Computational Techniques for the Summation of Series pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Sofo, Anthony

出品人:

页数:189

译者:

出版时间:2003-11

价格:$ 190.97

装帧:

isbn号码:9780306478055

丛书系列:

图书标签:

• 数值分析
• 级数求和
• 计算方法
• 科学计算
• 数学软件
• 算法
• 误差分析
• 数值积分
• 高等数学
• 计算机科学

《数值方法在连加计算中的应用》 本书深入探讨了在科学研究和工程实践中，处理级数求和问题的各种数值算法和技术。级数求和是数学中一个基础且应用广泛的领域，从解析力学到量子场论，从信号处理到金融建模，几乎无处不在。然而，许多级数在数学上难以精确求解，或者其解析表达式过于复杂，此时就需要借助于数值方法来获得近似解。本书旨在为读者提供一套全面的工具箱，以应对各种挑战性的级数求和任务。 第一章：数值分析基础回顾 在深入探讨级数求和的具体技术之前，本章首先回顾数值分析中的基本概念和工具。我们将讨论数字表示、舍入误差、截断误差以及它们如何影响数值计算的精度。误差传播和误差分析是贯穿全书的关键主题，因此在这里进行详细阐述。此外，还将介绍一些基本的数学工具，如泰勒展开、多项式插值和逼近，这些都为后续的级数求和方法奠定了基础。通过这一章的学习，读者能够更好地理解数值方法的局限性，并为评估结果的可靠性打下基础。 第二章：直接求和方法与收敛性加速 本章将介绍最直接的级数求和方法，即直接截断求和。虽然简单，但对于收敛缓慢的级数，这种方法效率低下且误差较大。因此，本章将重点介绍各种收敛加速技术。我们将详细讲解 Aitken 差分法、Richardson 外插法以及 Shanks 变换等经典方法，并分析它们在不同类型级数上的适用性和局限性。此外，还会介绍一些现代的加速技术，如 epsilon 算法和 delta 算法，并通过具体的例子展示它们如何显著提高计算速度和精度。 第三章：级数求和的积分近似方法 对于某些积分形式可以表示的级数，积分方法提供了一种有效的近似手段。本章将介绍使用数值积分技术来逼近级数和。我们将回顾梯形法则、辛普森法则等基本数值积分方法，并探讨如何将它们应用于级数的求和。此外，还会介绍更高级的积分方法，如高斯-勒让德积分，并分析其在级数求和中的优势。本章还将讨论积分判别法在判断级数收敛性方面的作用，以及如何利用积分的性质来估计级数的和。 第四章：差分方程与生成函数在级数求和中的应用 许多级数可以通过差分方程或生成函数来表示。本章将探讨如何利用这些数学工具来求解级数。我们将介绍如何将级数转化为差分方程，并讨论求解线性常系数差分方程的各种方法，包括迭代法、特征方程法等。生成函数作为一种强大的代数工具，能够巧妙地将级数与多项式或幂级数联系起来，本章将详细讲解如何构造和利用生成函数来推导级数的封闭形式或近似和。通过本章的学习，读者将能够从新的角度理解级数结构，并掌握更具解析性的求和技巧。 第五章：级数求和的傅里叶分析方法 傅里叶分析在处理周期性或接近周期性的级数时具有独特的优势。本章将介绍如何利用傅里叶级数和离散傅里叶变换（DFT）来求解特定类型的级数。我们将探讨如何将级数与傅里叶级数展开联系起来，并利用傅里叶变换的性质来简化求和过程。此外，还将讨论快速傅里叶变换（FFT）算法在加速DFT计算方面的巨大作用。本章将通过具体的工程和物理问题，展示傅里叶分析方法在信号处理、图像处理等领域的实际应用。 第六章：随机模拟方法在级数求和中的应用 当解析方法和确定性数值方法难以奏效时，随机模拟（蒙特卡洛方法）提供了一种通用的解决方案。本章将介绍如何利用随机抽样和统计方法来估计级数的和。我们将详细讲解基于随机游走、重要性采样等蒙特卡洛技术在级数求和中的具体实现。本章将重点关注如何设计有效的抽样方案，以降低方差，提高估计的精度。通过本章的学习，读者将掌握一种灵活且强大的工具，能够处理那些难以用传统方法求解的复杂级数。 第七章：特殊函数与级数 许多重要的级数都可以通过特殊函数（如贝塞尔函数、伽马函数、超几何函数等）的级数展开式来表示。本章将深入探讨这些特殊函数与级数之间的联系，并介绍如何利用特殊函数的性质和已有的数值算法来计算和分析这些级数。我们将介绍一些常用的特殊函数级数，并讲解如何利用数值库中已有的特殊函数计算函数来高效地求和。此外，还将讨论如何利用特殊函数的积分表示和渐近展开来获得级数的近似和。 第八章：级数求和的现代算法与软件实现 本章将介绍一些近年来发展起来的更高级的级数求和算法，例如基于线性代数的方法、迭代求解器以及高精度算术技术。我们将讨论如何利用矩阵分解、特征值分解等线性代数技术来加速级数的求和。此外，还会介绍现代数值计算库（如 NumPy, SciPy, MATLAB 等）在实现级数求和算法中的应用，并提供一些代码示例，帮助读者将理论知识转化为实际的计算程序。本章还将探讨在处理大规模级数时，并行计算和GPU加速的潜力。 第九章：实际应用案例分析 为了巩固所学知识，本章将通过多个来自不同领域的实际应用案例来展示级数求和技术的重要性。我们将分析在物理学（如量子力学中的薛定谔方程求解、统计物理中的配分函数计算）、工程学（如有限元分析中的矩阵求和、电路分析中的暂态响应）、计算机科学（如算法复杂度分析、概率模型）和金融学（如期权定价模型）等领域中，级数求和是如何被有效地解决的。每个案例都将详细说明问题背景、所适用的数值方法以及计算结果的解释。 第十章：误差控制与精度评估 在进行任何数值计算时，对误差的理解和控制至关重要。本章将回归到误差分析的主题，并深入探讨如何有效地控制级数求和过程中的误差。我们将介绍自适应算法、收敛准则的设置以及如何根据实际应用的要求选择合适的精度。此外，还将讨论如何通过交叉验证、与解析解（如果存在）进行比较等方法来评估数值结果的可靠性。本章旨在培养读者严谨的科学态度，确保所获得的级数和具有足够的精度和可信度。 通过对本书内容的全面学习，读者将能够掌握一系列强大的数值工具和技术，自信地应对各种级数求和的挑战，无论是在理论研究还是实际工程应用中，都能够更有效地解决问题，并获得精确可靠的计算结果。

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这本《计算级数求和技术》（Computational Techniques for the Summation of Series）的书籍，从书名上看，我原本期待能深入了解现代数值分析和计算机科学在处理复杂级数求和问题上的前沿进展。然而，实际阅读后，我发现它在很多我关心的领域——比如对高精度浮点运算在处理发散级数时的鲁棒性分析，或者面向GPU并行计算的优化算法设计——几乎没有涉及。书中大量篇幅被分配给了那些经典的、基于泰勒展开或傅里叶分析的解析方法，这些内容在本科阶段的数学分析课程中就已经相当熟悉了。我希望看到的是如何利用现代的软件库，例如Python的SciPy或Julia的包，来实现这些方法的快速原型构建和性能评估。这本书更像是对十九世纪末二十世纪初数学家工作的梳理，而非一本面向当代计算科学家的工具书。对于一个寻求提升实际编程能力和算法效率的读者来说，它提供的直接帮助有限，更偏向于理论的深度挖掘，但这种深度挖掘似乎并没有与现代计算环境的需求有效结合起来。如果你的目标是扎实的数学基础回顾，也许可以考虑，但若想解决实际工程中的大规模求和难题，恐怕需要另辟蹊径。

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这本书的排版和术语选择，让我感觉仿佛穿越回了上世纪七八十年代的教科书。尽管内容本身可能具有一定的经典价值，但缺乏现代教材应有的清晰度和可视化辅助。例如，在讨论到积分变换与级数求和的联系时，如果能配以直观的图形来展示不同域之间的映射关系，将能极大地帮助读者理解抽象的概念。遗憾的是，书中充斥着大量的符号推导，缺乏足够的案例研究来佐证理论的实际应用场景。我尝试着将书中的某些章节内容应用到一个涉及物理模拟中的边界条件求解问题上，结果发现，书中所提供的解析解公式在实际输入参数的范围下，极易导致中间步骤的数值不稳定。这表明，作者在构建理论框架时，可能没有充分考虑到现实世界数据固有的噪声和不精确性，使得这本书在“应用”层面上显得有些力不从心。它更像是一个纯粹的数学工具箱，但里面的工具大多需要读者自己进行大量的“打磨”和“适配”才能投入使用。

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购买这本书之前，我曾希望能找到一本能系统阐述如何利用高级数学工具（如特殊函数理论）来简化原本复杂的级数求和过程的参考书。这本书确实涵盖了一些特殊函数，比如黎曼ζ函数或贝塞尔函数相关的求和公式，但这部分内容显得像是附录性质的知识点罗列，缺乏将它们融入到通用求和框架中的指导思想。更让我感到不解的是，在处理快速傅里叶变换（FFT）在周期性序列求和中的应用潜力时，作者选择避开，转而使用效率远低于FFT的直接离散求和法。这种对已知高效计算工具的明显忽视，极大地削弱了本书在“计算技术”方面的说服力。这本书更像是一本将经典解析技巧进行汇编的参考书，它详尽地展示了许多古典的技巧，但在将这些技巧转化为与现代计算架构和效率要求相匹配的“技术”层面，我认为它未能达到一个前沿读物应有的水准。

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坦白说，我对于这本书的期望值是建立在“计算”这个词上的，我希望看到的是一个关于“如何用计算机解决问题”的指南。但通读下来，我发现“计算”在书中的含义似乎仅仅局限于符号代换和形式推导，而非现代意义上的数值计算和算法实现。书中对于如何选择最优的求和顺序以最小化舍入误差的讨论非常简略，这在处理需要累加数千甚至数万项的级数时是至关重要的性能瓶颈。此外，对于如何利用现代编程范式（如函数式编程中的归约操作）来优雅地实现这些求和算法，本书完全没有触及。我的感觉是，这本书的作者似乎假设读者已经拥有了一套成熟的数值分析基础，并仅将重点放在了级数收敛性质的特定方面。对于初学者或者希望快速掌握实用技巧的读者而言，这本书的门槛设置得过高，知识的组织结构也显得有些零散，不像是一本结构清晰的“技术手册”。

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当我翻开这本书时，立刻感受到了一种厚重的学术气息，它似乎将所有的笔墨都聚焦在了理论的严谨性上，这对于追求“完美”数学证明的人来说或许是福音。然而，作为一名主要在工业界工作的工程师，我最看重的是算法的可操作性和效率的权衡。书中对某些收敛性测试的详细推导占据了大量的篇幅，但这些推导过程对于我日常工作中遇到的那些“不那么理想”的级数——那些收敛速度极慢、或者在特定参数范围内表现出奇异行为的级数——提供的指导却寥寥无几。我期待看到更多关于“启发式”算法的讨论，即如何在有限的计算资源和可接受的误差范围内，快速找到一个近似解的策略。例如，对于那些需要进行迭代求和的情况，书中关于迭代次数和误差界限的估计显得过于保守和理论化，缺乏将这些理论转化为实际代码中有效参数设置的桥梁。总而言之，这本书更像是一部数学专著，它详尽地描绘了“为什么”某些方法有效，但对于“如何”在高要求的计算环境中高效地应用它们，却着墨不多。

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