Numerical Analysis and Scientific Computation pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Addison Wesley

作者:Jeffery J. Leader

出品人:

页数:608

译者:

出版时间:2004-02-15

价格:USD 124.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780201734997

丛书系列:

图书标签:

• 科学技术
• Numerical Analysis
• Scientific Computation
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《几何动力学：理论与应用》 内容概要： 本书深入探讨了经典和现代几何动力学领域的核心概念、理论框架和实际应用。全书结构严谨，内容涵盖从基础的微分几何、李群到复杂的动力学系统、混沌理论等前沿课题。旨在为读者构建一个全面、深入的理解，使其能够掌握分析和解决复杂物理与工程问题所需的数学工具和物理直觉。 第一部分：基础数学工具与几何背景 本书的开篇聚焦于建立进行几何动力学分析所需的坚实数学基础。 第一章：微分流形与张量分析 本章详细介绍了微分流形的严格定义、拓扑结构，以及切空间、切丛和余切丛的概念。我们探讨了光滑函数、向量场和微分形式的结构，并引入了外微分、楔积和德拉姆上同调等关键工具。张量场，特别是度规张量和黎曼曲率张量，被引入作为描述空间几何特性的基础。通过具体的例子，如球面和环面，读者将掌握如何在非欧空间中进行微积分运算。重点将放在理解曲率如何影响测地线的行为。 第二章：李群、李代数与对称性 本章转向对称性的数学结构。李群作为光滑群的代表，在物理学中扮演着至关重要的角色（如洛伦兹群、庞加莱群）。我们详细分析了李代数作为李群在单位元处的线性化，包括指数映射和对数映射。李括号的 Jacobi 恒等式和结构常数的物理意义被深入剖析。本章还将介绍齐性空间的概念，以及如何利用 Killing 向量场来识别和量化系统的对称性，这直接关联到守恒量。 第三章：辛几何与泊松结构 动力学系统通常在相空间中描述，而泊松括号是描述相空间时间演化的核心结构。本章介绍了辛流形、辛形式和刘维尔定理。泊松括号的代数性质——反对称性、双线性性和雅可比恒等式——被证明是演化方程的直接来源。我们将探讨如何将哈密顿函数与泊松结构结合起来，形成哈密顿方程，并讨论可积系统（如 Liouville-Arnold 定理）的几何特征。 第二部分：经典与规范动力学 本部分将理论工具应用于经典的力学和场论框架。 第四章：哈密顿力学与正则变换 基于前面对辛几何的建立，本章深入研究哈密顿力学。我们详细推导了哈密顿-雅可比方程和泊松方程。正则变换的理论被系统地阐述，包括生成函数的构造及其在坐标变换中的应用。本章还探讨了守恒量、生成函数与泊松括号的关系，以及如何利用变分原理（拉格朗日力学）与哈密顿力学之间的联系。 第五章：摄动理论与规范场 对于非可积系统，解析解往往难以获得，因此摄动理论至关重要。本章介绍不同类型的摄动方法，包括庞加莱-林德斯特洛姆方法和平均场理论。在规范理论方面，我们将探讨规范不变性在经典力学中的体现，包括电磁场中的规范势以及与之相关的动量和能量守恒。 第六章：连续介质的几何描述 本章将几何动力学的思想扩展到无穷维空间。我们使用微分几何的语言描述流体力学（如欧拉方程、纳维-斯托克斯方程）。流体的运动被视为在某些函数空间上的流，其中速度场构成一个向量场。我们将探讨动量方程中的压力项的几何起源，并讨论等温流和绝热流的几何特征。 第三部分：非线性动力学与混沌 本部分是全书的核心，关注复杂系统的行为和拓扑结构。 第七章：相空间分析与稳定性理论 本章聚焦于系统平衡点和周期轨道的局部稳定性分析。我们使用线性化技术，分析雅可比矩阵的特征值来区分鞍点、节点、焦点和中心。Poincaré-Dulac 展开式被引入，用于分析非线性项对局部动力学的影响。本章还将介绍 Floquet 理论在分析线性化周期系统中的应用。 第八章：庞加莱截面与周期轨道 对于高维系统，直接分析相空间十分困难。庞加莱截面提供了一种降维的有效方法，用于研究周期解和准周期解。我们将探讨如何通过构造庞加莱映射（Poincaré Map）来分析系统的离散动力学。关键概念如椭圆固定点、双曲固定点和牛顿-狄里克雷判据将在本章中得到详细阐述。 第九章：混沌的几何特征 混沌系统具有对初始条件敏感的特性。本章从几何上刻画混沌。我们引入了 Lyapunov 指数来量化相空间中轨迹的发散率。混沌的吸引子，如奇异吸引子（例如 Lorenz 吸引子），被视为具有分形维度的几何对象。我们探讨了拓扑熵和拓扑混合性在识别混沌行为中的作用。 第十章：拓扑共轭与不变测度 本章深入探讨拓扑动力学。两个动力学系统如果存在一个保持时间演化的同胚映射，则称它们是拓扑共轭的。我们讨论了 Sharkovsky 定理在一维系统中的重要性。此外，本章还引入了遍历理论，侧重于不变测度的概念，这是连接概率论与动力学系统的桥梁，对于理解长时间平均行为至关重要。 结论与展望 本书最后总结了几何动力学在现代科学中的广泛应用，包括广义相对论中的轨道、量子场论中的规范理论、以及宏观气候模型中的不稳定性分析。未来的研究方向，如神经动力学和复杂网络中的同步现象，也将被简要提及，鼓励读者将所学知识应用于开放性问题。 --- 本书适合作为高年级本科生、研究生以及从事理论物理、应用数学和工程控制领域研究人员的教材或参考书。读者需要具备扎实的经典力学、微积分和线性代数基础。

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坦白说，这本书在某些章节的组织上略显跳跃，尤其是在从连续数学模型过渡到离散化算法时，中间的逻辑衔接有时需要读者自己去填补空白。比如，在介绍迭代求解大型稀疏线性系统时，作者似乎对预处理技术的讨论略显保守和简略，使得初学者在面对实际的大规模工程问题时，会感觉理论与实践之间存在一道鸿沟。虽然理论基础打得非常扎实，但对于现代科学计算中常见的并行化策略、高性能计算环境下的内存管理和缓存优化等前沿话题，这本书的覆盖面相对较弱，给人一种“经典但略微陈旧”的印象。总的来说，它更像是为未来的研究者而非即时的应用工程师量身定做的一本教材，其重点在于奠定坚实的理论基石，而非提供一套最新的“即插即用”的计算工具箱。对于那些旨在继续深造，攻读研究生甚至博士学位的读者来说，这本书无疑是极佳的理论准备，但若仅仅是为了满足日常工程项目的快速需求，或许需要辅以其他更侧重实践和软件实现的参考资料进行补充。

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这本书的价值在于其对“计算”这一行为的深刻哲学探讨，它超越了一般的“如何计算”的范畴，更进一步追问了“我们能计算什么”以及“如何可靠地计算”。在涉及偏微分方程数值解的部分，特别是有限差分法和有限元法的介绍中，作者并没有急于给出可以直接套用的代码模板，而是花了大量的篇幅去构建基函数空间、推导变分原理，这显示了作者对于计算科学根基的深度敬畏。这种从物理或数学建模的底层逻辑出发，层层递进到具体数值算法的设计，极大地培养了我一种批判性的视角——即不盲目信任任何现成的数值软件的输出结果。通过这本书，我学会了在应用数值方法时，不仅要看结果是否收敛，更要审视其背后的离散化误差、截断误差以及网格质量对最终解的影响，这是一种宝贵的思维训练，是任何速成课程都无法提供的深度洞察。

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从排版和语言风格来看，这本书的“学术气息”非常浓重，甚至可以说有些古板。整本书的配图数量相对较少，而且即便是有限的图示，也大多是功能性的、用于辅助理解公式推导的，而非那种赏心悦目或色彩鲜艳的示意图。这种极简主义的呈现方式，无疑更加凸显了文字和数学符号本身的力量，但对于那些习惯了视觉化学习的新一代读者来说，阅读体验可能会显得有些单调乏味。作者的叙事节奏非常紧凑，几乎没有冗余的解释或生活化的比喻来“软化”复杂的概念。每一个定理的陈述都力求简洁、精确和完备，这无疑是其严谨性的体现，但也要求读者必须具备极高的专注度才能跟上作者的思路。如果你期望在阅读过程中找到轻松的拐点或者可以稍作喘息的例子，那么这本书恐怕会让你失望。它要求读者以一种近乎于“硬碰硬”的态度去面对每一个章节，其阅读过程更像是一场智力上的马拉松，而不是一次轻松的知识漫步。

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这本书的结构安排颇具匠心，尤其是在处理误差分析和稳定性问题时，作者展现出了非凡的洞察力。不同于市面上很多教材将误差分析作为附录或简单带过，本书将其融入了每个核心算法的讲解之中，使得读者能够清楚地认识到，每一种数值方法都不是完美的“黑箱”，而是存在内在的局限性和潜在的灾难性后果。例如，在讨论拉格朗日插值和分段三次样条插值时，作者不仅给出了公式，更深入剖析了Runge现象是如何在特定节点分布下将误差无限放大的，这种“防患于未然”的教育方式极大地提高了我的警惕性。这种对数值稳定性的执着追求，使得本书在构建鲁棒的计算模型时，提供了坚实的理论基础。我个人认为，这本书最出彩的部分在于它对病态矩阵处理的章节，它没有满足于仅仅提及条件数的概念，而是通过构造具体的例子，直观地展示了信息在计算过程中如何被不可逆地扭曲，这对于任何从事科学模拟和数据分析工作的人来说，都是至关重要的实战经验，值得反复研读。

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这本《数值分析与科学计算》实在是一本让人又爱又恨的教科书。初次翻开时，那种厚重感和密密麻麻的公式符号就足以让很多初学者望而却步。它毫不留情地将读者抛入了高维线性代数和迭代算法的深海之中，对基础概念的介绍也显得极其精炼，似乎默认读者已经对微积分和线性代数有相当的掌握。我记得第一次尝试理解牛顿法在多变量优化中的应用时，光是推导收敛性的那个 $epsilon$ 邻域的描述，就让我反复琢磨了好几天。书中的习题设计得相当“硬核”，很多题目不是简单地套用公式，而是要求你深入理解算法背后的数学原理，甚至需要自己动手编写一些低阶的程序来验证理论结果。对于那些渴望真正掌握数值计算精髓，而非仅仅停留在表面应用的学生来说，这种深度绝对是财富。然而，对于工程背景较强，更侧重于“如何快速解决实际问题”的读者而言，这本书的理论深度可能会成为一个巨大的障碍，阅读过程的体验更像是在攀登一座没有过多植被覆盖的陡峭山峰，每一步都需要极大的专注和毅力。它更像是一部工具书，而非轻松的入门读物，需要读者投入大量的时间和精力去消化那些抽象而严谨的数学结构。

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