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出版者:清华大学出版社

作者:焦宝聪

出品人:

页数:279

译者:

出版时间:2008-8

价格:29.80元

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isbn号码:9787302177616

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泛函分析导论：从希尔伯特空间到算子理论 图书简介 本书旨在为数学专业学生、物理学家以及对现代数学结构有浓厚兴趣的读者，提供一套全面而深入的泛函分析基础知识体系。泛函分析作为连接经典分析、拓扑学和线性代数的桥梁，是现代数学许多分支（如偏微分方程、量子力学、概率论和调和分析）不可或缺的工具。本书的组织结构旨在从最直观的几何概念出发，逐步过渡到抽象的拓扑向量空间和算子理论的深层结构。 第一部分：度量空间与拓扑基础 本部分首先回顾了必要的集合论和拓扑学预备知识，重点强调了拓扑空间的性质在泛函分析中的核心地位。随后，我们引入了度量空间的概念，这是分析学中最基础的结构之一。我们将详细探讨完备性（Completeness）的重要性，并深入分析巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem），该定理不仅是求解微分方程、积分方程的有力工具，也是泛函分析中许多构造性证明的基石。 接着，我们构建了拓扑向量空间（Topological Vector Spaces, TVS）这一核心框架。我们将讨论不同类型的拓扑，如范数拓扑、赋范拓扑以及更一般的局部凸拓扑。局部凸性在分离定理和凸分析中扮演着关键角色。 第二部分：希尔伯特空间：几何与完备性 希尔伯特空间（Hilbert Spaces）是泛函分析的“欧几里得空间”的推广，其引入了内积的概念，从而赋予了空间丰富的几何结构（如长度、角度和正交性）。 本书将从内积空间（Inner Product Spaces）的定义开始，详述内积如何诱导出范数和拓扑。随后，我们将探讨完备的内积空间，即希尔伯特空间。我们详细分析了希尔伯特空间中的正交分解定理，这是理解投影算子的基础。Riesz 表示定理将在本章占据核心地位，它揭示了希尔伯特空间与其对偶空间之间的深刻联系。 几何结构在希尔伯特空间中得到了极致的体现。我们将讨论闭凸集上的投影定理，这在优化问题和变分原理中具有直接的应用价值。此外，我们还将引入Parseval 等式和Riesz-Fischer 定理，后者保证了 $L^2$ 空间（平方可积函数的空间）确实是一个希尔伯特空间，这对于傅里叶分析和量子力学中的波函数处理至关重要。 第三部分：有界线性算子与谱理论的开端 在希尔伯特空间上定义的线性算子（Linear Operators）构成了泛函分析的主要研究对象。本部分专注于有界线性算子（Bounded Linear Operators），它们是满足 Lipschitz 条件的算子，其有界性等价于连续性。 我们将深入研究算子范数的性质，并分析有界算子构成的有界算子代数 $mathcal{B}(H)$。本章的重点之一是算子的伴随算子（Adjoint Operator）的概念。伴随算子的定义及其在分析中的重要性——例如，自伴算子（Self-Adjoint Operators）与物理观测量的对应关系——将被细致阐述。 随后，本书将为谱理论（Spectral Theory）打下坚实的基础。我们将定义线性算子的谱（Spectrum），这是一个抽象的集合，它包含了所有使得 $(T - lambda I)$ 不可逆的复数 $lambda$。我们将首先分析有界算子（特别是紧算子）的谱结构，如其仅由特征值构成，并证明谱半径公式。 第四部分：不封闭的领域与塞莫斯定理 在实际应用中，许多重要的算子，如微分算子，其定义域往往不是全空间，而是稠密的子空间。本部分将处理未赋范线性算子（Unbounded Linear Operators）的情况。 我们引入稠密定义域（Dense Domain）的概念，并详细讨论如何定义无界算子的伴随。这里，对称性（Symmetry）和自伴性（Self-Adjointness）的定义变得更加微妙和关键。 Hellinger-Toeplitz 定理提供了有界算子的一个重要判据。更进一步，我们将介绍塞莫斯定理（Hellinger-Toeplitz Theorem）在无界算子背景下的应用，并探讨闭算子（Closed Operators）的重要性，因为它们是泛函分析中处理微分方程解的存在性和唯一性的自然框架。 第五部分：紧算子与谱理论的深化 紧算子（Compact Operators）是介于有限秩算子和一般有界算子之间的一类重要算子。它们在无限维空间中表现出许多类似于有限维矩阵的优良性质。 本章将详细分析紧算子的构造性定义，并证明紧算子作用于有界集时会“收缩”到零邻域的性质。我们将阐述Riesz 投影定理的结论，特别是对于紧算子，其谱（除零点外）仅由特征值构成，且这些特征值具有简单的代数和几何重数。 随后，我们将深入探讨希尔伯特-施密特积分方程的解的存在性与紧性。 第六部分：一般拓扑向量空间与分布论的引子 在最后一部分，我们将超越赋范空间，将视角扩展到更一般的拓扑向量空间（TVS）。我们将引入半范数（Seminorms）的概念，并使用Hahn-Banach 分离定理来证明关键结果，例如在局部凸空间中，线性泛函可以用超平面分离非交集的凸集。 强收敛、弱收敛与超弱收敛是理解无限维空间中收敛性的核心概念。我们将对比这些收敛模式的差异，并分析它们在算子理论中的重要性。 最后，本书将简要引入分布理论（Theory of Distributions）的概念，展示如何将经典微分运算推广到广义函数（分布），这为处理狄拉克 $delta$ 函数和解一般的偏微分方程提供了强大的解析框架。本书的结尾将回顾泛函分析在现代数学物理中的广泛影响。 本书力求在概念的严格性与清晰的几何直觉之间取得平衡，配有大量的例子和练习题，旨在帮助读者真正掌握这一强大数学工具的精髓。

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拿到这本《常微分方程》，我立刻被它所涵盖的广泛主题所吸引。作者在讲解过程中，非常注重理论与实践的结合，不仅仅是理论上的严谨，更是对实际问题的深入分析。我特别欣赏书中关于奇异摄动理论的阐述。作者通过生动的例子，解释了当方程中的某个参数变得非常小或非常大时，方程的解会发生怎样的变化，以及如何利用这个理论来近似求解这类方程。这让我对数学模型在描述跨尺度现象时的强大威力有了更直观的认识。书中对一些经典非线性方程的分析，如赫兹方程，也让我看到了数学在理解复杂物理现象中的重要作用。我曾经在一个秋天的傍晚，伴着炉火，反复研读书中关于奇点线性化方法的讲解，那过程充满了挑战，但也让我对非线性系统的局部行为有了更深的理解。这本书的语言风格也很独特，它既有学术的严谨，又不乏思维的灵动，有时候读着读着，甚至能感受到作者在探索这些数学真理时的那种沉醉和喜悦。我强烈推荐给所有对数学，特别是应用数学和系统科学有浓厚兴趣的读者，这本书绝对是你们的理想选择，它将为你们打开一扇通往更广阔数学世界的大门。

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我必须承认，这本《常微分方程》的出版，为我打开了一扇新的学习大门。作者在讲解关于振动理论和阻尼系统的数学建模时，表现出了非凡的深度和广度。他不仅仅是介绍了基本的二阶线性微分方程，更是深入探讨了各种阻尼形式，如粘滞阻尼、库仑阻尼和结构阻尼，以及它们对系统动态行为的影响。我尤其被书中关于共振现象的数学解释所吸引。作者用清晰的语言和严谨的数学推导，解释了当驱动力的频率接近系统的固有频率时，系统振幅会急剧增大的现象，以及如何利用这个理论来理解和避免共振带来的危害。这让我对数学模型在描述和预测物理现象中的强大威力有了更直观的认识。书中对一些经典工程问题的应用，如桥梁的振动分析，也让我看到了数学在解决实际工程挑战中的重要作用。我曾经在一个阳光明媚的早晨，坐在书桌前，跟随书中关于瑞利阻尼和洛伦兹阻尼的讲解，那过程充满了挑战，但也让我对系统的稳定性分析有了更深的理解。这本书的语言风格也非常独特，它既有学术的严谨，又不乏思维的灵动，有时候读着读着，甚至能感受到作者在探索这些数学真理时的那种沉醉和喜悦。我强烈推荐给所有对机械工程、结构动力学和振动控制感兴趣的学生和研究者，这本书无疑是你们工具箱里不可或缺的重要一员，它将帮助你们建立起坚实的理论基础，并为未来的研究打下坚实的基础。

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我必须说，这本《常微分方程》给我留下了极其深刻的印象。本书在讲解过程中，非常注重理论的系统性和逻辑性，每个定理的提出都有严密的证明，并且紧密联系实际应用，这使得我在学习过程中，不仅知其然，更知其所以然。我特别欣赏作者在处理奇点类型分类和稳定性判据时，所展现出的逻辑严密性。那些关于鞍点、节点、焦点以及极限环的讨论，通过细致的案例分析，让我对不同类型解的行为有了清晰的认识。书中的例题设计也十分巧妙，它们不仅能够帮助我巩固所学的概念，更能引导我去思考更深层次的问题。例如，在讲解边界层理论时，书中通过一个实际的物理问题，生动地展示了如何用数学模型来描述不同尺度下的现象，这让我对抽象的数学工具在解决现实世界问题中的强大威力有了更直观的感受。我曾经花了一个通宵，试图理解书中关于布尔-津格尔方程组的解法，起初觉得非常晦涩，但随着一步步跟着作者的推导，最终茅塞顿开，那种克服困难的成就感是无与伦比的。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的培养，它教会了我如何严谨地思考，如何系统地分析问题，以及如何从数学的角度去理解和解释世界。我强烈推荐给所有在数学领域深耕的学生和研究者，这本书无疑是你们工具箱里不可或缺的重要一员，它将帮助你们建立起坚实的理论基础，并为未来的研究打下坚实的基础。

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最近翻阅的《常微分方程》这本书，给我带来了许多意想不到的启发。书中的内容安排非常合理，从基础概念的介绍，到复杂定理的推导，再到实际应用的展示，都显得游刃有余。我特别喜欢作者在讲解定性分析方法时所展现出的洞察力。通过对相图的绘制和分析，我能够直观地理解系统的长期行为，例如吸引子的存在和稳定性。书中对一些经典生物数学模型，如捕食者-猎物模型，进行了深入的探讨，这让我看到了数学在理解生态系统动态方面的巨大潜力。我曾经在一个雨天的下午，静静地坐在窗边，跟随书中关于周期解的论证，那过程就像是在破解一个数学的密码，每一步的逻辑推理都让我更加确信其结论的正确性。这本书的语言风格也是一大亮点，它既有学术的严谨，又不乏人文的关怀，使得阅读过程充满了趣味性和探索性。我深深地体会到，学习数学不仅仅是记忆公式和定理，更是一种思维的训练和对世界理解的深化。我非常推荐这本书给任何对数学，特别是应用数学和动力学领域感兴趣的朋友，它将为你们提供一个全新的视角，让你们看到数学在解决现实问题中的无穷魅力。

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不得不说，《常微分方程》这本书的出现，极大地满足了我对数学理论深度探索的渴望。作者在叙述方法上，有一种独特的魅力，他能够将复杂的数学概念，通过层层递进的方式，引导读者逐渐深入。我对于书中关于解的存在唯一性定理的推导过程，印象尤为深刻。作者不仅仅是罗列公式，更是通过对函数性质的细致分析，一步步证明了在特定条件下，解的确定性。这种严谨的数学证明，让我对数学的严谨性和精确性有了更深刻的认识。此外，书中对一些典型方程组的分析，例如范德堡方程，让我看到了数学模型在描述实际物理现象时的强大能力。那些关于振动、阻尼和共振的讲解，通过直观的数学描述，让我能够更好地理解这些物理概念。我曾经在深夜，点着台灯，反复研读书中关于庞加莱-本迪克森定理的证明，那过程充满了挑战，但也让我对微分方程的全局理论有了更深的理解。这本书的语言风格非常独特，它既有学术的严谨，又不失思维的灵动，有时候读着读着，甚至能感受到作者在探索这些数学真理时的那种沉醉和喜悦。我强烈推荐给那些对数学理论，特别是动力学系统和非线性分析有浓厚兴趣的读者，这本书绝对是你们的理想选择，它将为你们打开一扇通往更广阔数学世界的大门。

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这本《常微分方程》的阅读体验，可以说是一次数学思维的深度旅行。作者在介绍边界层理论时，所展现的数学智慧令人赞叹。他不仅仅是罗列公式，更是通过对问题根源的深入剖析，揭示了在不同尺度下，方程解的结构会发生怎样的变化，以及如何利用渐近分析的方法来获得近似解。我尤其喜欢书中关于边界层方程的构建和求解过程。作者用清晰的语言和严谨的数学推导，解释了如何识别并处理方程中的小参数，以及如何通过匹配不同区域的解来获得全局的近似解。这让我对数学模型在描述宏观和微观现象之间的联系方面有了更深刻的理解。书中对一些经典物理问题的应用，如薄翼理论，也让我看到了数学在解决实际工程挑战中的重要作用。我曾经在一个细雨绵绵的夜晚，伴着咖啡，反复研读书中关于匹配渐近展开的讲解，那过程充满了挑战，但也让我对数学建模的精妙之处有了更深的领悟。这本书的语言风格也非常独特，它既有学术的严谨，又不乏思维的灵动，有时候读着读着，甚至能感受到作者在探索这些数学真理时的那种沉醉和喜悦。我强烈推荐给所有对数学建模、流体力学和航空航天工程感兴趣的读者，这本书绝对是你们的理想选择，它将为你们提供一个全新的视角，让你们看到数学在解决复杂工程问题中的无穷魅力。

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我必须说，《常微分方程》这本书是一本令人惊叹的著作。作者在讲解拉普拉斯变换和傅里叶变换在求解微分方程中的应用时，展现了非凡的技巧。他不仅仅是介绍了这两种变换的数学性质，更是通过大量的例子，展示了它们如何能够将复杂的微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。我尤其被书中关于瞬态响应和稳态响应的分析所吸引。作者用清晰的语言和严谨的数学推导，解释了如何利用这些变换来理解系统的动态特性，以及如何通过分析频率响应来设计和优化系统。这让我对数学工具在工程应用中的强大威力有了更直观的认识。书中对一些经典控制系统的分析，如振荡电路，也让我看到了数学在理解复杂工程现象中的重要作用。我曾经在一个晴朗的春日，坐在公园的长椅上，跟随书中关于传递函数和频率响应的讲解，那过程充满了挑战，但也让我对系统的行为有了更深的理解。这本书的语言风格也非常独特，它既有学术的严谨，又不乏思维的灵动，有时候读着读着，甚至能感受到作者在探索这些数学真理时的那种沉醉和喜悦。我强烈推荐给所有在工程、信号处理和控制理论领域学习的学生和从业者，这本书无疑是你们工具箱里不可或缺的重要一员，它将帮助你们建立起坚实的理论基础，并为未来的研究打下坚实的基础。

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这本《常微分方程》真的是我近期阅读中最令人惊喜的一本书了。一开始抱着了解基础知识的心态翻开，没想到一下子就被它严谨而又富有启发性的内容所吸引。作者在处理方程组的稳定性分析时，简直是庖丁解牛，将那些看似复杂而抽象的概念，通过清晰的数学推导和直观的几何解释，一一呈现。我尤其喜欢其中关于相平面分析的部分，那些轨迹图的绘制和解读，让我仿佛能“看到”方程的动态演化过程，理解了为什么某些系统会趋于平衡，某些系统又会陷入周期性的震荡。书中对一些经典方程，比如洛伦兹吸引子和Lotka-Volterra模型，也做了深入的剖析，不仅仅是给出了公式，更是探讨了它们在物理、生物等领域中的实际应用和理论意义。我曾一度觉得微积分和线性代数已经是数学的巅峰，但这本书的出现，让我看到了一个更加广阔的数学世界，它连接了抽象的数学理论和生动的现实世界，让我对数学的理解上升到了一个新的层次。我曾在一个午后，泡上一杯热茶，就着午后的阳光，沉浸在书中对奇异摄动的讲解中，那感觉就像是在解开一个精妙的谜题，每一步的推导都带来豁然开朗的喜悦。这本书的语言风格也很独特，它不像有些教材那样枯燥乏味，而是充满了作者对数学的热情，有时候读着读着，甚至能感受到作者在写下这些文字时，那种思考的痕迹和探索的乐趣。我强烈推荐给任何对数学，尤其是动力系统和非线性科学感兴趣的朋友，这本书绝对会给你带来不一样的视角和深刻的启发，它不仅仅是一本书，更像是一扇通往新世界的大门，等待你去探索。

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这本《常微分方程》是我近期阅读中，最为受益的一本书。作者在处理微分方程的解的性质分析时，展现了非凡的洞察力。他不仅仅是介绍了各种解的存在性定理，更是深入分析了解的连续依赖性、可微性以及解的全局行为。我特别喜欢书中关于李apunov稳定性理论的阐述。作者用清晰的语言和严谨的数学推导，解释了如何利用李apunov函数来判断系统的稳定性，以及如何在没有显式解的情况下分析系统的长期行为。这让我对数学模型在预测系统演化方向时的强大威力有了更直观的认识。书中对一些经典动力学系统的分析，如振子系统，也让我看到了数学在理解复杂物理现象中的重要作用。我曾经在一个寒冷的冬夜，披着毯子，跟随书中关于能量守恒和耗散系统的论证，那过程充满了挑战，但也让我对系统的整体行为有了更深的理解。这本书的语言风格也非常独特，它既有学术的严谨，又不乏思维的灵动，有时候读着读着，甚至能感受到作者在探索这些数学真理时的那种沉醉和喜悦。我强烈推荐给所有对数学，特别是动力学系统和控制理论有浓厚兴趣的读者，这本书绝对是你们的理想选择，它将为你们提供一个全新的视角，让你们看到数学在解决现实问题中的无穷魅力。

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我必须承认，《常微分方程》这本书的质量远超我的预期。作者在处理偏微分方程的数值解法方面，展现了非凡的功力。他不仅仅是介绍了各种数值方法，如有限差分法和有限元法，更是深入分析了它们的收敛性、稳定性和精度，并且通过详细的算例，展示了这些方法的实际应用。我尤其被书中关于初值问题和边值问题的数值求解策略所吸引。作者用清晰的语言和严谨的数学推导，解释了每种方法的优缺点，以及在不同场景下的适用性。我曾经花了一个周末，跟着书中关于龙格-库塔方法的推导，那过程既有挑战性，又充满了乐趣，最终我能够理解不同阶数的龙格-库塔方法的精度差异和稳定性条件。这本书的语言风格非常独特，它既有学术的严谨，又不乏思维的灵动，有时候读着读着，甚至能感受到作者在探索这些数学真理时的那种沉醉和喜悦。我强烈推荐给所有在数值分析和科学计算领域深耕的学生和研究者，这本书无疑是你们工具箱里不可或缺的重要一员，它将帮助你们建立起坚实的理论基础，并为未来的研究打下坚实的基础。

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还不错。微分方程组我觉得最难了。

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教材，凑合看

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