Preface to the First Edition ix
Preface to the Second Edition xii
I Laplace Transforms and Well-Posedness of Cauchy Problems 1
1 The Laplace Integral 5
1.1 The Bochner Integral .......................... 6
1.2 The Radon-Nikodym Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Existence of the Laplace Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5 Analytic Behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Operational Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7 Uniqueness, Approximation and Inversion . . . . . . . . . . . . . . 40
1.8 The Fourier Transform and Plancherel’s Theorem . . . . . . . . . . 44
1.9 The Riemann-Stieltjes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.10 Laplace-Stieltjes Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.11 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2 The Laplace Transform 63
2.1 Riesz-Stieltjes Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2 A Real Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3 Real and Complex Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4 Transforms of Exponentially Bounded Functions . . . . . . . . . . 77
2.5 Complex Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6 Laplace Transforms of Holomorphic Functions . . . . . . . . . . . . 84
2.7 Completely Monotonic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
vi CONTENTS
3 Cauchy Problems 107
3.1 C0-semigroups and Cauchy Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.2 Integrated Semigroups and Cauchy Problems . . . . . . . . . . . . 121
3.3 Real Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.4 Dissipative Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.5 Hille-Yosida Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.6 Approximation of Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.7 Holomorphic Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.8 Fractional Powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.9 Boundary Values of Holomorphic Semigroups . . . . . . . . . . . . 171
3.10 Intermediate Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.11 Resolvent Positive Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.12 Complex Inversion and UMD-spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.13 Norm-continuous Semigroups and Hilbert Spaces . . . . . . . . . . 201
3.14 The Second Order Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.15 Sine Functions and Real Characterization . . . . . . . . . . . . . . 217
3.16 Square Root Reduction for Cosine Functions . . . . . . . . . . . . 222
3.17 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
II Tauberian Theorems and Cauchy Problems 239
4 Asymptotics of Laplace Transforms 243
4.1 Abelian Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.2 Real Tauberian Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
4.3 Ergodic Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4.4 The Contour Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
4.5 Almost Periodic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
4.6 Countable Spectrum and Almost Periodicity . . . . . . . . . . . . . 295
4.7 Asymptotically Almost Periodic Functions . . . . . . . . . . . . . . 306
4.8 Carleman Spectrum and Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . 318
4.9 Complex Tauberian Theorems: the Fourier Method . . . . . . . . . 325
4.10 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
5 Asymptotics of Solutions of Cauchy Problems 337
5.1 Growth Bounds and Spectral Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
5.2 Semigroups on Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
5.3 Positive Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
5.4 Splitting Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
5.5 Countable Spectral Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
5.6 Solutions of Inhomogeneous Cauchy Problems . . . . . . . . . . . . 378
5.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
CONTENTS vii
III Applications and Examples 397
6 The Heat Equation 401
6.1 The Laplacian with Dirichlet Boundary Conditions . . . . . . . . . 401
6.2 Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
6.3 Asymptotic Behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
6.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
7 The Wave Equation 417
7.1 Perturbation of Selfadjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
7.2 The Wave Equation in L2(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
7.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
8 Translation Invariant Operators on Lp(Rn) 429
8.1 Translation Invariant Operators and C0-semigroups . . . . . . . . . 430
8.2 Fourier Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
8.3 Lp-spectra and Integrated Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . 441
8.4 Systems of Differential Operators on Lp-spaces . . . . . . . . . . . 449
8.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
A Vector-valued Holomorphic Functions 461
B Closed Operators 467
C Ordered Banach Spaces 477
D Banach Spaces which Contain c0 481
E Distributions and Fourier Multipliers 485
Indexes 493
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
· · · · · · (收起)