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出版者:Oxford University Press, USA

作者:Yves Félix

出品人:

頁數:304

译者:

出版時間:2008-5-25

價格:USD 60.00

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780199206520

叢書系列:Oxford Graduate Texts in Mathematics

圖書標籤:

數學
幾何
其餘代數7
代數
代數幾何
模型
代數
幾何
數學
抽象代數
代數結構
多項式
理想
環論

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具體描述

Rational homotopy is a very powerful tool for differential topology and geometry. This text aims to provide graduates and researchers with the tools necessary for the use of rational homotopy in geometry. Algebraic Models in Geometry has been written for topologists who are drawn to geometrical problems amenable to topological methods and also for geometers who are faced with problems requiring topological approaches and thus need a simple and concrete introduction to rational homotopy. This is essentially a book of applications. Geodesics, curvature, embeddings of manifolds, blow-ups, complex and Kahler manifolds, symplectic geometry, torus actions, configurations and arrangements are all covered. The chapters related to these subjects act as an introduction to the topic, a survey, and a guide to the literature. But no matter what the particular subject is, the central theme of the book persists; namely, there is a beautiful connection between geometry and rational homotopy which both serves to solve geometric problems and spur the development of topological methods.

幾何中的代數模型：結構、映射與拓撲的交織圖書簡介本書旨在深入探討幾何學中的代數結構與模型構建，為讀者提供一個理解現代幾何學核心思想的堅實基礎。全書結構嚴謹，內容覆蓋瞭從古典幾何到現代微分幾何和代數拓撲的關鍵概念，重點在於如何利用代數工具（如群論、環論、模論以及更抽象的範疇論）來刻畫和分析幾何對象的內在性質與外部關係。本書並非對任何特定主題（如“代數模型在幾何中”）的全麵綜述，而是精選瞭一係列相互關聯的概念，旨在揭示幾何直覺與嚴格代數形式之間的深刻互文性。我們相信，許多看似純粹的幾何問題，隻有在代數框架下纔能得到最清晰、最普適的解答。 --- 第一部分：基礎結構與綫性化——幾何的代數根源本部分緻力於為後續的抽象構建打下基礎，重點考察幾何現象如何自然地歸約為綫性代數和基礎代數結構。第一章：仿射空間與射影空間我們從歐幾裏得幾何的推廣開始。首先闡述仿射空間的定義，它脫離瞭原點的束縛，是研究位移和共綫性的理想框架。隨後，引入射影幾何的概念，探討“無窮遠點”如何通過添加一個超平麵被代數地構造進來。我們將詳細分析射影空間的坐標錶示，特彆是齊次坐標的使用，如何將綫性代數的工具（如矩陣變換）直接應用於處理透視投影和交比不變性等幾何問題。本章強調，綫性代數中的子空間概念如何直接對應於仿射幾何中的綫、平麵乃至更高維度的子空間。第二章：群論與幾何變換本章的核心是將幾何變換視為代數群的作用。我們詳細分析歐幾裏得群（剛體運動）、相似變換群以及更廣義的仿射變換群。通過研究這些群的生成元、子群結構和同構關係，讀者可以從代數的角度理解幾何對稱性。我們將介紹李群的初步概念，雖然不深入其微分結構，但會展示有限群作用在幾何對象上時所産生的軌道和穩定子結構，這是理解幾何分類的關鍵。第三章：二次型與二次麯麵本部分轉嚮經典微分幾何的代數先驅。我們研究二次型在嚮量空間上的錶現，特彆是其規範形（如拉格朗日分解）。在 $mathbb{R}^n$ 中，二次型決定瞭二次麯麵的分類（橢圓、雙麯、拋物麵族）。本章將展示，通過正交變換（群論的應用）將二次型對角化，可以直接導齣幾何麯麵的標準方程，從而實現幾何分類的代數化。 --- 第二部分：流形與微分結構——切空間與張量分析本部分將主題提升到光滑幾何的範疇，關注局部結構如何通過微分工具被精確捕獲。第四章：微分流形基礎與切空間流形作為局部歐幾裏得空間的拓撲集閤，是現代幾何學的基本構建塊。本章將嚴格定義微分流形，重點講解坐標係之間的光滑轉換函數（圖集）。核心在於切空間的引入：切空間被定義為一個導子（Derivation）的嚮量空間，這直接連接瞭第一部分中的嚮量空間概念。我們將展示，在一個點上的切空間，其維度總是等於流形的維度。第五章：張量代數與外微分本章深入探討張量的幾何意義。張量不再僅僅是多綫性函數，而是研究流形上幾何量（如長度、角度、麯率）在坐標變換下的行為的工具。我們將詳細分析協變張量和反變張量。隨後，引入微分形式（作為特定的協變張量）和外導數（$mathrm{d}$ 算子）。通過外微分的構造，我們展現瞭法拉第定律、麥剋斯韋方程組等物理定律的統一錶達，展示瞭代數結構在描述連續體屬性上的威力。第六章：黎曼幾何的代數基礎黎曼度量被定義為一個光滑的二次型張量 $g$。本章側重於如何利用這個度量張量來定義幾何結構，如長度、角度和體積元素。關鍵在於介紹黎曼聯絡（Christoffel符號的來源），它允許我們在相鄰點之間進行嚮量的“平行移動”。我們將解釋麯率張量（裏奇張量、黎曼張量）是如何作為聯絡的非可積性度量，從而代數地刻畫空間彎麯的程度。 --- 第三部分：拓撲與代數拓撲的橋梁本部分關注幾何對象的全局不變性質，並介紹如何使用代數工具來提取這些不變量。第七章：同調論導論——洞的代數計數拓撲學關注的是在連續形變下保持不變的性質。本章介紹同調論的基本思想，即如何用代數對象（鏈復形、邊界算子）來刻畫空間中的“洞”。我們將定義鏈群 $C_n(X)$、邊界算子 $partial_n$，並解釋如何通過 $partial_n circ partial_{n+1} = 0$ 這一代數關係來定義 $n$ 階同調群 $H_n(X) = ker(partial_n) / mathrm{Im}(partial_{n+1})$。這展示瞭如何用群論的語言精確地“計算”拓撲空間的連通性和洞的數量。第八章：基本群與縴維叢本章探討更精細的“一維洞”——環路結構。我們將介紹龐加萊的 $pi_1(X)$ 群（基本群），並通過其非交換性來區分不同類型的空間（例如圓周與圓盤）。隨後，我們過渡到縴維叢的概念，這是一種描述局部結構如何粘連成全局結構的結構。縴維叢的分類與基本群密切相關，展示瞭代數結構在理解幾何“纏繞”方式上的強大作用。第九章：範疇論視角下的幾何作為總結，本章從更高的抽象層次審視前述所有結構。範疇、函子和自然性被引入。我們將把嚮量空間、群、流形乃至拓撲空間視為不同的範疇。通過考察“遺忘函子”（忘記結構，保留底層集閤）或“微分函子”（從流形到張量），讀者將看到幾何對象之間的關係可以通過代數映射（函子）來係統地比較和分類。這為幾何研究提供瞭一種普適的元理論框架。 --- 結語本書所展示的路徑證明瞭，幾何的直覺美感與代數的精確性並非相互排斥，而是互為錶裏。通過這些模型的構建與應用，讀者將能以一種全新的、更具洞察力的方式，去審視從古典幾何到現代物理理論中齣現的空間結構問題。本書適閤具有紮實綫性代數和微積分基礎的研究生及高年級本科生。