Curve and Surface Fitting with Splines pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Clarendon Press

作者:Paul Dierckx

出品人:

页数:304

译者:

出版时间:1995-6-15

价格:USD 140.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780198534402

丛书系列:

图书标签:

• 阿
• Splines
• Curve Fitting
• Surface Fitting
• Numerical Analysis
• Mathematics
• Computer Graphics
• CAD/CAM
• Approximation Theory
• Scientific Computing
• Engineering Mathematics

探索数字造型的艺术：插值、逼近与光滑的奥秘 在现代科学、工程、设计以及数据分析的广阔领域中，我们常常面临着如何从离散的数据点中提取有意义的几何信息，并用平滑、连续的数学模型来描述现实世界复杂形状的挑战。从航空航天器表面的空气动力学设计，到计算机图形学中逼真的三维建模，再到医学影像中的精确器官分割，再到金融领域中复杂的曲线趋势预测，我们都需要一种强大且灵活的工具来捕捉数据的内在规律，并生成既精确又美观的曲线和曲面。本书将带领您深入探究这一核心领域，揭示使用样条函数（Splines）这一强大数学工具来解决曲线和曲面拟合问题的精妙之处。 本书并非简单地罗列枯燥的算法，而是旨在构建一个全面而深入的理解框架，让读者能够掌握样条函数在数据建模中的核心思想、关键技术以及实际应用。我们将从最基础的插值概念出发，循序渐进地引入样条函数的强大力量。您将了解到，为什么简单的多项式插值在面对高维数据时会显得力不从心，而样条函数凭借其分段定义、局部控制以及连续性约束的特性，能够克服这些局限，生成更加稳定、鲁棒且易于控制的曲线和曲面。 分段的力量：多项式插值的进化之路 在本书的开篇，我们会详细回顾和分析经典的多项式插值方法，例如拉格朗日插值和牛顿插值。您将理解这些方法的原理，并认识到它们在某些情况下的优点，但更重要的是，您将深刻体会到它们在处理大量数据点时所面临的“龙格现象”——即在数据点密集区域出现剧烈的振荡，这使得它们难以应用于实际问题。 正是为了解决多项式插值的不足，样条函数应运而生。本书将清晰地阐述样条函数的核心思想：将整体的插值或逼近问题分解为若干个局部的小段，并在每段上使用低次多项式来近似数据。而连接这些小段的关键，在于对相邻多项式之间的“光滑性”进行严格的控制。我们将会详细介绍不同类型的样条函数，从最基本的线性样条，到三次样条，再到更高级的样条类型，并深入分析它们在连续性（零阶、一阶、二阶导数连续）和边界条件上的差异，以及这些差异如何影响最终生成的曲线形状。 构建平滑的桥梁：三次样条及其变种 三次样条（Cubic Splines）是本书重点关注的对象，也是在实际应用中最广泛使用的一种样条。您将学习到如何构建三次样条插值，理解其背后的数学原理，包括如何建立由数据点数量决定的方程组，以及如何求解这些方程组来确定每个分段多项式的系数。我们会详细探讨在求解过程中可能遇到的各种边界条件，例如自然三次样条、固定端点三次样条以及周期三次样条，并分析不同边界条件对曲线全局形态的影响。 除了经典的三次样条，本书还将为您介绍一些更加灵活和强大的样条变种，以满足更加复杂的数据拟合需求。例如，B样条（B-Splines）和NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines）将作为核心内容进行深入讲解。您将理解B样条的基函数（Basis Functions）概念，以及它们如何通过控制点（Control Points）来直观地控制曲线的形状，而无需直接计算插值点。NURBS作为B样条的推广，引入了有理函数（Rational Functions）和权重（Weights），使其能够精确表示圆、椭圆等二次曲线，从而在计算机辅助设计（CAD）和计算机图形学领域发挥着至关重要的作用。 超越插值：数据逼近的艺术 在实际应用中，我们遇到的数据往往是带有噪声的，或者我们并不需要严格通过所有数据点。此时，插值方法可能不再适用，而数据逼近（Data Approximation）则成为更合适的选择。本书将深入探讨如何使用样条函数进行数据逼近，特别是最小二乘样条逼近（Least-Squares Spline Approximation）。 您将学习到如何选择合适的样条基函数，如何通过最小化数据点与样条曲线之间误差的平方和来确定样条的控制点。我们将详细介绍如何根据数据的特点和对平滑度的要求，来选择样条的次数、节点（Knots）的分布以及控制点的数量。本书还将讨论如何在逼近过程中引入“罚项”（Penalty Terms），例如平滑因子（Smoothing Factor），以在拟合精度和曲线光滑度之间找到一个最佳的平衡点。 从二维到三维：拓展到曲面建模 本书的内容并不仅限于二维曲线的拟合，更将带领您进入三维曲面建模的精彩世界。您将学习到如何将样条函数的思想推广到更高维度，例如双三次样条曲面（Bicubic Spline Surfaces）和双三次B样条曲面（Bilinear B-Spline Surfaces）。 我们将深入讲解如何构建和操作这些曲面，理解曲面上的控制网格（Control Grids）如何决定曲面的形状，以及如何通过调整控制网格的点来修改曲面。您将了解到，曲面插值和曲面逼近的基本原理与曲线情况类似，但需要处理更加复杂的数学关系和数据结构。本书还将探讨一些常用的曲面建模技术，例如通过扫描线、等参线等方法来生成和处理曲面。 算法的实现与应用 理论知识的掌握固然重要，但将这些理论转化为实际可操作的算法和工具，才是本书的最终目标。本书将提供关于样条函数计算的详细算法描述，并讨论一些常见的数值计算技术，例如矩阵分解、迭代求解等。您将了解如何在编程中实现样条插值和逼近算法，例如使用各种数学库和工具。 为了让读者更直观地理解样条函数的力量，本书还将穿插大量的实际案例分析。您将看到样条函数如何在航空航天工程的翼型设计、汽车工业的流线型车身建模、计算机图形学的角色动画和场景构建、医学图像处理中的形状恢复、以及科学数据可视化等领域发挥关键作用。这些案例将涵盖不同类型的数据和不同的应用场景，帮助您将所学的理论知识与实际问题联系起来，并启发您在自己的研究和工作中应用样条技术。 高级话题与前沿探索 在掌握了基础的样条理论和技术之后，本书还将为您介绍一些更加高级的主题，例如： 非均匀有理B样条（NURBS）的深入解析： 进一步探讨NURBS的数学性质，包括曲率控制、等参线生成等。 样条函数的求导与积分： 如何高效地计算样条函数及其导数和积分，这在物理仿真和性能分析中至关重要。 自适应样条（Adaptive Splines）： 如何根据数据的局部特征自动调整样条的复杂度，以达到更好的拟合效果。 样条函数的优化与约束： 在拟合过程中考虑额外的约束条件，例如曲面的体积、表面积等。 样条在特定领域的应用： 例如在制造领域的刀具路径规划，在地球科学中的地形建模等。 通过对这些高级话题的探索，您将对样条函数有一个更加全面和深入的认识，并能够应对更具挑战性的建模任务。 本书的目标读者 本书适合具有一定数学基础（包括线性代数、微积分）的本科生、研究生以及从事以下领域的研究人员和工程师： 计算机图形学与几何建模 计算机辅助设计与制造（CAD/CAM） 科学计算与数值分析 数据分析与机器学习 工程设计（机械、航空航天、汽车等） 医学影像处理 地理信息系统（GIS） 通过本书的学习，您将能够自信地运用样条函数来解决各种曲线和曲面拟合问题，并为您的工作和研究带来更高效、更精确的解决方案。我们相信，一旦您领略了样条函数的魅力，您将发现它是一种强大而优雅的数学工具，能够帮助您将抽象的数据转化为生动、逼真的数字世界。

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阅读这本书的过程，更像是一次漫长的数学“朝圣之旅”，它要求读者对线性代数和数值分析有扎实的背景。我感觉作者默认读者已经非常熟悉向量空间、特征值分解以及数值微分等概念。对于我这种自学数值方法的读者来说，每遇到一个新概念，比如样条插值的牛顿系数组合或者有限元方法在样条构建中的隐晦联系，我都需要频繁地查阅其他的参考资料来巩固前置知识。这使得阅读进度变得非常缓慢，但我必须承认，正是这种层层递进的难度，保证了最终理解的深度。它不是那种“快速入门”的书籍，它需要你坐下来，准备好纸笔，去亲自推导那些证明的关键步骤。如果你只是想快速掌握如何使用某个拟合工具箱，这本书可能会让你感到挫败；但如果你立志于开发或改进拟合算法的核心模块，那么这本书就是你绕不开的基石。

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这本赫然摆在我书架上的大部头，坦白地说，我当初选择它，更多是出于对“样条”（Splines）这个词汇本身的好奇心，而非对其内容的精准预期。翻开它，首先映入眼帘的是大量严谨的数学推导，那种扑面而来的理论深度，立刻让人意识到这不是一本可以轻松消遣的读物。书中对基础理论的构建极其扎实，从最基本的插值问题入手，逐步过渡到更复杂的最小二乘拟合，每一步的逻辑链条都咬合得非常紧密，让人感受到作者在知识体系构建上的匠心。我印象特别深的是关于 B 样条基函数的讨论，作者并没有止步于给出定义，而是深入剖析了其几何意义和局部支撑性的优势，这对于理解为什么样条在实际工程中如此受欢迎至关重要。如果你是那种追求“知其所以然”的读者，希望不仅仅是调用库函数，而是想从根本上理解数值计算和几何建模的内在逻辑，那么这本书在理论基础的阐述上绝对能满足你的胃口。它更像是一份严谨的教科书，而不是一本轻薄的应用手册，需要投入大量的时间去消化那些密集的公式和定理。

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老实讲，这本书的排版和图示部分，是我在阅读过程中感到稍微有些吃力的地方。虽然内容深度无可挑剔，但在视觉体验上，它更偏向于传统学术著作的风格，简洁到近乎朴素。我特别希望在讲解某些复杂曲面构造时，能有更丰富、更直观的彩色图例来辅助理解，尤其是在涉及高维数据拟合或非均匀有理 B 样条（NURBS）的介绍部分。NURBS 本身就是一种非常精妙的数学工具，用于精确描述圆锥曲线和自由曲面，但仅凭文字和黑白线条图去想象那些曲面的局部控制和全局形状变化，着实考验读者的空间想象力。我花费了相当大的精力去对照书中的一些矩阵表达和相应的几何直觉，感觉如果能增加一些交互式的案例展示或者至少更精细的截面图，阅读体验会得到极大的提升。对于那些主要从事 CAD/CAM 或计算机图形学领域，需要将理论快速转化为视觉成果的工程师来说，这一点或许会成为一个小的门槛。

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这本书的价值感，很大程度上体现在它对不同拟合方法的比较和权衡上。我发现作者在处理“选择哪种样条”的问题时非常谨慎和客观。例如，它没有盲目推崇某一种样条形式，而是系统地对比了样条插值、样条回归以及基于能量最小化的光滑样条的优劣。书中对“光滑度”的量化处理，特别是引入了不同阶数的导数惩罚项，让我对如何平衡数据拟合精度与模型平滑性有了更清晰的认识。我记得有一章专门讨论了在噪声数据面前，如何通过调整正则化参数来获得一个既不产生过度振荡、又能忠实反映底层趋势的模型。这种成熟的处理框架，远超出了初级拟合书籍中对“最小二乘”的简单介绍，它真正触及了工程实践中模型选择的复杂性，为构建健壮的拟合算法提供了坚实的理论支撑。

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这本书最让我印象深刻的一点，在于它对样条在非均匀网格和离散数据处理上的细致探讨。在实际应用中，数据点往往不是均匀分布的，而且常常存在边界效应的困扰。作者在这方面投入了相当的笔墨，特别是关于如何构造能有效处理奇异点附近数据分布的局部修正方案。我特别欣赏书中对于“等距样条”和“自适应细分”策略的讨论，这表明作者的视野不仅仅停留在理论上的完美构造，而是着眼于如何处理真实世界中那些“不完美”的数据集。通过对控制点和节点向量的精妙调整，样条函数展现出了惊人的灵活性和适应性，这正是它超越传统多项式拟合的关键所在。这本书详细拆解了这些调整背后的数学原理，帮助读者理解，如何通过对节点分布的微小改动，实现对拟合曲面全局或局部形态的强大控制力，这对于需要处理复杂几何建模任务的专业人士来说，是极其宝贵的知识财富。

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