具体描述
《概率论与数理统计》正是一本既包含概率论与数理统计的基础知识和常用方法又简洁明了易于教学和自学的教材，方便读者学习使用。全书分为两部分，第1章至第3章介绍概率论的基础知识，第4章至第6章介绍数理统计的基本原理和方法。“概率论与数理统计”是经济学管理学专业学生的一门基础课，用概率论与数理统计的基本原理和方法处理实际问题的能力也是从事经济管理工作的人员所不可缺少的。
《高等代数精要》 图书简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代高等代数知识体系，尤其侧重于理论的严谨性与方法的实用性相结合。全书内容覆盖了线性代数和抽象代数的核心概念，力求在保证数学深度与广度的同时，清晰阐述各个概念间的内在逻辑联系。 第一部分：线性代数基础与应用 第一章 向量空间与线性变换 本章是全书的基石，系统地介绍了向量空间的概念，包括其线性无关性、基和维数。我们从最直观的 $mathbb{R}^n$ 空间出发，逐步推广到任意域上的抽象向量空间，强调向量空间作为研究线性结构的普遍框架的重要性。详细讨论了子空间、商空间的概念及其构造方法。 随后，深入探讨了线性映射（或称线性变换）。通过核（Kernel）和像（Image）的概念，揭示了线性变换的内在性质，特别是秩-零化度定理的普适性。本章引入了矩阵表示法，展示了基的选择如何影响矩阵的形式，为后续讨论相似性奠定了基础。我们花费大量篇幅讨论了同构这一关键概念，说明了所有 $n$ 维向量空间在代数结构上是同构的。 第二章 矩阵理论与行列式 矩阵作为线性变换在特定基下的具体表示，是计算的核心工具。本章系统梳理了矩阵的运算，包括加法、乘法、转置和求逆。重点讲解了初等行变换和初等矩阵，并利用行阶梯形（Row Echelon Form）和简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form）来求解线性方程组、判断矩阵的秩，以及计算矩阵的逆。 行列式理论部分，从二阶、三阶开始，归纳出 $n$ 阶行列式的定义（莱布尼茨公式），并推导了行列式的基本性质，如与行变换的关系、乘法性质等。通过伴随矩阵，我们给出了利用行列式求逆矩阵的显式公式，并深入探讨了行列式在几何上（如体积、定向）的直观意义。 第三章 特征值与特征向量 特征值与特征向量是理解线性变换结构的关键。本章详细解释了特征多项式、特征值和特征向量的求解过程，并讨论了代数重数与几何重数的概念及其关系。 矩阵对角化是本章的核心目标。我们探讨了可对角化的充要条件，并展示了如何通过相似变换将矩阵转化为对角矩阵，这极大地简化了矩阵的幂运算和微分方程的求解。对于不可对角化的情形，则引入了Jordan标准型理论。Jordan块的结构分析揭示了矩阵内在的、与基选择无关的结构，是深入理解线性算子不可或缺的工具。 第四章 内积空间与正交性 本章将代数结构与几何直观相结合，引入了内积的概念，从而定义了长度、距离和角度。重点讨论了实内积空间和复内积空间，特别是$mathbb{R}^n$ 上的标准内积。 正交性是本章的灵魂。我们详细阐述了Gram-Schmidt正交化过程，展示了如何将任意向量组转化为一组正交基或标准正交基。正交投影定理在求解最小二乘问题中发挥了核心作用，使得在复杂空间中寻找最佳近似成为可能。此外，还深入讨论了正交矩阵、对称矩阵的性质及其谱定理，证明了实对称矩阵总可以被正交对角化，这在物理学和工程学中具有极其重要的地位。 第二部分：抽象代数基础 第五章 环论初步 从集合到代数结构，本章开始迈入抽象代数领域。我们定义了环、交换环、整环和域，并详细阐述了子环、零因子、单位元等基本概念。 本章的重点在于理想（Ideal）和商环（Quotient Ring）。理想的结构类似于向量空间中的子空间，商环的构造是理解代数结构分裂和嵌入的关键步骤。我们讨论了主理想、最大理想和素理想的概念，并引入了环同态及其同态基本定理，揭示了环之间结构保持的映射关系。 第六章 域与多项式环 多项式环 $F[x]$ 是研究域扩张的重要平台。本章详细分析了多项式在域上的带余除法，并由此导出了多项式的最大公因式（GCD）及其求解算法（欧几里得算法）。 我们探讨了多项式的根，引入了代数元和超越元，并深入讲解了域扩张的概念，包括域的扩张次数。最终目标是构造扩域，特别是最小分裂域，为伽罗瓦理论奠定基础。本章强调了有理数域 $mathbb{Q}$ 上的不可约多项式的性质，这与代数数理论紧密相关。 第七章 群论入门 群是代数结构中最基础、应用最广泛的概念之一。本章定义了群、子群、陪集以及拉格朗日定理，这是群论中第一个里程碑式的结论。 中心化子、正规子群和商群的讨论，将群的结构分解为更简单的部分。我们详细研究了同态和同构，特别是群同态基本定理，它揭示了核（Kernel）如何决定了一个映射的“非单射”程度。循环群、有限交换群的分类结构，以及对排列群（对称群 $S_n$）的初步探究，展示了抽象理论如何应用于具体的置换集合。 总结与展望 本书的编写风格力求清晰流畅，每章后附有大量精选的习题，旨在引导读者从具体的计算过渡到抽象的证明。高等代数是通往现代数学和应用科学的必经之路，本书期望能为读者构建一个坚实而灵活的数学思维框架，为后续学习泛函分析、拓扑学、微分几何乃至更深层次的抽象代数打下坚实的基础。
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