奇异摄动方程解的渐近展开 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:瓦西里耶娃

出品人:

页数:198

译者:

出版时间:2008-1

价格:39.00元

装帧:

isbn号码:9787040230635

丛书系列:俄罗斯数学教材选译系列

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《奇异摄动方程解的渐近展开》 本书深入探讨了奇异摄动方程解的渐近展开方法，为理解和求解各类含小参数微分方程提供了系统性的理论框架和实用的技术手段。奇异摄动问题之所以“奇异”，在于其导数项前的系数为一个趋近于零的小参数。在令该参数等于零时，原方程的阶数会降低，从而产生一个与原方程不同的“退化”方程，其解通常不能直接逼近原方程的解。这种现象导致了在解的某些区域（通常是边界层区域）解的变化非常剧烈，对传统的数值和解析方法构成了挑战。 本书的目标是系统地介绍如何利用渐近展开的技巧，构造出能够精确描述奇异摄动方程在全区域（包括渐近区域和边界层区域）行为的近似解。这些近似解是通过将方程的解表示为一个以小参数为变量的幂级数（或更一般的渐近级数）来实现的。然而，直接将解写成简单的幂级数形式往往会在边界层区域失效。因此，本书着重阐述了处理边界层问题的核心思想——匹配原理。 核心内容概览： 基础理论与预备知识： 书的开篇部分将回顾解决奇异摄动问题所需的基础数学工具，包括微积分、微分方程的基本概念，以及一些必要的渐近分析工具，如大O符号、小o符号、渐近等价等。同时，会对不同类型的奇异摄动问题进行分类介绍，例如常微分方程中的边值问题和初值问题，以及偏微分方程中的情况。 单摄动参数的常微分方程： 这是本书的核心章节。我们将详细介绍如何通过“外展开”和“内展开”的方法来构造奇异摄动方程的渐近解。 外展开： 假设小参数 $epsilon$ 趋于零时，解可以表示为一个形式为 $sum_{n=0}^infty epsilon^n y_n(x)$ 的级数，其中 $y_n(x)$ 是在“外”区域（即远离边界层区域）保持光滑和解析的函数。通过将此级数代入原方程并逐阶比较 $epsilon$ 的系数，可以得到一系列关于 $y_n(x)$ 的方程，从而确定外解的各项。 内展开： 在边界层区域，解的变化率非常高，直接应用外展开会失效。因此，需要引入一个“内变量”来放大该区域。例如，在靠近 $x=0$ 的边界层，可以引入一个内变量 $xi = x/epsilon$。然后，我们假设解可以表示为 $sum_{n=0}^infty epsilon^n Y_n(xi)$ 的形式。通过将内展开代入原方程，并根据内变量的性质进行分析，可以得到内解的各项。 匹配原理： 内展开和外展开各自独立地描述了其对应的区域，但它们必须在过渡区域（即内区和外区的交集）能够“匹配”起来，即在某种意义下趋于一致。本书将详细阐述如何利用匹配原理来确定外解和内解之间的关系，并最终将它们组合成一个单一的、全区域的渐近近似解。这通常涉及指数衰减项（如 $e^{-x/epsilon}$）的引入，以平滑地连接边界层和外区域。 多摄动参数与多重尺度分析： 随着问题的复杂性增加，可能出现多个趋于零的小参数，或者即使只有一个小参数，其影响也可能在不同的尺度上表现出来。本书还将介绍多重尺度分析（Multi-scale Analysis）技术，它允许我们在不同的空间或时间尺度上分别处理问题，并找到一个统一的近似解。 奇异摄动方程的分类与应用： 本书将通过大量的实例来展示渐近展开方法在不同领域的应用，例如： 力学： 粘性流体动力学中的边界层理论，例如普朗特边界层方程；弹性力学中的薄壳理论。 化学反应动力学： 慢反应物或催化剂的存在导致方程组具有奇异摄动特征。 控制理论： 线性系统中的模态分析，特别是快慢模态的分离。 电磁学： 高频近似，涡流效应等。 数学物理方程： 某些偏微分方程，如热传导或波动方程在特定边界条件下的行为。 收敛性与误差分析： 虽然渐近级数通常不是收敛的，但它们可以提供非常精确的近似。本书将讨论渐近展开的收敛性质，以及如何估计渐近解的误差界限。 本书的特点： 理论严谨性与实践性相结合： 本书在介绍数学理论的同时，注重方法的具体操作步骤和实际应用。读者可以通过书中大量的例题，掌握如何为具体的奇异摄动问题构造渐近解。 循序渐进的组织结构： 内容从基础概念逐步深入到复杂技巧，确保不同背景的读者都能理解并掌握。 清晰的数学推导： 所有推导过程都力求清晰、完整，便于读者理解每一步的逻辑。 《奇异摄动方程解的渐近展开》适合对微分方程、数学物理、工程应用等领域感兴趣的研究生、博士后以及相关领域的专业研究人员。通过学习本书，读者将能够有效地分析和求解那些传统方法难以处理的奇异摄动问题，深入理解其内在的物理或数学机制。

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这本书以其独特的视角和深刻的洞察力，为读者揭示了奇异摄动方程的奥秘，并通过渐近展开这一强大的工具，展示了如何“驯服”这些看似失控的数学难题。我被书名中的“奇异”二字深深吸引，它预示着一种挑战常规的探索。作者的叙述严谨而不失生动，他首先建立起坚实的理论基础，阐述了奇异摄动方程的特性，以及传统摄动方法为何会失效。我最深刻的体会是作者对于“匹配”思想的深入剖析。他解释了如何将不同区域（例如，当摄动参数极小时，方程的解在不同区域表现出不同的行为）的渐近展开式进行“粘合”，以获得一个全局有效的近似解。这种“粘合”过程，是对误差控制和数学推导的极致考验，作者在这方面展现出的技艺令人信服。书中对“边界层”现象的描述，让我对那些在特定区域内发生快速变化的物理过程有了更深刻的理解。作者详细介绍了如何通过引入新的变量和新的展开式来捕捉这些边界层的行为，并如何通过“重联”等技术实现内层解与外层解的平滑过渡。这是一种高度概括性的数学处理方法，但作者的讲解却足够清晰。我还可以感受到作者在例题选择上的用心，这些例题不仅涵盖了奇异摄动问题的经典案例，也展示了渐近展开方法的强大应用潜力。这本书不仅仅传授知识，更是一种思维方式的启迪，它教会我如何以一种更开放、更具创造性的方式来面对数学难题。

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这是一本真正能够激发读者思考的著作，它带领我们深入奇异摄动方程的世界，并以渐近展开这一利器，揭示了其内在的规律。我之所以选择这本书，完全是被它书名中那份“奇异”和“渐近”的结合所吸引，这预示着一场关于数学智慧的冒险。作者的叙事方式是如此的细腻和有条理。他并没有急于呈现复杂的公式，而是首先建立起坚实的理论基础，阐述了奇异摄动方程的特性，以及传统摄动方法为何会失效。我最深刻的体会是作者对于“匹配”思想的深入剖析。他解释了如何将不同区域（例如，当摄动参数极小时，方程的解在不同区域表现出不同的行为）的渐近展开式进行“粘合”，以获得一个全局有效的近似解。这种“粘合”过程，是对误差控制和数学推导的极致考验，作者在这方面展现出的技艺令人信服。书中对“边界层”现象的描述，让我对那些在特定区域内发生快速变化的物理过程有了更深刻的理解。作者详细介绍了如何通过引入新的变量和新的展开式来捕捉这些边界层的行为，并如何通过“重联”等技术实现内层解与外层解的平滑过渡。这是一种高度概括性的数学处理方法，但作者的讲解却足够清晰。我还可以感受到作者在例题选择上的用心，这些例题不仅涵盖了奇异摄动问题的经典案例，也展示了渐近展开方法的强大应用潜力。这本书不仅仅传授知识，更是一种思维方式的启迪，它教会我如何以一种更开放、更具创造性的方式来面对数学难题。

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这本书彻底颠覆了我对数学模型简化和近似的认知。我一直认为，摄动法是一种比较成熟的数学工具，但这本书让我看到了它的另一面——那些“不听话”的奇异摄动方程，以及如何驯服它们的精妙艺术。作者以一种近乎艺术家的匠心，将复杂的数学思想娓娓道来。我之所以购买这本书，是被“奇异摄动”这个词所吸引，它暗示着一种非传统的、需要更深层次理解的方法。从我个人的阅读体验来说，这本书的逻辑性非常强，从最基本的摄动概念出发，逐步引入奇异摄动方程的特性，然后详细介绍渐近展开的各种技术。我印象最深刻的是作者关于“外层展开”和“内层展开”的论述。当摄动参数非常小时，方程的行为会在一个“狭窄”的区域发生剧烈变化，这需要引入一个新的尺度来描述，而内层展开正是为此而生。更巧妙的是，作者详细讲解了如何将外层和内层的展开式进行“匹配”，使得两者在重叠区域能够保持一致，从而得到一个全局有效的近似解。这种“匹配”过程，不仅需要精湛的数学推导技巧，更需要对问题的物理背景有深刻的理解。书中对“边界层”的刻画，生动地展现了当系统状态快速变化时，在特定区域内，某些项的贡献会变得异常显著。作者在处理这些边界层问题时，所采用的数学技巧，如“重联”等，让我大开眼界。此外，书中还探讨了许多高阶渐近展开的技术，以及如何分析近似解的误差界限。这些内容对于需要精确结果的研究者来说，具有极高的价值。我甚至尝试着将书中的方法应用于我自己的研究项目中，发现效果非常显著。这是一本真正能够提升研究能力的图书，它不仅仅传授知识，更重要的是培养一种解决问题的思维方式。

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这本书对我而言，是一场关于数学逻辑和物理直觉的深度对话。作者以一种“解密者”的姿态，深入探索了奇异摄动方程的奥秘，并通过渐近展开这一强大的工具，为我们展示了如何“驯服”这些看似失控的数学难题。我被书名中的“奇异”二字深深吸引，因为它预示着一种挑战常规的探索。作者的叙述严谨而不失生动，他首先回顾了经典摄动理论的局限性，然后引出了奇异摄动方程所带来的独特挑战。他详细解释了为何当摄动参数趋近于零时，方程的解会发生“突变”，以及如何通过构建“匹配”的渐近展开来克服这一困难。我尤其喜欢作者对“外层”和“内层”展开式之间关系的阐述，以及如何通过“匹配原则”将它们有机地结合起来，形成一个统一的近似解。这种“连接”的过程，需要对误差项的量级有极其精确的估计，作者在这方面展现出的功力令人赞叹。书中对“边界层”的描绘，生动地展现了系统在特定区域内行为的快速变化，以及如何通过引入新的变量和新的展开式来捕捉这种变化。作者在处理这些边界层问题时所使用的技术，如“重联”，更是让我大开眼界。这本书的价值不仅在于其理论的深度，更在于其对实际问题的应用。作者通过一系列精心挑选的例题，展示了渐近展开方法在各个科学领域的强大生命力。对我来说，这本书不仅仅是一份知识的宝库，更是一份关于如何用数学思维解决复杂问题的启迪。

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这本书就像一扇通往数学深层奥秘的大门，它以其独到的视角，解析了奇异摄动方程的精髓。我作为一个对数学物理充满热情的业余爱好者，一直苦于难以找到一本能够系统性地讲解奇异摄动问题的著作。这本书的出现，无疑填补了我的一个重要空白。作者的写作风格非常吸引人，他没有将枯燥的数学公式堆砌在一起，而是用一种娓娓道来的方式，将复杂的概念解释得清晰易懂。我尤其欣赏作者在阐述“奇异摄动”的由来和特性时所下的功夫。他详细分析了当摄动参数趋向于零时，方程解的结构会发生怎样的“突变”，以及为何传统的摄动方法会失效。这让我对问题的本质有了更深刻的认识。书中关于“渐近展开”的技巧，是这本书的核心内容。作者详细讲解了如何构建各种类型的渐近展开式，以及如何通过“匹配”的方法，将不同区域的展开式有机地结合起来，从而得到一个全局一致的近似解。我特别着迷于作者在处理“边界层”问题时所展现出的智慧。他解释了如何在边界层区域引入新的变量和新的展开，并且如何通过“重联”等技术，将边界层解与外层解平滑地连接起来。这是一种非常精妙的数学艺术。书中还包含了许多不同领域的应用实例，从流体力学中的边界层理论，到微分方程中的奇点摄动，都进行了深入的探讨。这些实例让我能够更好地理解抽象的数学概念在实际问题中的应用。我发现，每一次阅读这本书，我都能对其中的内容有更深的理解，它不仅仅是一本书，更像是一位循循善诱的良师。

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这本书是奇异摄动领域的一部杰作，它以其独特的视角和深刻的洞察力，为读者揭示了那些看似棘手的数学问题背后的规律。我被其书名所吸引，因为它预示着对传统方法的一种超越。作者的写作风格是一种“循序渐进”的典范，他从对摄动理论的扎实基础讲起，然后逐渐深入到奇异摄动方程的复杂性。他详细阐述了为什么当摄动参数趋近于零时，常规的渐近展开方法会失效，以及如何通过引入新的数学工具来克服这些困难。我特别欣赏作者关于“渐近匹配”的论述，这是一种将不同区域的展开式“连接”起来的精妙技术。他不仅解释了其数学原理，还深入剖析了其物理意义。通过“匹配”，我们能够将局部有效的近似解，转化为一个在全局范围内都适用的近似解。书中对“边界层”的精彩描绘，让我对那些发生在狭窄区域内的剧烈变化有了全新的认识。作者展示了如何在这种情况下引入特殊的“内层”变量和“内层”展开，并且如何通过“重联”等方法，将内层解与外层解进行平滑的过渡。这是一种高度抽象的数学思维，但作者通过清晰的语言和详实的推导，将其变得易于理解。我还可以感受到作者在选择例题时的匠心独运，这些例题不仅代表了奇异摄动问题的经典范畴，也展示了渐近展开方法的强大威力。这本书不仅仅是传授知识，更是一种思维方式的启迪，它鼓励我们以更开放、更创新的态度去面对数学难题。

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毫无疑问，这是一本能够重塑我们对摄动方法理解的里程碑式作品。作者以其非凡的洞察力，将那些看似难以捉摸的奇异摄动方程，通过精妙的渐近展开技巧，一一瓦解。我购买此书，正是被其“奇异”二字所吸引，它代表着数学研究中那些最前沿、最富挑战性的领域。拿到书后，我花了相当长的时间在第一章，因为作者在这里奠定了整个理论体系的基石。他没有直接跳入复杂的公式，而是从摄动理论的哲学层面出发，阐述了为何传统的摄动方法在某些情况下会失效，以及“奇异摄动”的本质是什么。这种基础性的梳理，对于理解后续内容至关重要。书中对于“匹配原则”的讲解，是我阅读过程中最大的收获之一。作者通过生动的比喻和严谨的数学论证，解释了如何将不同渐近区域（例如，当摄动参数小到一定程度时，方程中某些项的相对重要性会发生改变）的展开式“粘合”在一起，形成一个统一的近似解。这种“粘合”过程，要求对误差项的量级有极其精确的把握，作者在这方面展现出的功力令人赞叹。我还对书中关于“奇异摄动”问题的分类和处理策略的系统性介绍印象深刻。他详细讨论了不同类型的奇异摄动，例如具有小参数的线性系统、非线性系统以及奇点摄动等，并针对每种情况提出了相应的渐近展开方法。这使得读者能够根据具体问题，选择最合适的工具。书中穿插的例子，从简单的常微分方程，到复杂的偏微分方程，都经过精心挑选，能够充分展示渐近展开方法的威力。我特别喜欢作者对于每一步推导的详细解释，这避免了许多其他书籍中常见的“跳步”现象，使得学习过程更加顺畅。这是一本需要反复研读的宝藏，每一次翻阅都能激发我新的思考，让我对数学的精妙之处有更深的领悟。

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毫无疑问，这是一本能够重塑你对数学模型简化理解的书籍。作者以其非凡的洞察力，将那些看似难以捉摸的奇异摄动方程，通过精妙的渐近展开技巧，一一瓦解。我购买此书，正是被其“奇异”二字所吸引，它代表着数学研究中那些最前沿、最富挑战性的领域。从我个人的阅读体验来说，这本书的逻辑性非常强，从最基本的摄动概念出发，逐步引入奇异摄动方程的特性，然后详细介绍渐近展开的各种技术。我印象最深刻的是作者关于“匹配原则”的论述。他详细讲解了如何将外层和内层的展开式进行“匹配”，使得两者在重叠区域能够保持一致，从而得到一个全局有效的近似解。这种“匹配”过程，不仅仅需要精湛的数学推导技巧，更需要对问题的物理背景有深刻的理解。书中对“边界层”的刻画，生动地展现了当系统状态快速变化时，在特定区域内，某些项的贡献会变得异常显著。作者在处理这些边界层问题时，所采用的数学技巧，如“重联”等，让我大开眼界。此外，书中还探讨了许多高阶渐近展开的技术，以及如何分析近似解的误差界限。这些内容对于需要精确结果的研究者来说，具有极高的价值。我甚至尝试着将书中的方法应用于我自己的研究项目中，发现效果非常显著。这是一本真正能够提升研究能力的图书，它不仅仅传授知识，更重要的是培养一种解决问题的思维方式。

评分☆☆☆☆☆

一本真正能触及数学物理核心的著作，它不落俗套，不沉湎于已有的经典解法，而是大胆地探索了那些看起来“失控”但又隐含着深刻规律的奇异摄动方程。我拿到这本书时，首先被它的书名所吸引，那种“奇异”和“渐近展开”的结合，预示着一场智力上的冒险。翻开第一页，便被作者严谨的逻辑和清晰的思路所折服。对于我这样一名对数学物理有着浓厚兴趣，却又常常被复杂方程组困扰的学生来说，这本书无疑是一盏明灯。它不仅仅是理论的堆砌，更是思想的引导。作者用一种极其耐心和细致的方式，剖析了那些常规方法难以应对的摄动问题，比如当摄动参数趋近于零时，方程的行为模式会发生剧烈的、有时甚至是“跳跃式”的变化。这本书深入浅出地介绍了如何通过构造特殊的“匹配”方法，将不同区域（如内层和外层）的渐近展开式巧妙地连接起来，从而获得方程在全局范围内的近似解。我尤其喜欢其中关于“边界层”概念的阐述，它生动地描绘了当系统从一个稳定状态向另一个状态快速过渡时，在特定区域内，某些项的量级会突然增大，需要特殊的数学工具来处理。这种对细节的关注，以及作者在推导过程中展现出的深厚功底，让我对数学的魅力有了更深的体会。书中的例题选择也极具代表性，涵盖了流体力学、热传学、电路分析等多个领域，使得理论知识得以具象化，更容易理解其物理意义。虽然书中涉及的数学工具（如重联、渐近匹配等）初看之下有些陌生，但作者循序渐进的讲解，配合详实的推导过程，使得学习曲线变得平缓。这是一本需要静下心来，反复揣摩的著作，每一次阅读都能有新的发现，新的感悟。它挑战了我固有的思维模式，引导我以一种更广阔、更深入的视角去审视那些看似“奇异”的数学现象。

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如果说许多数学书籍是知识的“搬运工”，那么这本书无疑是一位“思想的雕塑家”。它并没有直接灌输给你现成的公式和结论，而是引导你一步一步地去理解奇异摄动方程的“怪癖”以及如何用渐近展开的方法去“驯服”它们。我购买此书，就是因为它书名中那份“奇异”的魅力，预示着一场智力的挑战。作者的叙述方式极其严谨而又富有逻辑。他首先从基础的摄动理论讲起，然后巧妙地引出了奇异摄动方程所面临的挑战——当摄动参数趋近于零时，方程的解的性质会发生根本性的改变。我非常喜欢作者对“内层”和“外层”概念的引入，以及如何通过“匹配”原则将这两部分展开式有机地结合起来。这种“匹配”的过程，就像是在不同的维度之间搭建桥梁，需要极其精密的计算和深刻的理解。书中关于“边界层”的讨论，让我对那些在特定区域内快速变化的现象有了更直观的认识。作者详细解释了如何通过引入新的变量和新的渐近展开，来捕捉这些边界层的行为。这不仅仅是数学上的技巧，更是对物理现象的深刻洞察。我特别欣赏作者在处理高阶渐近展开时所表现出的耐心和细致，他一步一步地展示了如何提取更精确的近似解，以及如何分析这些解的误差。这本书的例题选择也十分经典，涵盖了许多重要的科学问题，能够帮助读者将理论知识应用于实际。对我而言，这不仅仅是一本学术书籍，更是一份关于如何用数学思想解决复杂问题的指南。

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