Convex Optimization: Algorithms and Complexity pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Now Publishers Inc

作者:Sébastien Bubeck

出品人:

页数:142

译者:

出版时间:2015

价格:0

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isbn号码:9781601988607

丛书系列:Foundations and Trends® in Machine Learning

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《凸优化：算法与复杂性》 引言 在当今数据驱动的科学和工程领域，优化问题无处不在，从机器学习模型的训练到金融组合的构建，从机器人路径规划到通信系统的设计。而凸优化，作为优化理论中一个尤为重要且强大的分支，因其理论的完备性和算法的高效性，成为了解决这些复杂问题的关键工具。本书《凸优化：算法与复杂性》旨在为读者提供一个全面而深入的导览，探索凸优化问题的世界，聚焦于构成这一领域的基石——算法的设计、分析及其固有的复杂性。 本书不仅仅是一本教科书，更是一次对优化本质的深入剖析。它将引领读者从基本的数学概念出发，逐步构建对凸集、凸函数以及由此衍生的凸优化问题的深刻理解。我们强调的是，理解问题的结构是找到高效解决方案的前提。凸优化问题的特殊结构，即局部最优解即为全局最优解的性质，赋予了我们能够依赖一系列强大而可靠的算法来解决它们的信心。 本书的编写风格力求严谨而不失启发性，理论的阐述与实际的应用紧密结合。我们避免了冗余和空泛的陈述，而是聚焦于核心概念的清晰传达和关键技术的深入讲解。对于那些渴望掌握如何将凸优化理论转化为实际解决方案的读者，本书将提供不可或缺的知识和方法。 第一部分：凸优化的数学基础 本书的第一部分奠定了整个凸优化理论的基石。在这一部分，我们将从最基本的数学概念出发，逐步引入凸优化所需的关键要素。 第一章：集合与函数 我们首先从几何学的角度审视“凸集”的概念。一个集合被称为凸集，如果连接该集合中任意两点的线段完全包含在该集合内部。这一看似简单的几何性质，却蕴含着深远的数学意义，它为后续的优化问题提供了结构性的保障。我们将详细介绍各种常见的凸集，例如超平面、半空间、球、多面体等，并探讨它们的性质以及如何判定一个集合是否为凸集。 紧接着，我们将进入“凸函数”的领域。一个函数被定义为凸函数，如果其上图（epigraph，函数图像上方以及函数图像本身所围成的区域）构成一个凸集。换句话说，对于函数定义域中的任意两点，连接这两点的弦段都位于函数图像的上方或之上。我们将深入探讨凸函数的定义、性质以及判定方法。诸如Jensen不等式等基本不等式，将是理解凸函数行为的关键工具。我们将研究各种常见的凸函数，例如线性函数、仿射函数、二次函数、指数函数、对数函数以及范数函数等，并分析它们在不同场景下的应用。此外，我们将讨论凸函数的运算，例如求和、逐点最大值、复合等操作是否会保持凸性，以及函数的梯度和Hessian矩阵在判定凸性中的作用。 第二章：凸优化问题 在掌握了凸集和凸函数的概念之后，我们便能清晰地定义“凸优化问题”。一个凸优化问题是指最小化一个凸函数，约束条件为一组等式和不等式约束，且所有不等式约束的定义域也构成一个凸集。本章将详细阐述凸优化问题的标准形式，并分析其关键特征。 我们将重点介绍两类重要的凸优化问题： 线性规划 (Linear Programming, LP)：这是最简单也是应用最广泛的凸优化问题之一，目标函数和约束函数均为线性函数。我们将简要介绍线性规划的几何解释和基本性质。 二次规划 (Quadratic Programming, QP)：在此类问题中，目标函数是一个二次凸函数，而约束函数是线性的。我们将探讨二次规划的结构及其在资源分配、投资组合优化等领域的应用。 此外，我们还将涉及更一般的凸优化问题，例如半定规划 (Semidefinite Programming, SDP) 和二阶锥规划 (Second-Order Cone Programming, SOCP)，这些更高级的问题形式在工程和科学研究中扮演着越来越重要的角色。我们将理解这些问题背后的数学结构，以及它们如何通过“松弛”等技术从更难求解的问题中产生。 第二部分：求解凸优化问题的算法 有了坚实的数学基础，本部分将专注于求解凸优化问题的各种算法。我们将从基础的迭代方法出发，逐步深入到更复杂和高效的算法，并分析它们的收敛性和计算复杂度。 第三章：梯度下降法及其变种 梯度下降法是解决凸优化问题中最基础也是最直观的算法之一。其核心思想是沿着目标函数负梯度方向进行迭代搜索，以逐步逼近最优解。我们将详细阐述梯度下降法的基本原理，分析其步长选择策略，并讨论其收敛性。 在此基础上，我们将介绍梯度下降法的各种变种，以克服其在收敛速度和精度方面的局限性： 近端梯度下降法 (Proximal Gradient Descent)：该方法适用于目标函数可以分解为光滑部分和非光滑部分的情况，它结合了梯度下降和近端算子（proximal operator）的性质，能够有效地处理L1范数等引起的稀疏性问题。 加速梯度下降法 (Accelerated Gradient Descent)：通过引入动量项，加速梯度下降法能够显著提高收敛速度，特别是在处理大规模问题时效果显著。我们将介绍Nesterov动量等加速技术。 随机梯度下降法 (Stochastic Gradient Descent, SGD)：对于非常大规模的数据集，计算整个数据集的梯度可能非常昂贵。随机梯度下降法通过使用数据的子集（mini-batch）来估计梯度，从而大大加快了迭代速度，尽管其收敛轨迹可能更加“嘈杂”。 第四章：牛顿法与拟牛顿法 牛顿法是另一种重要的求解凸优化问题的迭代算法。它利用目标函数的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）来近似目标函数，从而以更快的速度（通常是二次收敛）逼近最优解。我们将详细介绍牛顿法的原理、更新规则以及其在实践中的应用。 然而，计算和存储Hessian矩阵可能非常耗费资源。因此，拟牛顿法应运而生，它们通过近似Hessian矩阵或其逆矩阵来避免显式计算Hessian，从而降低了计算复杂度。我们将介绍一些经典的拟牛顿法，例如BFGS（Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno）算法，并分析它们的优缺点。 第五章：内点法 内点法是一类非常强大和高效的凸优化算法，尤其适用于解决线性规划、二次规划、半定规划等问题。与基于搜索方向的下降法不同，内点法在每次迭代中都会“穿过”可行域的内部，并沿着一个特殊的“中心路径”逼近最优解。 我们将深入探讨内点法的核心思想，包括巴里森-维塔利（Barriers）和中心路径的概念。我们将分析不同类型的内点法，例如对数巴里森内点法，并讨论它们在求解大规模和高精度问题上的优势。虽然内点法通常具有较高的计算复杂度，但其全局收敛性和对问题的鲁棒性使其成为许多实际应用中的首选算法。 第三部分：凸优化算法的复杂性分析 理解算法的“复杂性”是评估其效率和可行性的关键。本部分将深入探讨凸优化算法的计算复杂性，包括理论分析和实际考量。 第六章：计算模型与复杂度度量 在讨论算法的复杂性之前，我们需要先建立一个清晰的计算模型。我们将介绍常用的计算模型，例如RAM模型，并解释“位复杂度”和“算术复杂度”等概念。 然后，我们将定义和度量算法的复杂度。我们将关注以下几个方面： 时间复杂度 (Time Complexity)：衡量算法执行所需的基本运算次数，通常用大O符号表示。我们将分析不同算法在不同输入规模下的时间复杂度。 空间复杂度 (Space Complexity)：衡量算法执行过程中所需的内存空间。 迭代次数 (Number of Iterations)：算法收敛到预定精度所需的迭代次数，这对于理解算法的效率至关重要。 第七章：下界与最优性 理解算法的复杂性还包括探讨理论上的下界，即任何能够解决特定类别问题的算法所必须达到的最低复杂度。我们将介绍信息论证明等技术，来推导某些凸优化问题的下界。 我们还将讨论“最优性”的概念。对于一个给定的计算模型和复杂度度量，如果一个算法的复杂性达到了理论上的下界，那么它就被认为是渐进最优的。本书将分析哪些凸优化算法达到了理论上的最优性，以及为什么。 第八章：数值稳定性与实际考量 理论上的复杂性分析是重要的，但在实际应用中，数值稳定性也扮演着至关重要的角色。我们将讨论在浮点运算环境下，算法可能出现的数值误差，以及如何设计算法以提高其数值稳定性。 此外，我们还将探讨实际应用中的一些考量，例如： 大规模数据集的处理：如何选择适合大规模数据的算法，并进行有效的并行化。 问题的预处理：通过对问题进行适当的预处理，来改善算法的性能。 软件库的应用：介绍一些常用的凸优化求解器及其使用方法，例如CVXPY, CVX, MOSEK等。 结论与展望 在本书的最后，我们将对凸优化算法和复杂性进行总结，并展望未来的研究方向。我们将强调凸优化在人工智能、机器学习、数据科学、工程和金融等领域的持续重要性，以及对更高效、更鲁棒的凸优化算法的需求。 本书旨在为读者提供一个坚实的基础，使他们能够理解、选择并应用最适合的凸优化算法来解决实际问题。我们相信，通过掌握本书所介绍的知识，读者将能够更自信地应对各种优化挑战，并在各自的领域取得突破。 目标读者 本书的目标读者包括但不限于： 计算机科学、工程、数学、统计学、经济学和金融学等专业的本科生和研究生。 对机器学习、数据科学、人工智能、信号处理、控制理论等领域有浓厚兴趣的研究人员和从业人员。 需要使用优化技术解决实际问题的工程师和数据科学家。 本书假设读者具备一定的线性代数、微积分和概率论基础。对于非数学专业的读者，本书力求通过清晰的解释和直观的例子来帮助理解。

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与其他同类书籍相比，这本书在处理“复杂度分析”这一环节上，展现出了一种令人敬畏的深度和广度。很多教材只是简单提及了多项式时间或指数时间，但在本书中，对于每一种主流优化算法——无论是内点法还是对偶方法——作者都进行了近乎苛刻的复杂度分析。这不是简单的引用现有结论，而是对每一步关键迭代的计算量进行了详尽的剖析。对于追求算法效率的工程师和理论研究者而言，这无疑是至关重要的。我曾经花了一个下午的时间，仅仅是去跟踪和验证作者对某个特定算法的迭代次数估计，那种被严密逻辑包裹的感觉，让人既感到压力巨大，又充满了被武装起来的自信。它教会你的不仅仅是如何“解决”问题，更是如何“量化”解决问题的成本和效率。

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这本书的章节组织逻辑，仿佛是依照一位经验老到的导师的授课思路精心设计的。它不像有些著作那样，一上来就抛出最深奥的概念，而是采取了一种螺旋上升的结构。首先，你会接触到基础的线性规划，然后自然而然地引导至更广阔的凸集理论，接着深入到内点法等高级算法。这种渐进式的学习路径，极大地降低了知识摄入的门槛。更妙的是，每当引入一个新概念时，作者总会回顾之前学过的知识点，用更复杂的视角重新审视它们，形成知识的闭环。这种设计的好处在于，读者在每读完一个部分，都会有一种“茅塞顿开”的感觉，而不是仅仅记住了零散的知识点。我个人认为，对于希望系统性掌握这门学科的研究生来说，这种结构上的严谨性是其最大的价值所在，它保证了知识体系的完整性和可追溯性。

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初次接触这本书时，我最大的疑虑在于它是否能真正搭建起理论与实际应用之间的桥梁。毕竟，很多优化领域的专著往往陷于纯粹的数学推导，使得初学者在面对真实世界的数据和问题时，会感到无从下手。然而，这本书在这方面做得相当出色。它并没有停留在对基础概念的罗列，而是巧妙地引入了大量的案例分析，从经典的机器学习模型到资源调度问题，每一个理论分支的介绍后，总能看到与之匹配的、经过精心挑选的工程实例。这些实例不仅有助于巩固对理论的理解，更重要的是，它们向读者展示了如何将抽象的数学工具转化为解决实际痛点的利器。我特别欣赏作者在描述算法收敛性和复杂度时，那种务实而又严谨的态度，让你在感叹数学之美的同时，也能清晰地预估其在计算资源上的成本。这使得它不只是一本“学术玩具”，而是真正能进生产线的“工具箱”。

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阅读这本书的过程，更像是一场与作者之间长达数百页的智力对话。作者的叙事风格是极其克制且精准的，几乎没有冗余的词汇，每一个句子都像是经过数学筛选的。然而，正是在这种简洁之下，蕴含着巨大的信息密度。我体会到，作者不仅仅是在传授知识，更是在培养读者的“优化思维”。他鼓励读者质疑每一步假设的合理性，并探索在不同约束条件下算法的鲁棒性。这种潜移默化的影响，远远超出了书本本身所涵盖的具体公式。它塑造了一种批判性的视角，让我今后再看待任何优化模型时，都会不自觉地去思考其凸性、对偶性以及潜在的计算瓶颈。坦白说，读完后，我感觉自己的思维框架得到了重塑，看待工程和科学问题的角度都变得更加结构化和理性了。

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这本书的封面设计简直是一场视觉的盛宴，那种深邃的蓝色调与简洁的白色字体搭配起来，立刻就给人一种专业、严谨的信号。我记得我第一次在书店看到它时，仅仅是翻开扉页，那种纸张的质感就已经让我心动不已。内页的排版也是极其考究，公式和定理的展示清晰明了，很少有那种让人眼花缭乱的感觉。尽管内容本身是偏向硬核的数学理论，但作者在视觉呈现上的努力，使得即便是面对那些复杂的优化问题，阅读体验也算得上是一种享受。它不仅仅是一本教科书，更像是一件精心打磨的工艺品，体现了出版商对细节的极致追求。每次把它从书架上取下来，摩挲着封面那略带磨砂的触感，都会让我对即将开始的阅读充满期待。这种从物理层面带来的愉悦感，在如今充斥着电子屏幕的时代，显得尤为珍贵。它的存在，本身就是一种对知识沉淀的尊重。

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