中算家的内插法研究 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:李俨

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页数:101

译者:

出版时间:1957-4

价格:0.6

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《中算家的内插法研究》 引言 在数学的浩瀚星河中，内插法如同璀璨的星辰，指引着我们穿越数据的迷雾，探寻隐藏在离散点之下的连续规律。它是一种强大而优雅的工具，能够从已知的数据点构建出平滑的函数，从而预测未知的值，揭示数据背后蕴含的趋势。本书《中算家的内插法研究》正是对这一数学瑰宝的一次深入探索，旨在全面、系统地梳理内插法的理论基础、发展脉络、经典方法及其在各个领域的广泛应用。 本书的撰写，源于对数学科学严谨求实的精神追求，以及对内插法在现代科学技术发展中日益凸显的重要性的深刻认识。内插法不仅是理论研究的基石，更是解决实际问题的利器，无论是在物理学、工程学、经济学，还是在计算机科学、数据分析等领域，它的身影无处不在，默默地支撑着我们理解和改造世界的努力。 我们希望通过本书，为读者提供一个关于内插法全面而深入的认知框架。这不仅包括对基本概念的清晰阐释，更包含对不同内插方法优劣势的比较分析，以及对算法实现细节的探讨。我们力求以一种既严谨又易于理解的方式，展现内插法的数学之美及其强大的实用价值。 第一部分：内插法的理论基石 在深入探讨各种内插方法之前，有必要先建立起坚实的理论基础。本部分将从最根本的数学概念出发，为后续内容的学习打下坚实的基础。 函数的概念与离散数据： 我们将首先回顾函数的定义，以及现实世界中常常遇到的离散数据点。这些离散数据点是内插法的出发点，它们通常是通过测量、采样或其他方式获得的，本身并不构成一个完整的连续函数。理解数据点与连续函数之间的关系，是理解内插法意义的关键。 插值多项式的存在唯一性： 内插法最核心的思想之一就是利用多项式来逼近或表示离散数据。本部分将详细证明，对于给定的 $n+1$ 个不同的数据点，总存在唯一一个次数不超过 $n$ 的多项式通过所有这些点。这个证明不仅是理论上的里程碑，也为我们设计和分析插值算法提供了理论依据。我们将介绍拉格朗日插值多项式的构造方法，并通过具体的例子来阐释这一理论。 误差分析与逼近理论： 任何一种数学模型都不可避免地会引入误差。对于内插法而言，插值多项式与真实函数之间的误差是研究的重点。我们将引入插值余项的概念，并给出计算插值误差的通用公式。这部分内容将涉及中值定理、微分学等概念，并通过分析误差项的性质，帮助读者理解不同内插方法在精度上的差异。我们将探讨误差的界限，以及如何通过增加数据点的数量或选择更合适的插值节点来减小误差。 内插法的基本性质： 除了存在唯一性，内插多项式还具有一些重要的基本性质，例如线性性质、求导性质等。我们将对这些性质进行详细的阐述，并解释它们在实际应用中的意义。例如，插值多项式的导数可以用来近似原函数的导数，这在数值微分中有着重要的应用。 第二部分：经典内插方法详解 在建立起理论框架后，本部分将聚焦于内插法中一些最经典、最具代表性的方法，对它们的原理、构造、优缺点进行深入剖析。 拉格朗日插值法： 拉格朗日插值法是最直观、最基础的插值方法之一。我们将详细介绍其构造原理，即通过构建一组“基函数”，使得每个基函数在某个特定点取值为 1，而在其他点取值为 0。这使得最终的插值多项式能够精确地通过所有给定的数据点。我们将分析其优点（如构造直接）和缺点（如多项式次数较高时计算复杂，且节点增删不方便）。 牛顿插值法： 牛顿插值法与拉格朗日插值法在形式上有所不同，它以差商的形式来表示插值多项式，具有递推性的特点。我们将介绍差商的定义及其计算方法，并阐述牛顿插值多项式的递推构造过程。牛顿插值法的一个显著优点是其灵活性，当新增数据点时，只需在原有基础上进行扩展，而无需重新计算整个多项式，这使其在处理动态数据时更具优势。 分段插值法： 当数据点较多，或者数据本身具有非线性规律时，使用高次单项插值多项式往往会导致“龙格现象”（Runge's phenomenon），即在插值区间边缘出现剧烈的震荡。分段插值法正是为了克服这一缺点而提出的。我们将重点介绍两种主流的分段插值方法： 分段线性插值： 这是最简单直接的分段插值方法，用连接相邻数据点的直线段来近似函数。虽然简单，但在很多情况下已经能够满足精度要求。我们将分析其优缺点，并探讨其在数据可视化等方面的应用。 三次样条插值： 三次样条插值是分段插值中最常用、最强大的一种。它在每个分段区间使用三次多项式进行插值，并在相邻分段区间之间满足一定的连续性和光滑性条件（例如，要求一阶和二阶导数连续）。这将构造出一条光滑且具有良好逼近性能的曲线。我们将详细阐述三次样条插值的构造原理，包括边界条件的选取及其对插值结果的影响。重点将放在介绍三次样条插值多项式的具体形式，以及如何通过解方程组来确定样条系数。 Hermite插值法： Hermite插值法是一种更高级的插值方法，它不仅要求插值曲线通过给定的点，还要求在这些点上具有指定的导数值。这意味着我们不仅仅知道函数值，还知道函数在某些点的变化率。我们将介绍Hermite插值的构造方法，以及它在更高精度插值和曲线拟合中的应用。 第三部分：高级内插技术与优化 随着数学和计算科学的发展，内插法也在不断演进，涌现出许多更高级、更有效的技术。本部分将介绍一些在理论和实践中都具有重要意义的高级内插技术。 有理函数插值： 有理函数插值是指用两个多项式的比值来逼近函数。与多项式插值相比，有理函数插值在逼近某些具有奇点或渐近线的函数时，可能具有更好的效果。我们将探讨有理函数插值的原理，以及它在某些特定问题中的优势。 二维及多维插值： 现实世界中的数据往往是多维的，例如图像、气象数据等。本部分将介绍如何将一维插值的方法推广到二维甚至更高维度，例如双线性插值、双三次插值以及更通用的张量积插值。我们将解释这些方法如何构建网格，并在网格点之间进行插值。 数据点的选择与优化： 插值效果的好坏，很大程度上取决于所选数据点的分布。我们将探讨如何根据函数的性质或问题的要求，选择最优的插值节点。例如，切比雪夫节点在多项式插值中能够有效地减小龙格现象。 数值稳定性与计算效率： 在实际应用中，算法的数值稳定性（即对输入数据的微小扰动不敏感）和计算效率（即计算速度）是至关重要的考量因素。我们将讨论如何分析不同插值算法的数值稳定性，以及如何通过算法优化来提高计算效率。 第四部分：内插法的应用领域 内插法作为一种基础且强大的数学工具，在众多学科领域都有着广泛而深刻的应用。本部分将通过具体的案例，展示内插法的实际价值。 科学计算与工程模拟： 在物理学、化学、生物学等领域，许多实验数据需要通过内插来构建连续的模型，用于模拟和预测。例如，在计算流体力学中，需要对速度、压力等场量在网格点上的值进行内插，以求解偏微分方程。在材料科学中，需要对材料的力学性能随温度或应力的变化进行内插。 计算机图形学与图像处理： 在计算机图形学中，内插法是实现曲线和曲面渲染、图像缩放、纹理映射等关键技术的基础。例如，Bézier曲线和B-样条曲线的构造就与插值思想密切相关。在图像处理中，为了放大图像或减小图像尺寸，就需要用到双线性插值、双三次插值等二维插值技术。 数据分析与统计学： 在数据分析领域，当需要估计未知点的值或填充缺失数据时，内插法是一个常用的工具。例如，在时间序列分析中，可以使用内插法来填补时间序列中的空缺数据。在地理信息系统中，可以使用内插法来估算地形、气温等地理要素在未测量点的值。 金融建模与经济学： 在金融领域，内插法可以用于期权定价、风险评估以及构建金融模型的参数。在经济学中，可以用于对宏观经济指标进行平滑处理，或对经济模型中的参数进行估计。 机器学习与人工智能： 虽然机器学习中更多地使用回归和拟合技术，但内插法的思想在某些算法中也有体现，例如基于K近邻（KNN）的插值思想。在特征工程中，有时也需要对离散的特征进行插值处理。 结语 《中算家的内插法研究》是一次对内插法深刻而全面的探索。我们希望通过本书，能够让读者不仅理解内插法的原理和方法，更能体会到它在解决实际问题中的强大力量。从最初的拉格朗日插值到复杂的三次样条插值，再到多维插值和有理函数插值，内插法的发展历程本身就是一部数学智慧的结晶史。 内插法并非停滞不前，随着数据科学和人工智能的飞速发展，对更高效、更精确、更鲁棒的内插技术的追求从未停止。我们期待本书能够激发读者对内插法更深入的思考和研究，并鼓励他们将所学知识应用于解决现实世界中的各种挑战。 内插法，是连接离散与连续的桥梁，是洞察数据深层规律的窗口。我们相信，对它的深入研究，将为所有探索者打开一扇通往更广阔数学世界的大门。

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读罢此书，我最大的感受是作者在文本重构上的巨大功力。我们都知道，古代数学典籍往往散落于各种地方志、算谱乃至官方史书中，信息碎片化严重。这本书的难能可贵之处，就在于它成功地搭建起了一座桥梁，将这些散落在历史角落里的“内插”思想碎片，系统地整合进一个清晰的逻辑框架之内。它的论证过程，不是简单的罗列公式，而是带着强烈的叙事感，仿佛在带领读者穿越时空，亲眼见证那些数学家是如何从实际问题（比如历书编纂中的日影测量、田亩丈量中的面积估算）中提炼出通用的插值思想的。特别是在对一些关键算法的演绎上，作者的处理手法极其高明，他并没有直接采用现代数学语言来“翻译”古法，而是保留了大量古籍中的术语和推理路径，辅以现代标注来帮助理解。这使得读者在学习新知的同时，也能体会到古人思维的独特性和趣味性，避免了那种将古代知识“去历史化”的生硬感。这本书的深度和广度，足以让专业研究者感到满意，同时其清晰的脉络，也让对中国古代科学史抱有好奇心的普通读者，能够跨越专业壁垒，领略到这份智力遗产的精妙所在。

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作为一名长期关注应用数学史的读者，我不得不说，这本书在文献的挖掘和整合上做到了近乎苛刻的程度。它不仅仅是关于理论的阐述，更是一部生动的“中算家”群像录。通过对内插法应用场景的描绘，我们得以窥见彼时社会对精确计算的需求是如何驱动数学理论发展的。书中的细节处理非常到位，比如对特定朝代官方机构如太史署或工部如何实际使用这些方法的考证，使得原本抽象的数学概念立刻落地生根，充满了历史的张力。它有效地打破了人们对于古代数学“脱离实际”的刻板印象。作者的论述逻辑极其严密，仿佛在构建一个精密的数学模型来解构历史过程。阅读过程中，我多次停下来，不是因为内容晦涩，而是因为某些观点过于精辟，需要时间去消化和回味。这本书的行文节奏把握得很好，在详细的公式推导之后，总会有清晰的总结性论述将读者拉回宏观的认识层面，确保读者不会在细节的海洋中迷失方向，整体感觉非常平衡且富有启发性。

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这本《中算家的内插法研究》，初翻之下，便觉扑面而来的是一种沉郁而坚韧的古典气息。它并非那种追求新奇概念的浮华之作，而是深入到中国古代数学思想的肌理之中，去探究那些被时间冲刷却依然闪耀智慧的计算技巧。作者显然在浩如烟海的古籍中进行了细致入微的梳理，对历代“中算家”们在面对离散数据时所展现出的系统性思考，给予了极大的尊重和详尽的剖析。我特别欣赏它在叙事上所展现出的那种近乎考古般的严谨性，它没有急于给出西式插值法与之的优劣对比，而是将焦点完全集中在古代数学家是如何在缺乏现代微积分和代数框架的背景下，构建出能够“插”出未知点的理论体系。书中的图示和推导过程，虽然乍看之下略显繁复，但细细品味，却能体会到其中蕴含的数学美感——那是对几何直觉和有限差分技巧的完美结合，是古代智慧在特定工程和天文需求下的实用结晶。这本书的价值，正在于它唤醒了我们对本土数学传统的再认识，让我们看到，在彼时的世界坐标系中，中国数学家早已独立发展出了一套自洽且高效的数值逼近策略，这对于所有对数学史，特别是区域性数学史感兴趣的同仁来说，无疑是一份厚重的献礼。

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坦白说，起初我对一本专注于“内插法”的专著抱有一定的疑虑，总觉得这个主题可能过于窄化，难以支撑起一部厚重的研究。然而，这本书彻底颠覆了我的认知。它巧妙地将“内插法”视为一个中心轴，辐射出对中国古代数学诸多领域的理解，包括但不限于多项式运算基础、有限差分理论的萌芽，乃至其背后的逻辑哲学。作者的笔触细腻而有力，对一些被现代数学史忽略的次要但有趣的插值变体，也进行了详尽的挖掘和分析，这体现了研究者极大的热情和细致入微的学术精神。阅读体验是渐进式的，初读觉其博大精深，再读则感其脉络清晰，三读之后，更能体会到其中蕴含的科学精神是如何代代相传的。这本书不是一本供人消遣的读物，它要求读者投入专注和思考，但所给予的回报是丰厚的——不仅是知识上的充实，更是对人类理性发展道路的深刻敬意。它成功地将一个看似冷僻的技术性主题，提升到了文化史和科学思想史的宏大叙事高度。

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这本书的文字风格，带着一种令人肃然起敬的学术温度，不事雕琢，却直指核心。它在讨论“内插法”这一技术性极强的主题时，依然保持了一种对数学本质的探讨，而非仅仅停留在技法层面。例如，书中对于如何处理数据点稀疏性以及如何评估插值结果误差的古代尝试的描述，展现了古代数学家对“逼近”这一概念的深刻理解。这绝不是我们想象中那种原始的、靠猜的估算方式，而是建立在一套严密的、基于特定几何或代数假设之上的方法论。作者在关键段落常常会引用原文，并对其进行细致的解读，这种“以史证史”的写作手法，极大地增强了论述的可信度和厚重感。尤其是在比较不同学派对同一插值问题所提出的差异化解决方案时，那种思想上的交锋和智慧的碰撞，读来令人心潮澎湃。它让我意识到，内插法本身，其实是中国古代数学家认识世界、处理不确定性的哲学体现之一，而不仅仅是一套计算工具。这本书，是洞察中国古代理性精神的一个绝佳窗口。

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刘焯太厉害了；虽然内插法在现在的数值计算里不算什么，但是能把历算语言转译为清晰的公式还是很不容易的。

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刘焯太厉害了；虽然内插法在现在的数值计算里不算什么，但是能把历算语言转译为清晰的公式还是很不容易的。

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