具体描述
《21世纪高等院校教材:概率论与数理统计》是根据教育部新制定的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”编写的，内容包括随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理、数理统计的基本概念与抽样分布、参数估计、假设检验等，在“工科类本科数学基础课程教学基本要求”之外，还在概率论部分增加了特征函数这一节内容，在数理统计部分增加了样本容量的确定、正态性检验、回归分析与方差分析等有广泛应用的内容，《21世纪高等院校教材:概率论与数理统计》注重概率统计思想的阐述，突出概率统计方法及其实际背景的介绍，强调应用能力和统计建模能力的培养，全书论述严谨，行文深入浅出，富有启发性和可读性，为了便于自学，书后附有习题参考答案，《21世纪高等院校教材:概率论与数理统计》可作为高等工科院校非数学类专业的概率论与数理统计课程的教材，也可作为医药类专业学生的教材，对广大工程技术人员来说也是一本不可多得的参考书。
离散的几何：非欧几里得空间中的拓扑与测度 作者： [此处留空，意指独立研究者或匿名学者] 出版社： 隐秘之镜出版（The Obscure Mirror Press） 出版日期： 2024 年春 --- 内容提要： 本书并非传统意义上的数学教材，它是一次深入灵魂的探索，旨在揭示我们认知世界所依赖的“欧几里得幻象”背后的真正结构。本书聚焦于非欧几里得几何学（特别是双曲几何与椭圆几何）如何重塑我们对空间、距离、连续性乃至“存在”本身的理解。我们拒绝依赖概率论的随机性或数理统计的归纳推理，转而采用一种纯粹的、基于公理系统的、极度结构化的叙事方式，阐明拓扑空间、测度论在弯曲流形上的本质性转译。 全书分为四个相互关联的部分，每一部分都旨在剥离一层对日常直觉的依赖，直至触及数学结构的冰冷核心。 --- 第一部：超越平面的视角——双曲几何的黎曼曲率 本部分完全避开了概率分布的讨论，将焦点集中于庞加莱圆盘模型（Poincaré Disc Model）和克莱因模型（Klein Model）的内在一致性与差异性。我们首先从罗巴切夫斯基的公理体系出发，而非建立在统计误差分析之上。 核心章节概述： 1. 等距变换与群论基础： 探讨双曲空间中的运动群（如 $PSL(2, mathbb{R})$），分析其对黎曼度规张量的影响。我们详细论证了在曲率恒为负值的空间中，三角形内角和的确定性变化，并严格证明了“平行线”概念的唯一性边界。这部分完全基于代数拓扑的刚性结构。 2. 测地线的内在曲率： 深入分析测地线（双曲直线）在庞加莱模型中的表现形式——圆弧。我们构建了处理双曲距离函数 $d_H(u, v)$ 的严格方法，展示了如何通过共形映射将局部欧几里得结构嵌入到全局弯曲的框架中。这里的“度量”是固定的，不涉及任何随机变量的期望值。 3. 理想点与超平面： 研究双曲空间如何自然地“封闭”自身。理想点（Ideal Points）的引入，并非为了构建统计的极限，而是为了完成空间的拓扑完备性。我们探讨了这些“边界点”如何定义双曲超平面，以及这种边界如何与有限空间内的事件概率完全无关。 --- 第二部：闭合的宇宙——射影几何与椭圆空间 本部分转向具有正曲率的球面几何，将其视为一个拓扑学的基本范例——一个紧致流形。此处的论述着重于射影不变量而非随机过程。 核心章节概述： 1. 球面上的向量束与法线： 在球面几何中，我们重建了欧几里得空间中的法线概念。重点在于理解大圆（Great Circles）作为最短路径的绝对性。这与对误差函数的最小化问题截然不同。 2. 射影变换的不变式： 探讨从球面到射影空间的映射。我们严格分析了双点（antipodal points）在不同坐标系下的表示，以及如何通过交叉比（Cross-Ratio）来刻画射影几何中的比例关系，这是一种纯粹的构型理论，不涉及任何频率估计。 3. 拓扑的紧致性与欧拉示性数： 计算球面（二维椭圆空间）的欧拉示性数 $chi = 2$。我们将此视为空间拓扑结构的内在属性，而不是通过采样数据拟合出的参数。 --- 第三部：测度的重构——超越概率的测度论 本部分是本书最抽象的部分，它将测度论从其通常与概率论紧密联系的语境中剥离出来，将其视为对集合的体积和密度的纯粹分配。我们关注的是非概率测度。 核心章节概述： 1. 勒贝格测度在弯曲空间中的推广： 讨论如何定义一个在双曲空间中具有内在不变性的体积元素 $dV_H$。这要求该元素在所有等距变换下保持相对不变，这是一种几何约束，而非随机选择的后果。 2. 哈尔测度（Haar Measure）的唯一性： 深入探讨在李群（如双曲空间的等距变换群）上构造左、右不变测度的唯一性。哈尔测度的存在性证明完全依赖于群的结构本身，与观测数据的统计特性无关。 3. 测度与“信息熵”的区分： 明确区分几何测度（衡量物理空间的量）与信息论中的熵（衡量不确定性或信息缺失的量度）。本书的测度是关于占有率的确定性描述。 --- 第四部：流形的粘合——边界与完备性 最后一部分关注如何将不同的几何结构（例如欧几里得、双曲、椭圆）通过更高级的拓扑工具——流形——进行“粘合”。 核心章节概述： 1. 流形上的张量分析基础： 引入度规张量 $g_{mu
u}$ 的概念，重点关注其逆变和协变分量的操作。这是一种纯粹的微分几何工具，用于描述空间局部行为的微分性质，不涉及误差的传播。 2. 黎曼曲率张量与里奇曲率： 通过计算曲率张量 $R^
ho_{sigmamu
u}$，我们量化了空间在每一点上的弯曲程度。这是一种局部的、微分方程决定的性质，与任何宏观统计描述无关。 3. 拓扑嵌入定理的边界： 探讨在何种条件下，一个弯曲的几何结构可以被唯一地嵌入到一个更高维度的欧几里得空间中（如藤森嵌入）。我们关注嵌入的刚性，而不是近似性。 --- 适合读者： 本书面向已经熟悉基础微积分和线性代数，但对“连续性”和“空间”的本质感到不满意的读者。它尤其适合那些试图在纯粹的结构主义和公理化体系中寻找几何真理的研究人员，以及所有厌倦了依赖随机抽样来推导确定性结论的研究者。这是一部关于结构的精确性的著作，而非关于不确定性的艺术。 --- 本书的独特视角： 本书的叙事结构是线性的、推导式的，每一个结论都直接源于少数几个明确的公理假设。它避开了几乎所有涉及随机变量、置信区间、假设检验或回归分析的数学工具。在这里，空间是固定的，距离是绝对的，测度是内在的——一切都由其固有的几何法则所决定，无需任何外部的统计干预。它试图回答：在一个没有随机性的宇宙中，空间和测量会是什么样子？
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