函子，我希望这本书能提供清晰的定义、计算方法以及它们在解决具体数学问题中的应用。例如，我希望能看到Tor函子在张量积（tensor products）和平坦性（flatness）研究中的作用，以及Ext函子在分类模的扩张（extensions of modules）和研究群同调（group cohomology）中的应用。这本书能否提供一些直观的几何或代数解释，帮助我理解这些抽象概念的本质，对我来说非常重要。我期望这本书能够成为我深入学习代数拓扑、交换代数和表示论等领域的基础。

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这本书的标题《Introduction to Homological Algebra》本身就充满了学术的严谨与一丝神秘感。我作为一名初涉代数拓扑学领域的研究生，怀揣着对抽象代数概念的渴望和对同调代数这门“强大工具”的好奇，在导师的推荐下选择了它。拿到这本书的时候，我被它那厚实而沉甸甸的纸张，以及封面设计所散发出的经典气息所吸引。我期待着它能像一位经验丰富的向导，带领我在同调代数的迷宫中找到方向，理解那些看似晦涩的构造，例如链复形、同调群、导出函子，以及在代数几何和表示论中它们扮演的关键角色。我希望这本书不仅仅是概念的堆砌，而是能够真正展现同调代数的力量，它如何连接不同的数学分支，如何解决经典代数问题，例如群的扩张，环的模论，以及射影模与内射模的性质。我尤其期待书中能够包含一些直观的例子和几何解释，帮助我理解这些抽象概念的本质，而不是仅仅停留在符号运算的层面。这本书的开篇，我希望能看到对整个学科发展历程的简要回顾，以及它在现代数学中的地位，这有助于我建立一个宏观的认识框架。同时，作为一本“入门”，它应该能够循序渐进，从最基本的概念讲起，逐步引入更复杂的理论，并且在每一章结束时都提供适量的练习题，以便我检验自己的理解程度。我希望这本书的语言风格是清晰、精确且富有启发性的，能够激发我的学习热情，而不是让我望而却步。

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我被《Introduction to Homological Algebra》这本书的书名所吸引，它承诺着一种深刻的数学洞察。我希望这本书能够清晰地阐释同调代数的核心概念，从链复形（chain complexes）的构造到同调（homology）和上同调（cohomology）的计算。我期待书中能够详细介绍投射（projective）和内射（injective）模的概念，以及它们在构建分辨率（resolutions）中的作用。导出函子（derived functors）是我希望重点学习的部分，特别是Tor函子和Ext函子，我希望这本书能够提供易于理解的定义、计算方法以及它们在不同数学分支中的应用。例如，我希望能看到Tor函子在张量积（tensor products）研究中的作用，以及Ext函子在分类模的扩张（extensions of modules）中的应用。这本书能否帮助我建立起对同调代数的直观理解，并培养运用其工具解决问题的能力，将是我评价其价值的重要维度。我期望这本书能够为我打开探索代数几何、交换代数和表示论等领域的大门。

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