代数K理论

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出版者:科学出版社
作者:黎景辉
出品人:
页数:480
译者:
出版时间:2018-7-10
价格:CNY 198.00
装帧:平装
isbn号码:9787030581020
丛书系列:现代数学基础丛书
图书标签:
  • k理论
  • 现代数学基础丛书
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具体描述

本书介绍代数K群的结构和性质。我们从一个环R的K群K0(R),K1(R),K2(R)开始,接着构造Quillen的高次K群,介绍Waldhausen范畴的K理论和概形的K群。为了方便学习,我们补充了所需的代数和同伦代数的基本知识,并介绍了模型范畴理论。最后介绍了Grothendieck的原相理论,并叙述了利用K理论来表达关于代数圈的一组为国际数学家所亟待解决的问题。

好的,这是一本名为《拓扑动力系统导论》的图书简介,内容详尽,不涉及代数K理论。 --- 拓扑动力系统导论 内容简介 《拓扑动力系统导论》 是一部面向高等数学专业研究生、科研人员以及对非线性动力学和拓扑学交叉领域感兴趣的数学家和物理学家的权威著作。本书旨在提供一个全面且深入的视角,阐述如何利用拓扑学的基本概念和工具来研究动力系统的长期行为和定性结构。 本书的结构设计旨在平衡理论的严谨性与直观的几何理解。内容从最基础的度量空间和连续映射的拓扑性质出发,逐步过渡到动力系统的核心概念,如流、差分方程的解的性质、不变集和吸引子。重点在于分析系统的长期演化,特别是那些由拓扑结构决定的、不依赖于具体黎曼度量或解析表达式的定性特征。 第一部分:基础回顾与拓扑动力系统的建立 本书首先回顾了必需的拓扑学基础,包括紧性、连通性、紧生成集(compact generating sets)以及函数空间上的拓扑结构,特别是紧开拓扑(compact-open topology)。随后,引入了拓扑动力系统的正式定义:一个连续映射 $f: X o X$ 或一个连续的 $mathbb{R}$ 或 $mathbb{Z}$ 作用于紧致豪斯多夫空间 $X$ 上的自由群作用。 我们详细探讨了动力系统的基本不变量,如正/负进止(positive/negative limit sets),以及它们如何通过拓扑性质(如连通性)来刻画系统的复杂性。著名的庞加莱-霍普夫定理在低维流中的应用被作为引子,展示了拓扑如何限制解的结构。 第二部分:不变集与遍历理论的拓扑视角 本部分深入研究了动力系统的核心组成部分——不变集。我们详细分析了最小不变集(Minimal Invariant Sets) 的拓扑性质,特别是对于紧致空间上的自映射,最小集的结构定理,如它们的稠密性和高度不连通性。 拓扑熵的概念在本书中占据重要地位。不同于经典的测度熵,拓扑熵是纯粹基于覆盖和约化的拓扑不变量。我们阐述了马科夫准则和压力定理的拓扑版本,展示了拓扑熵如何量化系统生成复杂动力行为的能力。书中对分岔集(Horseshoe) 结构进行了详尽的拓扑分析,说明了混沌现象的代数和拓扑起源,而不是仅仅依赖于解析微分方程的推导。 此外,本书还引入了拓扑等价性(Topological Equivalence) 的概念。我们讨论了如何通过连续、开映射来比较两个动力系统,并提出了关于哪些性质在拓扑共轭下保持不变的深刻问题。这为理解系统的本质结构提供了强大的框架。 第三部分:拓扑共轭、循环与游荡集 在这一部分,本书关注于系统的长期行为,特别是在紧致度量空间上的游荡集(recurrent sets)。我们详细研究了游荡点(recurrent points) 的拓扑结构,并引入了泛游荡集(Pants group) 的概念来描述某些高阶动力系统的复杂性。 对于同胚(homeomorphism) 的情况,本书引入了布鲁克斯定理(Brouwer's Fixed Point Theorem) 的动力学解释,并将其推广到更一般的作用下。著名的布朗-马尔杜赛定理(Brown-Mařák Theorem) 在此被重述并应用于紧致流的拓扑结构分析。 第四部分:度量对动力学的影响与拓扑障碍 虽然本书聚焦于拓扑结构,但我们也探讨了拓扑性质如何与底层度量空间(特别是关于嵌入空间)相互作用。我们分析了拓扑共轭与共轭(Conjugacy) 之间的区别,以及普鲁弗(Prufer)序列在分析某些一维流的拓扑分类中的局限性。 关键章节致力于结构稳定性(Structural Stability) 的拓扑条件。我们讨论了叶斯克维奇的拓扑稳定性定理,并将其与经典微分动力学中的稳定性概念进行对比,强调了拓扑动力系统在不依赖于微分性质的情况下,如何保持其定性形态。 第五部分:应用与前沿课题 本书的最后部分将理论应用于具体的拓扑几何问题,包括: 1. 黎曼流形上的测地流:从拓扑角度分析测地流的游荡性质和遍历性,而不依赖于曲率的解析计算。 2. 圆环上的同胚:详尽分析庞加莱圆环定理及其推广,讨论环上的动力系统的拓扑分类,特别是环上的最小轨道的性质。 3. 非紧空间上的半流:讨论在非紧空间(如 $mathbb{R}^n$)上的半流,如何利用紧化技术来引入拓扑工具,分析渐进行为。 本书特点: 高度几何化: 强调通过拓扑不动点、覆盖空间和纤维丛来理解动力学现象。 严谨性与可读性兼顾: 理论推导详尽,同时配有大量的图示和例子来辅助直观理解。 专业深度: 涵盖了现代拓扑动力学领域中多个核心且具有挑战性的主题,是深入研究该领域的必备参考书。 通过《拓扑动力系统导论》,读者将能够掌握从拓扑学视角审视和解决动力学问题的强大工具集,为进一步探索混沌、可积性和几何动力学的前沿研究打下坚实的基础。

作者简介

目录信息

目录
《现代数学基础丛书》序

符号说明
术语说明
第一篇 环的K理论
第1章 K群 3
1.1 Grothendieck群 3
1.2 Bass-Whitehead群 7
1.3 Milnor群 14
1.4 Serre-Tate定理 26
第2章 正合序列 31
2.1 同态的正合序列 31
2.2 商环的正合序列 36
2.3 Mayer-Vietoris列 38
2.4 非交换环的局部化 42
2.5 局部化列 45
第二篇 高次K理论
第3章 正合范畴的K理论 55
3.1 正合范畴 56
3.2 正合范畴的K0群 61
3.3 Q构造 66
3.4 QuillenK群 70
3.5 环的高次K群 75
第4章 Waldhausen范畴的K理论 90
4.1 Waldhausen范畴 90
4.2 复纯范畴 92
4.3 S2构造 95
4.4 Waldhausen范畴的K群 100
第5章 概形的K理论 103
5.1 概形的K群 103
5.2 概形的代数圈 106
5.3 概形的K群的λ环结构 111
5.4 概形的K谱 117
5.5 叠的K理论 119
第三篇 代数
第6章 模 127
6.1 有限生成模 127
6.2 投射模 132
6.3 纤维积 135
6.4 过滤和完备化 136
6.5 谱序列 137
第7章 行列式 140
7.1 幺半范畴 140
7.2 向量空间的行列式 144
7.3 行列式函子 145
7.4 虚拟对象 147
7.5 环的行列式 148
第8章 环结构 150
8.1 λ环 153
8.2 Adams运算 156
8.3 γ过滤 158
8.4 群表示环 161
第四篇 同伦代数
第9章 拓扑 167
9.1 拓扑空间 167
9.2 同伦 173
9.3 Ω和∑ 175
9.4 同调 185
9.5 纤维 187
第10章 模型范畴 197
10.1 闭模型 197
10.2 同伦 204
10.3 同伦范畴 209
10.4 Ω和∑ 212
10.5 导函子 216
10.6 固有闭模型范畴 219
第11章 单纯同伦 221
11.1 单纯集 221
11.2 几何现相 227
11.3 单纯集范畴 235
11.4 同调 237
11.5 同伦 237
11.6 胞腔和上胞腔 239
11.7 上单纯对象 240
11.8 R完备化 242
11.9 逗号范畴和纤范畴 243
11.10 同伦极限 246
11.11 双单纯集 250
11.12 定理A和B 252
第12章 分类空间 255
12.1 范畴的拓扑化 255
12.2 基本群 260
12.3 BG 264
12.4 BC 269
12.5 BS-1S 270
第13章 单纯对象 276
13.1 Dold-Kan对应 276
13.2 层 280
13.3 单纯层 283
13.4 单纯拓扑空间的层 289
13.5 单纯概形 291
13.6 Quillen单纯模型范畴 291
13.7 单纯预层 295
第14章 谱 296
14.1 伪函子 296
14.2 拓扑空间谱 300
14.3 无穷回路机 303
14.4 空间 303
14.5 算元 305
14.6 环谱 306
14.7 单纯谱 310
14.8 单纯谱预层 311
第五篇 猜想
第15章 代数圈 315
15.1 标准猜想 315
15.2 相交理论 320
15.3 周炜良环 325
15.4 相交重数 333
15.5 Bloch周群 335
15.6 周坐标 336
15.7 原相 344
第16章 L函数猜想 357
16.1 整数环 358
16.2 周期 369
16.3 Deligne上同调群 377
16.4 陈省身示性类 388
16.5 Selmer群 398
16.6 Bloch-加藤猜想 403
16.7 黎曼函数 408
16.8 等变玉河数猜想 410
16.9 椭圆曲线 415
16.10 模曲线 420
后记 422
参考文献 423
《现代数学基础丛书》已出版书目 451
· · · · · · (收起)

读后感

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用户评价

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这本书的语言风格给我留下了深刻的印象。它并没有采用那种晦涩难懂、充斥着非必要行话的学院派写作方式,而是努力在严谨性与可读性之间取得平衡。尽管代数K理论本身就具有相当的抽象性,但作者通过精炼的语言和恰当的解释,使得一些原本可能令人生畏的概念,变得相对容易理解。我发现,作者在引入新概念时,往往会先给出直观的解释,或者通过一些经典的例子来辅助说明,然后再逐步深入到形式化的定义和定理。这种循序渐进的教学方式,极大地降低了初学者的门槛,也让我能够更加自信地去探索那些更具挑战性的部分。我尤其欣赏作者在阐述定理证明时的逻辑清晰性,每一个步骤都衔接得十分自然,使得整个论证过程如同抽丝剥茧一般,层层递进,最终导向结论。这种清晰的逻辑链条,不仅有助于我理解定理的正确性,更能帮助我掌握证明的技巧,为我今后的研究打下坚实的基础。

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这本书的深度和广度都给我留下了深刻的印象。作者似乎并没有满足于对代数K理论进行简单的介绍,而是将其置于更广阔的数学背景下进行探讨,并触及了与之相关的许多前沿研究领域。这让我看到了K理论的生命力和其在不断发展中的数学世界中的重要地位。我能够感受到,作者在撰写这本书时,已经对该领域的研究有了非常深入的理解,并且能够以一种有条理、有逻辑的方式将其呈现给读者。这种对知识的深度挖掘和对前沿领域的广泛涉猎,让我对这本书的价值有了更进一步的认识。我甚至开始期待,这本书能够为我提供一些新的研究方向,或者帮助我更好地理解当前数学研究的热点问题。

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我注意到这本书在编排上,对于一些基础概念的复习和铺垫做得相当到位。在我阅读的过程中,我发现作者会不时地回溯到之前学过的知识点,并以一种新的视角来重新审视它们,或者将它们与即将引入的新概念联系起来。这种“温故而知新”的教学策略,对于我这样并非专业背景的读者来说,实在是太重要了。它避免了我因为遗忘某些基础知识而导致对后续内容理解困难的窘境,让我能够更加顺畅地吸收和消化新的信息。而且,作者在引用参考文献时,也表现出了极大的开放性,并没有将自己局限于某个固定的流派或学派。这种包容性的姿态,使得我对代数K理论的理解更加全面和客观,避免了被单一的视角所局限。我甚至可以通过书后的参考文献,去追溯那些经典的研究成果,这对于拓宽我的视野,理解K理论的发展脉络,具有不可估量的价值。

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我对这本书的结构安排感到非常满意。作者似乎经过了深思熟虑,将整个代数K理论的知识体系,按照一种逻辑清晰、由浅入深的方式进行呈现。从最基础的概念介绍,到复杂的定理推导,再到实际的应用和联系,每一个章节都像是为读者量身定制的阶梯,引领读者一步步攀登知识的高峰。我尤其欣赏作者在章节之间过渡的处理,过渡自然而流畅,没有生硬的断裂感,使得整个阅读过程更加连贯和愉悦。这种精心的结构设计,不仅体现了作者在教学上的匠心独运,更大大提升了我学习的效率和积极性。我甚至可以想象,这本书不仅仅是一本教材,更可能是一本能够陪伴我进行长期学术研究的参考书,它的结构会使我更容易地找到我需要的知识点,并快速地将其应用到我的研究中。

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这本书的装帧设计相当考究,封面的色彩搭配和字体选择都透露着一种沉稳而又不失学术的严谨感。拿到手中,便能感受到纸张的厚实与柔韧,翻阅时没有丝毫的廉价感,这对于一本承载着深奥理论的著作来说,是至关重要的第一印象。虽然我尚未深入研读其核心内容,但单从其物理形态而言,它就已经成功地传达了一种“重量感”和“价值感”。这种精心设计的实体形式,本身就是对读者投入时间与精力的一种无声的承诺,暗示着其中蕴含的知识必然经过了细致的打磨与考量。我尤其欣赏它在排版上的用心,无论是行间距的舒适度,还是公式的清晰度,都充分考虑到了长时间阅读的体验,这在同类书籍中并不常见。它没有采用过于花哨的图示来分散注意力,而是将重点完全集中在文字和数学符号本身,让读者能够心无旁骛地沉浸在抽象的数学世界中。这种返璞归真的设计理念,反而更能激发读者去主动探索和理解那些隐藏在简洁符号背后的深刻思想。我期待它能像它的外表一样,内容同样扎实,能够为我打开一扇通往代数K理论的崭新视角,解开那些一直萦绕在我脑海中的数学困惑。

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这本书的语言风格是一种我非常欣赏的“沉静而有力”的风格。它不像某些通俗读物那样夸张和煽情,而是以一种平和、内敛的方式,将复杂的数学概念娓娓道来。然而,正是这种沉静,反而更能凸显出数学本身的力量和美感。作者的文字如同一股涓涓细流,慢慢地浸润读者的心田,让读者在不知不觉中被代数K理论的魅力所吸引。我发现,即使是对于一些我之前完全不了解的概念,通过作者的细致阐释,我也能够逐渐领悟其内在的含义。这种“润物细无声”的教学方式,比那些强行灌输的知识更为有效,它激发了我内在的学习动力,让我更愿意主动去探索和思考。我甚至能够感受到,作者在撰写这本书时,投入了大量的情感和思考,试图将自己对代数K理论的热爱传递给每一位读者。

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这本书在数学细节的处理上,无疑是非常严谨的。当我浏览到书中对一些关键引理或定理的证明时,我能够感受到作者在逻辑推理上的滴水不漏。每一个假设、每一个推导步骤,都得到了清晰的阐述,没有任何含糊不清的地方。即使是对于一些较为复杂的证明,作者也能够将其分解成若干个更容易理解的小部分,然后逐步进行证明。这让我觉得,学习代数K理论并非如我想象的那么遥不可及,只要遵循作者的思路,一步一步地去推导,最终是可以理解的。我特别欣赏作者在证明过程中使用的一些巧妙的技巧,这些技巧不仅展示了数学的优雅,也为我今后的研究提供了宝贵的启示。这种对细节的极致追求,让我对这本书的质量充满了信心,我相信它能够成为我深入研究代数K理论的可靠伙伴。

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在阅读这本书的过程中,我时常被其所蕴含的深邃思想所打动。作者似乎不仅仅是在介绍一个数学分支,更是在引导读者去体会代数K理论在解决一系列抽象问题时所展现出的强大力量。它所揭示的数学结构之间的深刻联系,以及如何利用这些联系来构建统一的理论框架,都让我对数学的魅力有了更深的认识。我发现,这本书的内容触及了一些非常前沿的数学领域,并且能够巧妙地将它们与代数K理论联系起来,这让我看到了K理论在现代数学研究中的重要地位和广阔前景。这种跨学科的视角,不仅丰富了我的知识储备,更激发了我对数学研究的浓厚兴趣。我甚至开始思考,代数K理论是否能够为我目前正在研究的某个问题提供新的思路和解决方案。

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我注意到这本书在处理一些抽象概念时,采用了非常巧妙的比喻和类比。虽然代数K理论本身就建立在高度抽象的数学语言之上,但作者并没有因此而放弃尝试让这些概念变得更加生动和形象。通过引入一些大家熟悉的数学对象或结构,来类比K理论中的某些性质或操作,能够极大地帮助我建立起直观的理解。这种“化抽象为具体”的教学方法,对于我这样的学习者来说,无疑是醍醐灌顶。它帮助我打破了对抽象数学的固有恐惧,让我能够以一种更积极、更开放的心态去面对这些挑战。我甚至能够想象,这些比喻和类比,本身也蕴含着深刻的数学思想,它们并非简单的修饰,而是对概念本质的一种提炼和升华。

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初次接触这本书,我便被其宏大的叙事框架所吸引。作者似乎并未将自己局限于某个具体的代数结构或特定类型K群的计算,而是着力于构建一个更加普适的理论图景。这种“由大及小”的写作策略,在我看来是十分高明的,它能够帮助读者建立起对整个领域的一个全局性的认识,理解不同概念之间的内在联系和相互作用。即便我目前还无法完全消化其中的所有细节,但这种战略性的引导,使得我能够对代数K理论的整体脉络有一个初步的把握。我能够感受到作者在梳理和组织这些复杂概念时所付出的巨大努力,将原本可能显得零散的知识点,巧妙地编织成一张有机联系的知识网络。这种构建方式,不仅提升了学习的效率,更重要的是,它培养了读者一种“宏观思维”的能力,使其能够跳出具体的计算,去理解K理论在更广阔的数学领域中所扮演的角色及其重要性。我甚至可以想象,这本书的价值远不止于教授具体的知识,它更在于传授一种思考问题、解决问题的方法论,一种理解抽象数学世界的独特视角。

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