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isbn号码:9787030210241

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《微积分核心概念与应用》 一部深度剖析微积分基础理论，并侧重于实际问题解决的权威著作 作者： 著名数学教育家 约翰·哈德森 博士 出版社： 环球科学教育出版社 页数： 850 页（精装，含丰富习题与案例） 定价： 168.00 元 --- 内容概述与本书特色 《微积分核心概念与应用》旨在为高等院校理工科、经济学、计算机科学等专业学生提供一套全面、深入且高度实用的微积分学习资源。本书立足于严谨的数学逻辑，同时强调微积分思想在自然科学、工程技术乃至社会科学中的直观理解和有效运用。我们深知，微积分不仅仅是求解导数和积分的运算技巧，更是理解变化率、积累效应以及函数行为的强大思维工具。 本书的结构设计经过精心考量，力求在理论的深度与教学的广度之间取得完美平衡。它摒弃了传统教材中过度冗余的、偏离核心主线的理论探讨，转而聚焦于那些对构建坚实数学基础至关重要的核心定理、定义和推导过程。 第一部分：极限与连续性——变革的基石 本部分是整个微积分体系的逻辑起点。我们以极具启发性的方式引入了“极限”的概念，避免了早期接触时常有的抽象困扰。 极限的直观理解与 $epsilon-delta$ 论证的精炼化： 我们首先通过大量的几何和物理情境（如切线斜率的逼近、瞬时速度的定义）来培养读者的直觉。随后，对 $epsilon-delta$ 语言的介绍被分解为若干易于消化的小步骤，并通过图形化工具辅助理解其精确含义，而非仅仅停留在形式化的符号操作。 连续性的深入探讨： 连续性被视为函数行为的“平滑性”。本章详细阐述了闭区间上连续函数的关键性质，如介值定理（Intermediate Value Theorem）和最大值最小值定理（Extreme Value Theorem）。这些定理在证明后续诸多重要结论时扮演了不可或缺的角色，本书强调了它们在解决实际不等式问题中的应用潜力。 第二部分：微分学——洞察瞬时变化 微分学是研究函数变化率的学科，是连接静态描述与动态过程的桥梁。 导数的定义与计算法则： 除了链式法则、乘法定律等基础运算规则的详尽介绍外，本书特别辟出章节，深入探讨了高阶导数的几何意义，例如曲率（Curvature）的计算及其在几何学中的应用。 微分中值定理的几何与物理诠释： 罗尔定理（Rolle’s Theorem）、均值定理（Mean Value Theorem）和洛必达法则（L'Hôpital's Rule）的讲解，均配有丰富的图形辅助和实例说明。例如，均值定理被用于证明物理学中平均速度与瞬时速度的关系，洛必达法则则被应用于分析比率和复杂极限。 导数的应用——优化与分析： 这一部分是本书应用性的集中体现。我们不仅覆盖了传统的最大/最小值问题，还深入探讨了相关变化率（Related Rates）问题的建模过程，以及如何利用导数分析函数的凹凸性、拐点和渐近线，从而精确描绘函数图像。特别加入了“经济学边际分析”案例，展示微分在成本、收益最大化决策中的实际价值。 第三部分：积分学——累积效应的量化 积分学是微积分的另一半，它负责对过程进行累积和求和。 定积分的黎曼和基础： 本章从定义出发，清晰展示了定积分如何作为“无限求和”的极限被构建起来。我们详细分析了黎曼和的敛散性，为理解积分的物理意义（如面积、体积、功）奠定了坚实基础。 微积分基本定理的严谨证明与应用： 本书将微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）视为连接微分与积分的“黄金法则”。证明过程详尽且逻辑清晰，确保读者能够理解其深刻内涵。随后，重点训练读者利用牛顿-莱布尼茨公式进行快速、准确的计算。 积分技巧与技巧进阶： 我们系统整理了常用的积分方法，包括：换元法（Substitution）、分部积分法（Integration by Parts）的系统性应用策略、三角函数积分的标准化流程，以及有理函数积分中的部分分式分解法。本书特别强调了何时选择哪种方法，而非机械地罗列公式。 第四部分：超越基础——超越函数与应用拓展 本部分旨在拓宽读者的视野，将微积分工具应用到更复杂的函数类型和实际场景中。 超越函数的积分与微分： 涵盖了指数函数、对数函数（自然对数与任意底对数）、反三角函数（如 $arcsin x$, $arctan x$）的求导和积分。我们详细推导了这些函数在代数运算之外的特性。 广义积分（Improper Integrals）： 针对上下限为无穷大或被积函数在区间内存在不连续点的积分，本书提供了明确的判定标准和计算步骤，尤其关注其在概率论中作为“概率密度函数面积”的应用。 微积分在物理与工程中的经典应用： 这一章是本书的亮点之一。内容包括：求解曲线下面积、旋转体的体积（圆盘法、壳层法）、物理学中的功、质心（Centroid）的计算，以及微分方程（如指数增长与衰减模型）的初步解法。这些案例都附带有详细的步骤解析和清晰的物理意义解释。 --- 适用读者对象 本书主要面向对象为： 1. 理工科本科生： 学习微积分一、微积分二等核心课程的学生。 2. 经济学与金融学学生： 需要扎实微积分基础来理解边际分析、最优决策和连续复利模型的专业人士。 3. 自学者与进修者： 渴望系统、深入理解微积分原理，并能将其应用于自身领域的学习者。 本书承诺 《微积分核心概念与应用》承诺提供清晰、严谨、实用的学习体验。本书中的所有例题均经过筛选，旨在覆盖最核心的知识点；习题设计由易到难，确保知识点的层层递进。我们相信，通过本书的学习，读者将不仅掌握运算技巧，更能深刻理解微积分作为描述世界变化规律的强大数学语言的本质。

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