集论拓扑学引论

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出版者:广西师范大学出版社
作者:戴牧民
出品人:
页数:272
译者:
出版时间:2003-2
价格:15.00
装帧:
isbn号码:9787563338528
丛书系列:
图书标签:
  • 数学
  • 拓扑学
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  • 抽象数学
  • 点集拓扑
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  • 逻辑推理
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具体描述

集论拓扑学引论 《集论拓扑学引论》是一本为数学专业本科生和研究生量身打造的入门级教材,旨在系统而深入地介绍集论在拓扑学中的基础性作用及其重要概念。本书内容扎实,逻辑清晰,由浅入深,力求使读者在理解拓扑学核心思想的同时,掌握运用集论工具解决拓扑学问题的能力。 第一部分:集论基础与拓扑学的渊源 本书开篇即从集论的基本概念出发,为后续的拓扑学学习奠定坚实的数理基础。我们将从集合的基本运算(并、交、差、补)、关系的性质(自反性、对称性、传递性)以及函数的定义与性质(单射、满射、双射)等最核心的元素开始。在此基础上,我们将引入集合的幂集、笛卡尔积等构造性概念,并探讨它们的集合论属性。 随后,本书将重点阐述集论与拓扑学之间密不可分的联系。拓扑空间本身就是由集合及其上的特定结构(开集族)定义的。我们将详细解释如何利用集合论的语言精确地描述开集、闭集、邻域、内点、外点、边界点等拓扑学的基本概念。通过对这些概念的细致梳理,读者将深刻理解拓扑学的本质并非仅仅是“形变”的直观感受,而是建立在严谨的集合论语言之上的抽象数学理论。 第二部分:拓扑空间及其基本性质 在奠定了集论基础后,本书将正式引入“拓扑空间”这一核心概念。我们将详细讲解一个集合上定义一个拓扑的公理化定义,即开集的公理:空集和全集必须是开集,任意开集的并集是开集,有限多个开集的交集是开集。我们将通过大量的例子,展示不同集合上可以构造出不同的拓扑,例如离散拓扑、平凡拓扑、可数补拓扑、序列拓扑等,并分析这些拓扑各自的特性。 紧接着,我们将深入探讨拓扑空间中的一系列重要概念: 闭集: 作为开集的补集,闭集在拓扑学中同样扮演着至关重要的角色。我们将研究闭集的性质,以及开集与闭集之间的相互关系。 邻域: 以一个点为中心,包含该点的所有开集构成了该点的邻域系统。我们将详细阐述邻域的定义及其在刻画点性质(如聚点、孤立点)方面的作用。 内点、外点、边界点: 通过邻域的概念,我们将精确定义一点的内点、外点和边界点,并探讨这些概念在刻画集合内部、外部和边缘性质上的意义。 开集族和闭集族: 分析不同开集族(如基、可数基)和闭集族(如邻域基)的性质,以及它们如何等价地定义一个拓扑。 第三部分:拓扑空间中的重要结构与分类 为了更深入地理解和研究拓扑空间,本书将引入多种重要的结构和分类方法。 子空间拓扑: 当一个集合的子集被赋予一个拓扑时,我们称之为子空间。我们将讲解如何从父空间继承拓扑,并分析子空间拓扑的性质。 积拓扑: 对于一组拓扑空间,如何构造一个自然而有意义的积拓扑是拓扑学中的一个基本问题。本书将详细介绍积拓扑的定义及其性质,并探讨在多个维度上构成积空间时的重要性。 商拓扑: 通过等价关系将一个拓扑空间进行“粘合”或“压缩”,得到商拓扑。我们将解释商空间的构造方式,以及它在处理等价关系、构建新空间时的应用。 在介绍完这些构造方法后,本书将转向拓扑空间的分类。我们将引入一系列重要的分离公理,它们是刻画拓扑空间“分离性”程度的关键: T0空间(可区分空间): 任意两个不同的点至少有一个不包含对方的开邻域。 T1空间: 任意两个不同的点都可以被分离开,即存在一个点不包含另一个点的开邻域。 T2空间(豪斯多夫空间): 任意两个不同的点可以被不相交的开邻域分开。豪斯多夫空间是现代拓扑学中最为重要的研究对象之一。 T3空间(正则空间)和T4空间(正则豪斯多夫空间): 这些更强的分离公理刻画了点与闭集之间的分离能力,在函数空间、紧致性等研究中至关重要。 第四部分:连续性与同胚 拓扑学关注的是在保持空间“形变”不变的意义下的性质,而“连续性”正是实现这一目标的核心概念。 连续函数: 我们将从集论的角度精确定义两个拓扑空间之间的连续函数,即满足“原像开集是开集”的函数。我们将通过例子说明,在不同的拓扑下,同一个函数可能具有不同的连续性。 同胚: 如果一个函数是连续的,并且其反函数也是连续的,我们就称这个函数是同胚。同胚是拓扑学中最强的等价关系,它意味着两个拓扑空间在拓扑学意义上是“相同”的。本书将深入研究同胚的定义、性质以及如何利用它来判断两个空间的拓扑等价性。 第五部分:紧致性与连通性 除了分离公理,紧致性和连通性是刻画拓扑空间“大小”和“连接性”的两个重要性质。 紧致性: 我们将从开覆盖的角度定义紧致空间,并介绍紧致性在拓扑学和分析学中的重要性。我们将探讨紧致空间的一些基本性质,例如紧致空间的闭子集仍然是紧致的,紧致集与闭集的交集是紧致的等等。 连通性: 连通性描述了空间是否可以被分解为不相交的开集。我们将定义连通空间和路径连通空间,并分析它们之间的关系。 结论 《集论拓扑学引论》通过严谨的集论语言,系统地介绍了拓扑学的基本概念、重要的空间结构和分类方法,以及连续性、同胚、紧致性、连通性等核心性质。本书旨在为读者建立起一个坚实的拓扑学理论框架,为进一步深入学习微分几何、微分拓扑、代数拓扑等更高级的数学分支打下坚实的基础。书中丰富的例题和练习题将帮助读者巩固所学知识,并培养独立解决问题的能力。

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《集论拓扑学引论》这本书的名字本身就带着一种引人入胜的力量,它预示着一次关于数学基础的深刻旅程。拿到书后,我首先被它的装帧所打动,厚实的书页和精致的印刷,都传递着一种专业和匠心。我一直以来都对数学的抽象概念感到好奇,尤其是那些能够构建起整个数学体系的理论。这本书的开篇,从集合论的基石讲起,这对我而言是非常及时的。作者在讲解集合的定义、元素、子集等基本概念时,并没有止步于形式化的定义,而是深入浅出地解释了这些概念背后的逻辑和意义。我非常欣赏它在介绍集合关系时的严谨性,以及通过一些经典的例子,比如“罗素悖论”,来展示数学概念的精妙之处。这些例子不仅帮助我理解了抽象的概念,更激发了我对数学逻辑的进一步探索欲望。书中所包含的习题,也设计得非常有深度,它们不仅仅是检验我是否理解了概念,更是引导我去思考如何将这些概念应用于更广泛的数学问题中。我能够从字里行间感受到作者对数学的热爱以及他希望将这份热爱传递给读者的愿望。

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《集论拓扑学引论》这本书的封面设计非常经典,它透露出一种沉静而深邃的学术气质,这正是吸引我目光的地方。作为一名热衷于探索数学世界的人,我对任何能够引导我深入理解数学基础的读物都抱有极大的兴趣。这本书的开篇,对我而言,就像是为我打开了一扇通往数学奥秘的大门。它从集合论最基础的元素讲起,作者在讲解每一个概念时,都非常细致,并且注重逻辑的连贯性。我特别喜欢它在阐述“集合的包含关系”和“幂集”时所用的方法,不仅清晰地给出了数学定义,还通过形象的比喻和图示,让我能够直观地理解这些抽象的概念。书中所提供的练习题,也极大地帮助我巩固了所学的知识,它们的设计都非常有启发性,能够引导我去思考和运用。我能够从字里行间感受到作者对数学知识的深刻理解,以及他希望将这份理解传递给读者的热切愿望。

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《集论拓扑学引论》这本书的名字,单凭字面意思就足以勾起我浓厚的阅读兴趣,它暗示着一场关于数学基础理论的深入探索。当我拿到这本书的时候,首先就被它那份厚重感和精致的装帧所吸引,这似乎预示着里面蕴含着宝贵的知识。我一直认为,数学的魅力在于其严谨的逻辑和抽象的美感,而集合论正是构建这一切的基础。这本书从集合论最核心的概念开始讲解,作者在对每个概念进行阐述时,都力求精准和清晰,并且辅以大量能够帮助理解的实例。我尤其赞赏它在讲解“空集”和“无穷集合”时,所展现出的深刻洞察力,这让我对数学中关于“无”和“多”的概念有了全新的认识。书中提供的习题,设计得也非常有引导性,能够促使我主动思考,而不是被动接受。我能够清晰地感受到作者在编写这本书时,所倾注的心血以及他希望将数学的魅力传递给每一位读者的美好愿望。

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《集论拓扑学引论》这本书的名字,本身就充满了数学的魅力,它预示着一场关于集合与空间之间深刻联系的探索。当我拿到这本书时,首先吸引我的是它厚实而有质感的纸张,以及那简洁而充满力量的书名设计。我一直对数学中那些能够构建起宏伟理论的基石性概念非常着迷,而集合论无疑是其中最重要的部分。这本书从集合论的起源和基本概念讲起,这对我来说是一个非常好的起点。作者在讲解每一个概念时,都力求严谨而又不失可读性,他通过大量精心设计的例子,将抽象的数学语言变得鲜活起来。我尤其欣赏它在介绍集合的划分和关系时,所展现出的逻辑清晰度和深度。例如,它在讲解“等价关系”时,不仅仅给出了数学定义,还通过一些生活化的例子,帮助我理解这一抽象概念在实际中的应用。我能够感受到作者对数学的深厚功底和严谨态度,他希望通过这本书,能够让更多人领略到集合论的魅力。

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《集论拓扑学引论》这本书的名字,本身就充满了数学的吸引力,它指向了一个我一直以来都感到好奇的领域。拿到书的那一刻,我就被它那简约而又不失大气的封面设计所吸引,这让我预感到这是一本严谨而有深度的学术著作。我一直对数学的抽象概念有着浓厚的兴趣,而集合论作为许多高等数学分支的基础,更是我想要深入了解的。这本书从集合论的基本概念入手,作者在讲解每一个定义和定理时,都力求清晰和透彻,并且辅以大量的图示和实例,极大地降低了理解的难度。我特别喜欢它在介绍“集合的并集、交集、差集”等运算时,所采用的生动比喻和具体例子,这使得抽象的数学概念变得异常容易理解。书中的习题设计也非常巧妙,它们不仅检验了我对知识的掌握程度,更能引导我去思考更深层次的问题。我能够感受到作者在编写这本书时,对知识的敬畏以及他希望将这份敬畏传递给读者的真诚。

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《集论拓扑学引论》这本书的封面设计简约而不失大气,当我在书店看到它的时候,就被它散发出的那种沉静的学术气质所吸引。作为一名对数学抱有浓厚兴趣的读者,我总是喜欢那些能够引导我深入思考的书籍,而这本书的名字就足以引起我的好奇心。我迫不及待地翻开它,首先映入眼帘的是序言部分,作者以一种非常温和且充满智慧的笔触,阐述了本书的写作目的和预期达到的效果。我喜欢这种与读者建立情感连接的方式,它让我觉得这本书不仅仅是一本教材,更像是一位引路人。书中的集合论部分,对我而言是全新的知识领域,但我并没有感到丝毫的困惑。作者在讲解每一个概念时,都力求清晰明了,并且辅以大量的图示和实例,这极大地降低了理解的难度。我特别喜欢它对“逻辑推理”在集合论中的作用的强调,这让我意识到,数学不仅仅是公式的堆砌,更是逻辑思维的严谨体现。书中所举的关于集合运算的例子,都非常贴切,能够帮助我直观地理解抽象的概念。我能够感受到作者在编写这本书时所付出的心血,力求让每一位读者都能在舒适的环境下,掌握这门重要的数学分支。

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这本书的名字叫做《集论拓扑学引论》,单看这个名字,就觉得它是一本充满学术气息的书籍,对于我这样一名数学爱好者来说,无疑是一次令人期待的探索。我拿到这本书的时候,首先被它沉甸甸的质感所吸引,那种扎实的纸张和印刷,都传递着一种严谨和专业的信号。翻开第一页,并没有直接进入晦涩的定义和定理,而是以一种循序渐进的方式,从集合论的基础概念娓娓道来。我个人对集合论本身就颇感兴趣,它像是构建数学大厦的基石,一旦掌握了这些基本原理,再去看更复杂的结构,就会觉得豁然开朗。《集论拓扑学引论》在这方面做得相当出色,它不仅仅是罗列概念,更注重解释这些概念的由来和重要性,让我能够理解为什么我们需要定义这些东西,以及它们在整个数学体系中扮演的角色。比如,它对集合的运算、关系的定义,以及函数的基本性质的阐述,都非常清晰,并且辅以大量的例子,使得抽象的数学语言变得生动起来。我尤其喜欢它在解释“无穷”这个概念时所采用的方法,通过不同层次的无穷进行区分,让我对数学中的无限性有了更深刻的认识。这本书没有急于抛出“拓扑学”这个词,而是先为我们打下了坚实的集合论基础,这对于我这样一个非专业人士来说,是至关重要的。我预感,这本书将带领我进入一个全新的数学世界。

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《集论拓扑学引论》这本书的封面设计很简洁,但却有一种独特的美感,让我一拿到手就爱不释手。它不是那种花哨的设计,而是用一种非常内敛的方式,传递出一种沉静而深刻的知识力量。我翻开书页,首先被吸引的是它优美的排版,字体大小适中,行间距也恰到好处,阅读起来非常舒适。更重要的是,它对数学符号的使用非常规范,而且在第一次出现时都会有详细的解释,这一点对于我这种喜欢钻研细节的读者来说,简直是福音。我一直认为,一本好的数学书籍,不仅要有严谨的内容,还要有清晰的呈现方式,而《集论拓扑学引论》在这两点上都做得非常优秀。它在介绍集合论的概念时,逻辑性非常强,层层递进,不会让人感到突兀。我特别欣赏它在讲解一些看似基础却至关重要的概念时,所花的心思。例如,它对“集合的基数”的介绍,不仅仅是给出了定义,还通过一些巧妙的例子,帮助我理解不同无穷集合之间的差异,这种深入浅出的讲解方式,让我觉得仿佛在与一位经验丰富的老师对话。而且,书中所包含的习题,也并非那种纯粹的计算题,更多的是引导我去思考,去运用所学的知识解决问题,这对于巩固理解非常有帮助。我期待着这本书能带我进入更深层次的数学探索。

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《集论拓扑学引论》这本书的书名,一下子就抓住了我的注意力,它仿佛是在预告一场关于数学本质的精彩探险。拿到书后,我立刻被它那简洁而又不失格调的封面设计所吸引,这让我预感这是一本值得我沉浸其中细细品读的书籍。我一直对数学的抽象性充满好奇,尤其是那些能够构成整个数学体系的基石理论。这本书从集合论的基石概念讲起,这一点对我来说至关重要。作者在讲解集合的定义、元素、子集以及集合之间的运算时,都做得非常出色。我特别欣赏它在介绍“笛卡尔积”和“关系”时,所采用的清晰且富有逻辑性的讲解方式,这帮助我理解了不同集合之间如何建立联系。书中的例子都非常贴切,能够帮助我从具体到抽象,逐步掌握这些概念。我能够感受到作者在编写这本书时,对于细节的关注以及他对于知识传播的热忱,这使得阅读过程本身就成为一种享受。

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《集论拓扑学引论》这本书的封面设计非常简洁,但却有一种令人难以抗拒的吸引力,它散发出的学术气息让人觉得这本书一定蕴含着深刻的知识。我一直对数学的抽象世界充满向往,而这本书的名字就好像一把钥匙,能够开启通往这个世界的大门。我翻开书页,首先被它清晰的排版和流畅的语言所吸引。作者在讲解集合论的初步概念时,非常细致,力求让读者能够完全理解每一个定义和定理。我特别喜欢它在介绍集合的运算时,所使用的图示和类比,这使得原本可能枯燥的概念变得生动有趣。例如,在讲解“并集”和“交集”时,作者通过生动的例子,让我能够立刻理解它们在实际中的含义。而且,书中还引用了一些历史上关于集合论发展的有趣故事,这让我在学习知识的同时,也对数学史有了更深的了解。我能够感受到作者在编写这本书时,对读者的耐心和关怀,他不仅仅是传授知识,更是希望能够点燃读者对数学的兴趣。

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