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出版者:Aula-Verlag GmbH

作者:Wolfgang Luh

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1994-06-30

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9783891044551

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 微积分
• 分析学
• 高等数学
• 实分析
• 函数
• 极限
• 微分
• 积分
• 序列

现代数学分析基础：从实数系统到泛函初步 本书导言： 本书旨在为读者构建一个坚实、严谨的现代数学分析基础。我们摒弃了传统教材中过于繁琐的算术技巧，转而专注于对核心概念的深刻理解与逻辑推理的锤炼。全书的结构围绕着分析学的两大支柱——拓扑与度量——展开，并最终引向对高维空间与抽象函数空间的初步探索。 我们深知，数学分析的学习不仅是掌握定理与公式，更是一种思维方式的重塑。因此，本书在概念的引入上力求清晰直观，同时在证明的构建上坚持逻辑的完整性与严密性。读者在翻阅本书时，将体验到从直观的“无穷小”和“极限”概念，逐步过渡到由集合论和拓扑空间所支撑的精确框架的过程。 第一部分：实数系统的完备性与拓扑基础 本部分是全书的基石，对读者理解后续所有分析概念至关重要。 第一章：有理数与实数系统 我们从皮亚诺公理出发，重温自然数和整数的构造，随后引出有理数域 $mathbb{Q}$ 的代数结构。核心内容在于对实数域 $mathbb{R}$ 的构造。我们采用戴德金分割（Dedekind Cuts）的方法来定义实数，从而严格证明 $mathbb{R}$ 具有完备性（Completeness）——这是所有微积分概念得以成立的关键特性。 关键主题： 序关系、域的构造、有理数的稠密性、戴德金分割的唯一性。 重要定理： 戴德金截的定义、实数集上的至上确界原理（Supremum Principle），以及由此推导出的区间套定理（Nested Intervals Theorem）。 实践应用： 通过完备性原理证明 $sqrt{2}$ 的存在性，并讨论无理数的性质。 第二章：度量空间的基本概念 在建立起坚实的实数基础后，我们将视野扩展到更广阔的集合空间。度量空间（Metric Space）是泛函分析的起点。我们首先定义度量函数及其性质（非负性、对称性、三角不等式）。 核心结构： 距离的定义、度量空间上的开球与闭球。 拓扑结构： 基于度量定义的开集与闭集。讨论集合的内点、边界点、聚点（极限点）和孤立点。 收敛性： 在度量空间中定义序列的收敛性，并探讨其与聚点的关系。 紧致性（Compactness）的初步探索： 引入开覆盖的概念，并证明在 $mathbb{R}^n$ 中，Heine-Borel 定理的精确表述，为后续处理闭有界集打下基础。 第二部分：拓扑与连续性 这一部分将分析学从单纯的数值计算提升到集合之间的映射关系。 第三章：拓扑空间 我们将抽象化度量空间中的开集概念，引入更一般的拓扑空间（Topological Space）。读者将学习不依赖于“距离”的拓扑结构定义。 拓扑的定义： 通过开集的公理来定义拓扑结构。讨论基（Basis）与子基（Subbasis）的概念，它们是构造特定拓扑（如欧几里得拓扑）的有效工具。 相对拓扑： 考察一个子集如何在父空间拓扑下继承其结构。 连续映射： 在拓扑空间中定义函数 $f: X o Y$ 的连续性，即原像下开集的开性。讨论连续映射的保拓扑性质。 第四章：连续性与函数空间 本章重点讨论拓扑结构对函数性质的影响，尤其是连续性在不同空间间的传递。 等价概念： 证明在 $mathbb{R}^n$ 中，序列收敛、邻域收敛与开覆盖定义下的连续性是等价的。 函数空间的拓扑： 引入一致收敛（Uniform Convergence）的概念，并说明为何一致收敛比逐点收敛更重要。讨论函数空间 $C[a, b]$（连续函数空间）上的度量和拓扑。 紧致性的深入： 严格证明连续函数将紧集映射到紧集。利用紧致性讨论函数在紧集上的性质，如极值点的存在性。 第三部分：完备性与不动点理论 本部分聚焦于“能否到达”极限或“能否解出”不动点的问题，这是分析学中最具应用价值的部分之一。 第五章：完备度量空间 我们进一步深化“完备性”的概念，从实数域扩展到任意度量空间。 柯西序列： 定义度量空间中的柯西序列。 完备空间的定义： 考察所有柯西序列都收敛的空间，即完备度量空间。讨论 $mathbb{R}^n$ 的完备性，并证明任意欧几里得空间是完备的。 完备化： 介绍如何将一个非完备的度量空间嵌入到一个完备空间中（构造实数域的经典思路）。 第六章：不动点定理与压缩映射 本章是应用分析的经典篇章，它为求解微分方程、积分方程提供了强大的工具。 巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）： 严格阐述压缩映射的定义及其不动点的唯一性和构造性。 应用： 展示如何利用此定理证明在特定条件下，常微分方程（初值问题）解的存在性和唯一性（Picard 迭代法的分析基础）。 第七章：泛函分析的初步展望 本章作为全书的收尾和导引，将读者的视角提升到无限维空间。 拓扑向量空间（TVS）简介： 简要介绍如何在向量空间上引入拓扑结构，使其兼容线性运算。 赋范向量空间： 引入范数（Norm）的概念，范数是满足特定条件的度量。讨论巴拿赫空间（Banach Space）——赋范完备向量空间。 线性算子： 讨论从一个巴拿赫空间到另一个巴拿赫空间的有界线性算子。 有限维与无限维的差异： 简要对比有限维欧几里得空间（如 $mathbb{R}^n$）与无限维巴拿赫空间在拓扑和线性代数性质上的根本差异，为后续学习泛函分析做好思维准备。 结语： 本书旨在提供一条从基础算术到现代拓扑分析的无缝衔接路径。通过对完备性、紧致性、连续性和收敛性的严谨探讨，读者将不仅能够理解微积分中的关键定理，更能掌握一套用于分析更复杂、更高维数学对象的强大逻辑工具。本书的重点在于“为什么”，而非仅仅“如何做”，培养读者发现和证明数学真理的能力。

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这本书的真正价值，我认为体现在其对“为什么”的执着追问上，而非仅仅是“是什么”。它没有把我当成一个只会套用公式的计算器。例如，在引入勒贝格测度的构造时，作者花了大量的篇幅去解释为什么传统的长度概念无法处理“病态集”，这种对数学工具局限性的深刻反思，远比直接给出勒贝格测度的定义要有启发性得多。我尤其喜欢作者在描述收敛半径和幂级数操作的章节中，那种对“边界”的敬畏感。他反复强调在收敛圆周上的行为是多么的微妙和复杂，这迫使我不再满足于仅仅知道一个结论，而是要去探究这个结论在何处失效、在何处需要更强的假设。对于任何想要从“应用微积分”跨越到“分析数学”领域的学生来说，这本书就像一座坚固的桥梁，它要求你用力攀登，但一旦踏上对岸，眼前的风景将截然不同。它不仅是知识的传授，更是一种思维方式的重塑。

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这本书的排版和装帧设计，虽然朴实无华，但透着一股老派的严谨。油墨的颜色和纸张的触感都非常适合长时间阅读。我特别欣赏作者在处理复杂符号时的规范性，每一个希腊字母、每一个上下标都精准到位，这对于阅读涉及大量积分和微分符号的文本至关重要。在讲述变分法和欧拉-拉格朗日方程的部分，作者似乎有一种将物理直觉巧妙地嵌入纯数学论证的能力。他没有急于抛出最终的方程，而是通过对能量泛函的微小扰动来引导读者自然而然地推导出必要条件，这种教学方法非常符合我个人的学习习惯。不同于一些只顾及形式逻辑的教材，这本书的每一章后面都会附带一段“历史背景与应用展望”，这部分内容极大地丰富了我对这门学科在十九世纪和二十世纪发展的认知，让我明白这些枯燥的公式背后是人类智慧的伟大探索。

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我对这本书的总体评价是：它是一部需要“对话”的书，而不是一本可以“速读”的书。当你试图快速浏览时，你会感觉信息量巨大，消化不良。但如果你带着问题，认真地在草稿纸上跟随作者的每一步论证，你会发现作者已经预设了你可能产生的每一个疑问，并提前给出了清晰的解答路径。比如，在处理黎曼-斯蒂尔切斯积分时，我对上下和上和的区分一直很模糊，但书中通过一个巧妙的例子，清晰地展示了在不同条件下这两个“和”如何引导出不同的积分值，这个对比的力度非常到位。此外，本书在介绍泛函分析的萌芽阶段——特别是巴拿赫空间和希尔伯特空间的基本性质时，处理得非常得体，它既没有过度沉溺于抽象的理论构建，又确保了读者能够理解这些空间在解决偏微分方程边界值问题中的核心作用。这是一部充满“匠人精神”的作品，每一个章节的组织都像是精密机械的齿轮咬合，严丝合缝。

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这部《Analysis II》的厚度光是捧在手里就让人感受到一种沉甸甸的学术重量。我刚翻开第一章，就被作者那严谨到近乎偏执的论证风格所折服。他对于极限的引入，不仅仅是数学上的定义，更像是一种哲学上的探讨，每一步的推导都像是精心雕琢的艺术品，让人不得不放慢阅读的速度，细细品味其中的精妙。书中对多元函数的连续性、偏导数的引入，以及随后的隐函数定理和反函数定理的阐述，逻辑链条之清晰，简直是教科书级别的典范。特别是当他开始讲解线积分和面积分时，那种将微积分从二维平面拓展到高维空间的震撼感，让人仿佛置身于一个全新的数学世界。作者对于向量场和格林公式、斯托克斯公式的阐述，不仅限于公式的堆砌，更深入挖掘了这些公式背后的几何直观意义，使得原本抽象的理论变得触手可及。这本书无疑是为那些真正想要深入理解微积分本质的人准备的，它要求读者具备极大的耐心和对数学美学的欣赏能力。每当我解开一个复杂的证明，那种豁然开朗的喜悦，是其他任何读物都难以比拟的。

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说实话，初读《Analysis II》的时候，我差点被它的开篇劝退。那种对拓扑学基本概念，比如开集、闭集、紧致性这些基础名词的详尽描述，对于一个自认为“数学还不错”的读者来说，显得有些拖沓。但随着阅读的深入，我逐渐明白，作者是在为后续的复杂理论打下无比坚实的地基。他对序列和函数的依次回敛、一致收敛的区分，简直是教科书级别的示范。尤其是在讨论傅里叶级数的收敛性时，那种对各个收敛标准的细致比较和批判，展现了作者深厚的功力。我记得有一次为了弄懂勒贝格积分与黎曼积分的差异，我反复阅读了书中关于“几乎处处”收敛的那一节，作者用极其精炼的语言，将两者的核心区别点明，避免了市面上许多教材中常见的含糊不清。这本书的习题设计也极其巧妙，它们不是简单的计算练习，而是对概念的深度检验。我光是思考其中几道关于等度连续性的题目，就花费了整整一个下午，但最终的收获是巨大的，它迫使我从不同的角度审视定义本身。

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