数学(第一册)//九年义务教育六年制小学教科书 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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《现代几何学导论：从欧几里得到非欧空间》 第一章：欧几里得几何学的基石与挑战 本书旨在为读者构建一个严谨而富有洞察力的现代几何学知识体系，它将带领我们穿越时空的界限，从古希腊文明的黄金时代——欧几里得的《几何原本》——出发，逐步走向十九世纪的深刻变革，直至二十世纪的抽象代数几何。 我们首先聚焦于欧几里得几何学的逻辑结构。这一章细致地剖析了《几何原本》第一卷中那五条公理和五条公设的精妙之处。我们将详细考察平行公设（第五公设）在历史上引发的巨大争议。在对这五条公设的依赖程度进行深入分析后，读者将理解，正是对“平行公设”的执着探索，最终催生了整个现代几何学的革命。我们不仅会重现历史上对第五公设的各种尝试性证明，更会探讨这些尝试如何无意中为非欧几何的诞生铺平了道路。 本章的重点还将放在概念的精确化上。从“点”、“线”、“面”的直观理解，到如何通过公理和定义构建一个自洽的公理系统，我们将使用更现代的集合论语言来重新审视欧氏体系的严密性。例如，我们会探讨皮亚诺（Peano）的公理系统在算术基础中的作用，并引申到如何用公理来描述几何对象。此外，对欧拉公式（$V-E+F=2$）在凸多面体中的应用进行深入探讨，将为后续的拓扑学打下直观基础。 第二章：非欧几何的黎明——几何学的第一次革命 十九世纪，人类的理性思维迎来了一次伟大的解放。当数学家们最终放弃了对第五公设的依赖时，两个全新的、同样自洽的几何世界展现在世人面前：罗巴切夫斯基的双曲几何和黎曼的椭圆几何（即球面几何的推广）。 本章将详细阐述这两种非欧几何的构造原理。 在双曲几何部分，我们将侧重于罗巴切夫斯基和波利亚依的工作。我们不仅会介绍其独特的“平行线公理”——通过一个点有无穷多条与给定直线平行的直线——还会深入研究其内在的一致性。关键概念包括扇形角、双曲平行角、以及理想点和理想点射线的构造。我们会使用庞加莱圆盘模型（Poincaré disk model）和庞加莱上半平面模型来可视化这些反直觉的几何性质，例如，在双曲空间中，三角形内角和总是小于 $180^circ$。 在椭圆几何（球面几何的推广）部分，我们将利用黎曼的视角，强调其正曲率的特性。球面几何中的任何两条“直线”（即大圆）必然相交，这彻底颠覆了欧氏几何中“平行线永不相交”的观念。我们会分析球面三角形的内角和总是大于 $180^circ$ 的现象，并将其与双曲几何的结论进行对比，以凸显曲率在决定几何结构中的核心作用。 本章的最后部分将涉及克莱因对几何学本质的深刻洞察。克莱因的埃尔朗根纲领（Erlangen Program）提出，几何学是通过群论来定义的。不同的几何学对应于不同的变换群（如欧氏群、仿射群、射影群）。这一革命性的观点将几何学从单纯的直观描绘提升到了代数结构的高度。 第三章：微分几何的诞生与空间的度量 进入十九世纪后半叶，数学家们开始将微积分的强大工具引入几何学，从而催生了微分几何。如果说非欧几何回答了“什么是几何”，那么微分几何则回答了“如何测量弯曲的空间”。 我们将以高斯关于曲面的研究为起点。《关于弯曲表面的初步研究》是里程碑式的著作。核心概念之一是高斯曲率（Gaussian Curvature）。本章将详细解释曲率如何被局部定义，以及“奇异性定理”（Theorema Egregium）的非凡意义——即曲率可以仅由曲面本身（内蕴地）决定，而无需参考其所嵌入的空间。 随后，我们将过渡到更一般的黎曼几何。黎曼将高斯的思想推广到了 $n$ 维流形。黎曼度量张量（Riemannian Metric Tensor）成为描述空间局部结构和测地线（最短路径）的数学工具。我们将介绍测地曲率的概念，以及测地线方程如何取代欧氏几何中的直线方程，成为弯曲空间中的“直线”。 本章将深入探讨测地线偏离方程，揭示空间曲率如何影响相邻测地线的行为。这为爱因斯坦的广义相对论奠定了纯粹的数学框架，广义相对论将时空本身视为一个动态的、弯曲的四维黎曼流形。 第四章：拓扑学的兴起——不关心形状的几何学 与微分几何关注精确测量（长度、角度、曲率）不同，拓扑学（Topology）关注的是那些在连续变形下保持不变的性质。拓扑学常常被称为“橡皮泥几何学”。 本章将从欧拉对柯尼斯堡七桥问题的解决开始，引出拓扑不变量的概念。最基础的不变量是连通性和亏格（Genus）。我们将详细分析亏格的概念，它代表着一个曲面上“洞”的数量，并解释为什么一个咖啡杯（甜甜圈）可以被连续形变为一个圆环，但不能形变为一个球面。 我们将介绍布朗热（Brouwer）的不动点定理，这是一个在分析学、经济学和博弈论中具有深远影响力的拓扑学结果。此外，我们将探讨基本群（Fundamental Group）的概念，即通过探测环路来描述空间的“洞”的代数工具。这为理解更高维空间中的结构提供了强有力的代数视角。 第五章：代数几何与现代视野 在二十世纪，几何学与代数（特别是抽象代数）的结合达到了新的高度，形成了代数几何。 本章将介绍代数簇（Algebraic Varieties）的概念，即由多项式方程的零点集定义的几何对象。我们将从最简单的例子——圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的二次方程入手，探讨其在射影平面上的性质。 随后，我们将引入概形（Schemes）的概念，这是亚历山大·格罗滕迪克的伟大创新，它极大地拓宽了代数几何的研究范围，使其不仅可以研究实数或复数上的几何，还可以研究任意环上的几何。这种抽象的方法使得代数几何能够解决数论中的核心问题，例如费马大定理的证明。 本书的最终目标是展示几何学作为一个统一的、动态发展的学科，如何从直观的公理推理发展成为一门结合了分析、代数和拓扑的强大现代数学工具。通过对历史脉络和核心理论的全面梳理，读者将能够掌握现代几何学的基本思想和语言。

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作为一名家长，在翻阅这本《数学（第一册）》时，我脑海中浮现的是我对孩子数学启蒙的种种期许。这本书的内容，恰好满足了我对小学数学教育的核心认知。它没有那些华而不实的包装，也没有过于超前的概念，而是回归到最本质的学习目标——让孩子理解数、认识形、掌握运算。书中对“形”的认识部分，比如认识正方形、长方形、圆形等，虽然简单，但却极其重要。我看到书中有将这些图形与生活中的物体进行对比，例如将圆形比作太阳、车轮，将正方形比作窗户、积木，这种联系生活的设计，能让孩子迅速理解并记住这些几何概念。在计算部分，虽然只是简单的加减，但书中通过分解、凑整等方法，巧妙地引导孩子理解计算的原理，而不是仅仅停留在机械的记忆。我甚至可以想象，在学习过程中，孩子可能会因为一道题目而苦思冥想，但最终豁然开朗时的那种成就感，这份宝贵的体验，正是这本书所能提供的。它就像一位循循善诱的引路人，带领孩子一步步走入数学的奇妙世界。

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这本《数学（第一册）》给我的感觉，就像是经历了一场温和而充实的数学“洗礼”。它并没有什么惊天动地的理论，也没有什么深奥莫测的公式，而是回归到最基础、最本质的数学认知。我仔细看了书中关于“测量”的初步介绍，虽然只是简单的认识长度单位，以及用直尺进行简单的测量，但这种对“度量”概念的启蒙，对孩子建立空间感和实际应用能力有着至关重要的意义。书中对于“时间”的初步认知，比如认识时钟、了解年月日，同样是孩子认识世界、安排生活的基础。我特别欣赏的是，书中在讲解这些概念时，总是能巧妙地融入生活场景，让孩子觉得数学无处不在，并且非常实用。例如，在学习时间时，会提到“早上起床”、“中午吃饭”、“晚上睡觉”这些生活作息，让孩子直观地理解时间的流逝和规律。这种将抽象的数学概念与具体的生活实践紧密结合的设计，能够极大地激发孩子的学习兴趣，让他们感受到数学的魅力，并将其内化为自身解决问题的能力。

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这本《数学（第一册）》给我最大的感受是它的严谨与循序渐进。虽然是面向小学生的教材，但其内容的编排逻辑性却非常强。从最基础的数数、认识数字开始，逐步过渡到简单的加减运算，每一步都衔接得恰到好处，不会让孩子感到突兀或吃力。我注意到，书中对于概念的引入都非常慎重，例如在介绍加法时，会用非常具体的生活场景来类比，比如“小猫有几只，又来了几只，一共有多少只？”，这种具象化的方式，极大地降低了抽象概念的学习难度。同时，书中大量的例题和练习题，题型多样，难度也有梯度，能够帮助孩子巩固所学知识，并逐步提升解题能力。更值得赞赏的是，它并没有一味地追求题海战术，而是注重培养孩子的数学思维。很多题目都包含着“为什么”，引导孩子去探究背后的道理，而不是死记硬背。这种注重基础、强调理解的教学方式，对于孩子建立扎实的数学根基至关重要，为他们今后的数学学习打下坚实的基础，这种用心良苦的设计，在如今快节奏的教育环境中，显得尤为珍贵。

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我怀着一种怀旧的心情翻阅这本《数学（第一册）》。虽然我的孩子已经过了这个阶段，但当我看到书中的插图和题目时，依然能感受到那个年代教育的朴实与厚重。书中的每一个例子，都显得那么贴近生活，那么接地气。比如在讲解“比多少”的时候，用小动物排队、水果数量对比等生动有趣的场景，能够让孩子在轻松愉快的氛围中，理解“多”、“少”的概念。在认识图形的部分，书中不仅介绍了基本的几何图形，还引导孩子去发现生活中与这些图形相似的物体，比如圆形像盘子，正方形像积木，这种联系生活、触类旁通的教学方法，是培养孩子观察力和发散性思维的绝佳途径。让我印象深刻的是，书中对于“解决问题”的引导，并没有直接给出答案，而是通过一连串的设问，引导孩子自己去思考、去分析、去寻找解决问题的办法。这种培养独立思考和解决问题能力的设计，对于孩子的长远发展具有深远的意义，这本书所蕴含的教育理念，至今仍是值得我们学习和借鉴的宝贵财富。

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刚收到这本《数学（第一册）》，虽然封面朴实无华，但打开来，一股熟悉的亲切感扑面而来。还记得小时候，也是这样一本本泛着淡淡油墨香的课本，伴随我们度过无数个求知的日子。翻开目录，那些熟悉又陌生的章节名称，比如“数的初步认识”、“认识图形”、“简单的加减法”，瞬间把我拉回到了那个充满好奇和探索的年代。每一页的插图都显得那么生动有趣，简单的线条勾勒出鲜活的场景，配合着清晰易懂的文字讲解，仿佛能看到老师在讲台上循循善诱，同学们聚精会神的样子。我尤其喜欢那些“你知道吗？”、“想一想”、“做一做”的小栏目，它们不是简单的知识堆砌，而是鼓励思考和动手实践，培养的是一种解决问题的能力。我甚至可以想象，当孩子们看到那些趣味盎然的数学游戏时，会是怎样一副跃跃欲试的神情。这本书的设计，真的是把“寓教于乐”的理念贯彻得淋漓尽致，每一个细节都充满了对儿童成长的关怀和期望。它不仅仅是一本教科书，更像是一把开启数学世界大门的钥匙，让孩子们在轻松愉快的氛围中，迈出认识世界、理解规律的第一步。

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