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出版者:Nova Science Publishers

作者:J. C. Rosales

出品人:

页数:185

译者:

出版时间:1999-06

价格:USD 115.00

装帧:Library Binding

isbn号码:9781560726708

丛书系列:

图书标签:

• commutative monoids
• finitely generated
• algebraic combinatorics
• monoid algebras
• semigroups
• ideal theory
• representation theory
• tropical geometry
• non-negative integers
• combinatorial algebra

好的，这是一本关于非有限生成、非交换半群的著作的详细简介，它专注于探讨这些结构在代数、几何和数论中的应用，同时避免涉及有限生成交换半群的经典主题。 --- 抽象代数新境：非交换、非有限生成半群的结构与应用 导言：超越经典框架的探索 本书旨在为读者提供一个深入研究非交换（non-commutative）且非有限生成（non-finitely generated）的半群理论的视角。传统代数领域，尤其是在表示论和组合学中，大量文献集中于有限生成阿贝尔（交换）半群，因为它们与数论中的理想、环论中的模等概念紧密相连。然而，当我们将目光转向那些结构更为复杂、生成元个数不受限制且运算不满足交换律的半群时，我们进入了一个充满挑战与机遇的新领域。 本书的出发点是承认“无限”在代数结构中的内在重要性。我们不再假设任何有限的生成集合存在，而是直接面对由无限集合生成，或其自由度无穷的半群。这种视角的转变要求我们采用新的工具——比如某些类型的极限理论、谱序列以及更精细的范畴结构——来刻画这些对象的内部组织。 第一部分：非交换半群的结构基础与无限生成性 第一章：半群的自由度与自由对象 本章首先回顾半群的基本定义，随后立即转向讨论自由半群的概念，但侧重于其非有限生成的特例。我们探讨了如何利用自由积和直积的推广来构造具有特定无限生成属性的半群。重点关注如何使用无限集合 $X$ 构造自由半群 $langle X angle$，以及如何通过特定的关系来“收缩”这个自由结构，但确保最终结构仍保持无限生成。 我们引入了词问题（Word Problem）的无限版本：判断一个无限长度的词是否可以被既定关系简化为另一个词的判定难度，这与有限生成情形下的经典问题有着本质的区别。 第二章：扩张、限制与逆极限 对于非有限生成半群，传统的上同调（Cohomology）和同构（Isomorphism）研究往往难以进行。本章的核心在于发展逆极限（Inverse Limits）和范畴极限（Categorical Limits）作为研究工具。 我们构造了一个序列 ${S_i}_{i in mathbb{N}}$，其中 $S_i$ 是 $S$ 的某个有限生成子半群的商，并研究这些子结构的逆极限如何重构 $S$ 的全局拓扑和代数性质。特别地，我们分析了拓扑半群中，一个紧凑（compact）但非有限生成（non-finitely generated）的结构如何通过其开（或闭）子集序列来逼近其整体形态。 第三章：结构理论的替代方案：正则性和对偶性 经典的阿特金-利特尔伍德（Atkin-Littlewood）理论在交换半群中提供了强大工具。对于非交换、非有限生成半群，我们转向关注正则性（Regularity）的更广泛概念。本章深入探讨完全正则半群（Regular Semigroups）和带（Bands）在无限情况下的行为。 我们引入了“渐近正则性（Asymptotic Regularity）”的概念，即序列的元素逐渐接近一个正则元素，并研究这种渐近行为如何与半群的幂等元（Idempotents）集合的结构相关联。此外，我们探讨了对偶性（Duality）：如何通过对操作符的重新定义，将一个非交换的半群 $S$ 映射到一个其结构性质更容易被理解的“对偶”结构 $S^$，即使 $S$ 仍是非有限生成的。 第二部分：在几何与拓扑中的应用 第四章：无限图上的路径半群 半群理论与图论的交叉点常常涉及路径结构。本章聚焦于无限图（Infinite Graphs）上的路径半群。我们考虑由无限边集和顶点集定义的图 $G$，并定义其路径半群 $P(G)$，其中乘法表示路径的串联。 我们特别关注非局部有限（Not Locally Finite）的图，例如某些分形结构图或无限树。在这种情况下，路径半群通常是无限生成的。本章分析了该半群的左零（Left Zero）和右零（Right Zero）子半群的结构，以及如何利用布鲁尔-蒂茨定理（Thue-Morse-like structures）的推广来描述这些路径的周期性。 第五章：群论的影子：扭曲与作用 非交换半群的关键在于“扭曲”（Torsion）和不满足交换律的元素关系。本章研究半群作为群的推广所扮演的角色，特别是当半群“部分地”是群时。 我们分析了半群在集合上的作用（Semigroup Actions on Sets）。当作用的集合是无限的，且作用本身不是通过有限的生成变换来描述时，如何通过稳定子群（Stabilizers）的无限族来刻画整个半群的作用？我们引入了扭曲群（Torsion Groups）的半群类比，并利用群与群之间的同态（Homomorphisms between Groups）的概念来分析半群的局部群结构。 第六章：数论与动力系统中的应用 本书的最后一部分将视角投向了更具体的应用领域。在数论中，我们探索非有限生成代数在加性组合（Additive Combinatorics）中的角色，特别是涉及无限集合的模运算和分布问题。 在动力系统中，我们考察由无限状态空间定义的冯·诺依曼（von Neumann）或细胞自动机（Cellular Automata）的演化规则。这些规则通常形成一个非交换的半群，其生成集合是无穷的。我们利用熵理论（Entropy Theory）的推广，来量化这些无限演化过程的复杂性，而非依赖于传统的有限状态空间下的度量。 结论：面向未来的挑战 本书的结构旨在证明，非有限生成和非交换的半群不仅是抽象的代数构造，它们在描述复杂系统和无限结构时具有不可替代的价值。尽管我们避免了有限生成交换半群的经典结果，但我们所建立的理论框架为未来研究无限代数结构（如某些无限环、非交换代数中的特定理想结构）提供了坚实的代数基础。本书对那些致力于拓展代数边界、探索无限复杂性深度的研究者具有重要参考意义。

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这本书的章节安排非常合理，每一章都承接上一章的内容，并且逐步深入到更复杂的理论。作者在每一章的开头都会概述本章的学习目标，并在结尾进行总结，这使得我的学习过程非常有条理。我发现在阅读有关幺半群的同态和胚时，作者的解释尤为清晰。他通过具体的例子，展示了如何构建幺半群的同态，以及同态如何保持幺半群的结构。这对于理解幺半群之间的关系以及幺半群的分类至关重要。我尤其欣赏作者在介绍环论中的一些概念时，如何将其与幺半群的理论巧妙地联系起来。虽然本书的重点是交换幺半群，但作者并没有回避它们与更广泛代数结构的联系，这使得本书的视野更加开阔。我在阅读关于幺半群的表示定理时，深感作者的功力。他不仅展示了如何用生成元和关系来表示幺半群，还讨论了表示的唯一性问题。这为理解幺半群的本质提供了一种非常有用的视角。这本书让我明白，即使是看似简单的数学对象，其内部也蕴含着丰富的结构和深刻的性质，而这些性质的揭示，往往需要精巧的工具和严谨的推理。

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这本书的封面设计非常朴实，没有花哨的插图或醒目的标题，然而，正是这种简洁的风格，让我立刻感受到它所蕴含的数学的严谨与深刻。当我翻开第一页，迎面而来的是一种清晰而逻辑严密的叙述方式。作者似乎是一位深谙如何引导读者进入抽象数学世界的大家，他循序渐进地引入有限生成交换幺半群的概念，并用一系列精心挑选的例子来阐释理论。我尤其欣赏作者在定义阶段的严谨性，每一个术语的引入都伴随着清晰的解释和必要的背景铺垫，这对于我这样并非专攻代数领域但对抽象数学充满好奇的读者来说，是至关重要的。书中对幺半群的结构性分析，特别是关于自由幺半群、子幺半群以及同态的讨论，让我对这些看似简单的代数结构有了全新的认识。作者并没有止步于基本概念的介绍，而是进一步深入到幺半群的分类、同构问题以及一些更高级的性质。我发现在阅读过程中，许多之前在其他代数教材中遇到的困惑，在本书的语境下得到了豁然开朗的解答。例如，作者对幺半群表示法的详尽介绍，以及如何通过生成元和关系来刻画幺半群，这为理解更复杂的代数结构奠定了坚实的基础。这本书不仅仅是一本理论书籍，更像是一次引导性的数学之旅，带领读者去探索有限生成交换幺半群的丰富世界。

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在阅读《Finitely generated commutative monoids》的过程中，我被作者对数学证明的细致处理所深深吸引。他不仅仅给出了结论，更重要的是详细展示了证明的每一步，并且常常会提供多种不同的证明思路。这种对证明的深入挖掘，让我不仅理解了“是什么”，更明白了“为什么”。例如，在讨论幺半群的性质时，作者会从公理出发，一步步推导出重要的定理，并特别强调每个关键步骤的逻辑依凭。这让我深刻体会到数学证明的严谨性与美感。书中关于幺半群的子结构，比如理想和约化幺半群的分析，也是相当精彩。作者通过对这些子结构的探索，揭示了幺半群内在的结构特性。我尤其喜欢作者在介绍某个性质时，会先给出一个直观的解释，然后再辅以严格的数学证明。这种方法极大地降低了抽象概念的理解门槛，让我能够更轻松地掌握那些复杂的数学思想。此外，书中还穿插了一些关于幺半群在其他数学分支中的应用的例子，虽然篇幅不长，但这些例子为理论知识提供了生动的注解，也让我对这些抽象概念的实际价值有了更深的认识。我发现自己在阅读过程中，不仅是在学习知识，更是在学习如何思考，如何进行严谨的数学推理。

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《Finitely generated commutative monoids》这本书在理论深度和广度上都给我留下了深刻的印象。作者对幺半群的结构进行了细致的剖析，从最基础的定义到一些更高级的性质，都进行了详尽的阐述。我尤其欣赏作者在讨论幺半群的分解、同余以及商幺半群时所展现出的数学洞察力。他能够从不同的角度来审视这些概念，并提供多种理解和分析的方法。书中关于幺半群的格结构和序理论的联系，也是我之前从未深入了解过的领域。作者通过生动的例子，展示了幺半群的元素之间如何通过某种关系进行排序，以及这种排序如何影响幺半群的结构。这让我对幺半群的理解上升到了一个新的层面。我发现自己在阅读过程中，不仅在学习数学知识，更是在学习一种数学思维方式。作者的严谨、精确和富有创造性的思维方式，对我产生了很大的启发。

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这本书的讨论内容给我带来了很多启发，尤其是关于幺半群的共性与特性的分析。作者通过对比不同类型的幺半群，揭示了它们共有的结构属性，以及各自独特的性质。我尤其喜欢作者在介绍半格和格时，是如何将它们与更一般的幺半群联系起来的。这让我明白，这些看似特殊的代数结构，实际上是更一般幺半群在特定条件下的实例化。书中关于幺半群的嵌入和延拓的研究，也让我对幺半群的构造有了更深的认识。作者展示了如何将一个幺半群嵌入到一个更大的幺半群中，或者如何从一个已知的幺半群构造出新的幺半群。这对于理解幺半群的复杂性以及它们的分类至关重要。我发现在阅读过程中，我不仅在学习数学理论，更是在学习如何构建和分析数学对象。

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《Finitely generated commutative monoids》这本书的叙述方式和内容深度都让我受益匪浅。作者以一种清晰、系统的方式介绍了有限生成交换幺半群这一重要而有趣的代数结构。我尤其喜欢作者在介绍幺半群的同胚和满射同态时，所做的细致分析。他不仅给出了定义，还详细阐述了这些概念的性质和在幺半群分类中的作用。书中关于幺半群的完备化和嵌入理论的讨论，也让我对这些抽象概念有了更深刻的理解。作者通过生动的例子，展示了如何将一个幺半群完备化，或者如何将其嵌入到一个更一般的结构中。这对于理解幺半群的构造和分类至关重要。我发现自己在阅读过程中，不仅在学习数学理论，更是在学习一种严谨的数学思考方式。作者对每一个细节的关注，以及对数学证明的精益求精，都让我深受启发。

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这本书的内容是高度集中的，作者专注于有限生成交换幺半群的领域，并且将该领域的核心内容进行了系统性的阐述。我欣赏作者在研究过程中所展现出的深度和广度。他能够从不同的角度来审视这些代数结构，并提供多角度的分析和解释。例如，在讨论幺半群的表示时，作者不仅介绍了生成元和关系表示法，还探讨了其他的表示方法，以及各种表示法的优缺点。这让我对幺半群的表示有了更全面的认识。书中关于幺半群的自由性质和非自由性质的讨论，也极具启发性。作者通过具体的例子，说明了在什么条件下，一个幺半群可以被称为自由幺半群，以及自由幺半群在代数结构中的重要作用。我发现在阅读过程中，我不仅在学习数学知识，更是在学习如何进行严谨的数学分析和推理。

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在我看来，这本书的语言风格非常适合数学爱好者。作者的叙述简洁明了，没有冗余的修饰，但又不失生动性。他善于运用比喻和类比来解释抽象概念，使得那些难以理解的数学思想变得容易把握。我特别喜欢作者在处理一些技术性较强的证明时，会用一种“对话”的语气，仿佛在和我一起思考，一起探索。这种方式极大地增强了阅读的参与感，让我感觉自己不是一个被动的接受者，而是一个主动的探索者。书中关于幺半群的完备性、正则性和其他一些性质的讨论，都非常深入。作者不仅给出了这些性质的定义，还详细探讨了它们之间的相互关系，以及如何在具体的幺半群中检验这些性质。我发现自己在阅读时，常常会停下来，尝试自己去推导一些小的结论，或者去思考作者提出的问题。这种主动的学习方式，让我在不知不觉中加深了对书本内容的理解。本书的附录中还包含了一些补充材料和进一步阅读的建议，这对于希望深入研究特定课题的读者来说，是非常宝贵的资源。

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本书在数学史的视角上也提供了一些有趣的见解。虽然不是本书的主题，但作者在提及某些概念的起源和发展时，会简要介绍相关的数学家的贡献，这让我对这些抽象概念的产生背景有了更深的理解。例如，在讨论自由幺半群时，作者会提及自由群的研究，并简要说明两者之间的联系。这种历史的视角，使得阅读过程不仅仅是枯燥的理论学习，更增添了一份人文的色彩。我发现自己在阅读时，会不由自主地去查阅一些相关的历史资料，了解这些数学概念是如何一步步演变而来的。这种跨学科的阅读体验，让我对数学的理解更加全面和深入。此外，书中还包含了一些关于幺半群在计算机科学和编码理论中的应用的例子，这为理论知识提供了更广泛的应用场景，也让我看到了数学的实际价值。

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这本书的排版设计给我留下了深刻的印象。清晰的数学公式、准确的符号表示，以及恰到好处的图示，都使得阅读过程非常顺畅。我特别欣赏作者在书中为关键概念和定理设置的醒目标题，这让我能够快速定位到重要的信息。当我在阅读某些复杂的证明时，作者会将证明分解成若干个步骤，并用编号清晰地标示出来，这极大地减轻了我的阅读负担。我还注意到，作者在书中使用了多种颜色来区分不同的数学对象或概念，这使得内容更加生动，也更容易区分。例如，在介绍生成元和关系时，作者会用一种颜色表示生成元，用另一种颜色表示关系，这对于我理解幺半群的表示非常有帮助。此外，书中还包含了一些练习题，这些练习题的难度适中，既能巩固所学知识，又能激发进一步的思考。我发现自己在完成这些练习题时，不仅加深了对理论的理解，还学会了如何将理论应用于实际问题。

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