Algebraic Models in Geometry pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Oxford University Press, USA

作者:Yves Félix

出品人:

页数:304

译者:

出版时间:2008-5-25

价格:USD 60.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780199206520

丛书系列:Oxford Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

数学
几何
其余代数7
代数
代数几何
模型
代数
几何
数学
抽象代数
代数结构
多项式
理想
环论

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具体描述

Rational homotopy is a very powerful tool for differential topology and geometry. This text aims to provide graduates and researchers with the tools necessary for the use of rational homotopy in geometry. Algebraic Models in Geometry has been written for topologists who are drawn to geometrical problems amenable to topological methods and also for geometers who are faced with problems requiring topological approaches and thus need a simple and concrete introduction to rational homotopy. This is essentially a book of applications. Geodesics, curvature, embeddings of manifolds, blow-ups, complex and Kahler manifolds, symplectic geometry, torus actions, configurations and arrangements are all covered. The chapters related to these subjects act as an introduction to the topic, a survey, and a guide to the literature. But no matter what the particular subject is, the central theme of the book persists; namely, there is a beautiful connection between geometry and rational homotopy which both serves to solve geometric problems and spur the development of topological methods.

几何中的代数模型：结构、映射与拓扑的交织图书简介本书旨在深入探讨几何学中的代数结构与模型构建，为读者提供一个理解现代几何学核心思想的坚实基础。全书结构严谨，内容覆盖了从古典几何到现代微分几何和代数拓扑的关键概念，重点在于如何利用代数工具（如群论、环论、模论以及更抽象的范畴论）来刻画和分析几何对象的内在性质与外部关系。本书并非对任何特定主题（如“代数模型在几何中”）的全面综述，而是精选了一系列相互关联的概念，旨在揭示几何直觉与严格代数形式之间的深刻互文性。我们相信，许多看似纯粹的几何问题，只有在代数框架下才能得到最清晰、最普适的解答。 --- 第一部分：基础结构与线性化——几何的代数根源本部分致力于为后续的抽象构建打下基础，重点考察几何现象如何自然地归约为线性代数和基础代数结构。第一章：仿射空间与射影空间我们从欧几里得几何的推广开始。首先阐述仿射空间的定义，它脱离了原点的束缚，是研究位移和共线性的理想框架。随后，引入射影几何的概念，探讨“无穷远点”如何通过添加一个超平面被代数地构造进来。我们将详细分析射影空间的坐标表示，特别是齐次坐标的使用，如何将线性代数的工具（如矩阵变换）直接应用于处理透视投影和交比不变性等几何问题。本章强调，线性代数中的子空间概念如何直接对应于仿射几何中的线、平面乃至更高维度的子空间。第二章：群论与几何变换本章的核心是将几何变换视为代数群的作用。我们详细分析欧几里得群（刚体运动）、相似变换群以及更广义的仿射变换群。通过研究这些群的生成元、子群结构和同构关系，读者可以从代数的角度理解几何对称性。我们将介绍李群的初步概念，虽然不深入其微分结构，但会展示有限群作用在几何对象上时所产生的轨道和稳定子结构，这是理解几何分类的关键。第三章：二次型与二次曲面本部分转向经典微分几何的代数先驱。我们研究二次型在向量空间上的表现，特别是其规范形（如拉格朗日分解）。在 $mathbb{R}^n$ 中，二次型决定了二次曲面的分类（椭圆、双曲、抛物面族）。本章将展示，通过正交变换（群论的应用）将二次型对角化，可以直接导出几何曲面的标准方程，从而实现几何分类的代数化。 --- 第二部分：流形与微分结构——切空间与张量分析本部分将主题提升到光滑几何的范畴，关注局部结构如何通过微分工具被精确捕获。第四章：微分流形基础与切空间流形作为局部欧几里得空间的拓扑集合，是现代几何学的基本构建块。本章将严格定义微分流形，重点讲解坐标系之间的光滑转换函数（图集）。核心在于切空间的引入：切空间被定义为一个导子（Derivation）的向量空间，这直接连接了第一部分中的向量空间概念。我们将展示，在一个点上的切空间，其维度总是等于流形的维度。第五章：张量代数与外微分本章深入探讨张量的几何意义。张量不再仅仅是多线性函数，而是研究流形上几何量（如长度、角度、曲率）在坐标变换下的行为的工具。我们将详细分析协变张量和反变张量。随后，引入微分形式（作为特定的协变张量）和外导数（$mathrm{d}$ 算子）。通过外微分的构造，我们展现了法拉第定律、麦克斯韦方程组等物理定律的统一表达，展示了代数结构在描述连续体属性上的威力。第六章：黎曼几何的代数基础黎曼度量被定义为一个光滑的二次型张量 $g$。本章侧重于如何利用这个度量张量来定义几何结构，如长度、角度和体积元素。关键在于介绍黎曼联络（Christoffel符号的来源），它允许我们在相邻点之间进行向量的“平行移动”。我们将解释曲率张量（里奇张量、黎曼张量）是如何作为联络的非可积性度量，从而代数地刻画空间弯曲的程度。 --- 第三部分：拓扑与代数拓扑的桥梁本部分关注几何对象的全局不变性质，并介绍如何使用代数工具来提取这些不变量。第七章：同调论导论——洞的代数计数拓扑学关注的是在连续形变下保持不变的性质。本章介绍同调论的基本思想，即如何用代数对象（链复形、边界算子）来刻画空间中的“洞”。我们将定义链群 $C_n(X)$、边界算子 $partial_n$，并解释如何通过 $partial_n circ partial_{n+1} = 0$ 这一代数关系来定义 $n$ 阶同调群 $H_n(X) = ker(partial_n) / mathrm{Im}(partial_{n+1})$。这展示了如何用群论的语言精确地“计算”拓扑空间的连通性和洞的数量。第八章：基本群与纤维丛本章探讨更精细的“一维洞”——环路结构。我们将介绍庞加莱的 $pi_1(X)$ 群（基本群），并通过其非交换性来区分不同类型的空间（例如圆周与圆盘）。随后，我们过渡到纤维丛的概念，这是一种描述局部结构如何粘连成全局结构的结构。纤维丛的分类与基本群密切相关，展示了代数结构在理解几何“缠绕”方式上的强大作用。第九章：范畴论视角下的几何作为总结，本章从更高的抽象层次审视前述所有结构。范畴、函子和自然性被引入。我们将把向量空间、群、流形乃至拓扑空间视为不同的范畴。通过考察“遗忘函子”（忘记结构，保留底层集合）或“微分函子”（从流形到张量），读者将看到几何对象之间的关系可以通过代数映射（函子）来系统地比较和分类。这为几何研究提供了一种普适的元理论框架。 --- 结语本书所展示的路径证明了，几何的直觉美感与代数的精确性并非相互排斥，而是互为表里。通过这些模型的构建与应用，读者将能以一种全新的、更具洞察力的方式，去审视从古典几何到现代物理理论中出现的空间结构问题。本书适合具有扎实线性代数和微积分基础的研究生及高年级本科生。