历年真题分类解析2009 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787541627590

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《高等代数精讲与习题解析》 内容概要： 本书旨在为学习高等代数课程的读者提供一本内容全面、讲解深入、习题详尽的参考资料。全书共分十一章，涵盖了高等代数的核心内容，从基础的集合、数域，到线性代数的核心——向量空间、线性变换、矩阵理论，再到经典代数中的多项式理论、特征值与特征向量，以及欧几里得空间和二次型等重要专题。 第一部分：基础回顾与奠基（第一章至第三章） 第一章：数域与基本概念 本章首先回顾了有理数域 $mathbb{Q}$、实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 的基本性质和代数结构。重点阐述了数域的概念，为后续的抽象代数结构讨论打下基础。我们详细分析了数域上的运算律，并引入了集合、映射等基础的集合论工具。 第二章：线性空间（向量空间） 线性空间是高等代数的基石。本章从抽象的定义出发，阐述了向量空间必须满足的八条公理。随后，深入探讨了子空间、线性组合、线性相关性与线性无关性。通过大量的实例，如函数空间、多项式空间，帮助读者建立对抽象向量空间的直观认识。关键内容包括基与维数的概念及其重要定理，例如基的唯一性、有限维空间中的基本性质。 第三章：线性映射与矩阵 线性映射（或称线性变换）是连接不同向量空间的桥梁。本章详细讨论了线性映射的定义、性质，包括核空间（Kernel）和像空间（Image）的概念，以及维度定理（秩-零化度定理）。随后，我们自然地引入了矩阵，探讨了矩阵的加法、乘法、转置等运算。重点在于矩阵如何表示线性变换，以及矩阵的秩与线性方程组解的关联。本章末尾，通过初等行变换和行阶梯形矩阵，系统讲解了求解线性方程组的方法，包括克莱姆法则和高斯消元法。 第二部分：矩阵理论与特征分析（第四章至第七章） 第四章：矩阵的相似理论 矩阵的相似性是简化计算和揭示变换本质的关键。本章定义了相似矩阵的概念，并讨论了相似变换对矩阵迹、行列式、特征多项式的影响。我们引入了相似标准形的概念，为第五章特征值理论做铺垫。 第五章：特征值与特征向量 特征值与特征向量是分析线性变换不变方向的核心工具。本章系统讲解了如何计算特征值和特征向量，讨论了它们的性质，包括实对称矩阵的特征值性质。本章的难点和重点在于对代数重数和几何重数的深入分析，并给出了矩阵可对角化的充要条件。 第六章：矩阵的更进一步分析：若尔当标准型 对于不可对角化的矩阵，若尔当标准型提供了最简表示。本章首先引入了广义特征向量和循环子空间的概念。然后，详细构造了若尔当块和若尔当标准型，并给出了将任意方阵化为若尔当标准型的算法步骤，这是矩阵理论中的一个高级且重要的结论。 第七章：行列式理论 行列式是衡量矩阵性质的重要数量指标。本章从二维、三维空间中的几何意义出发，引入了排列与置换的概念，给出了行列式的代数定义。我们深入探讨了行列式的性质，包括行列式与矩阵乘法、逆矩阵的关系。重点讲解了代数余子式、拉普拉斯展开定理，并阐述了行列式在判断矩阵可逆性、求解线性方程组（克莱姆法则）中的应用。 第三部分：内积空间与二次型（第八章至第十章） 第八章：内积空间与正交性 本章将线性空间的概念提升到内积空间（或称为内积线性空间）的层面。我们定义了内积的概念，并由此引申出长度（范数）、距离和角度的概念。重点讨论了正交向量组、正交基和规范正交基。格拉姆-施密特正交化过程是本章的核心计算方法，它保证了在任何有限维内积空间中都存在一组规范正交基。 第九章：实对称矩阵与正交变换 本章是应用环节的高潮。我们证明了实对称矩阵具有一系列优良性质，特别是它可以被正交相似对角化。接着，详细讨论了正交矩阵和正交变换的性质。通过正交变换，可以将许多复杂的线性变换简化，为下一章的二次型奠定基础。 第十章：二次型及其标准形 二次型是二次多项式在向量空间上的推广。本章首先将二次型表示为矩阵形式 $x^T A x$。关键在于如何通过变量替换（即正交变换）将二次型化为标准形，即只含平方项的形式。我们利用特征值理论，证明了二次型的规范形是主轴定理的直接应用。本章最后讨论了二次型的正定性、半正定性，这在优化理论和稳定性分析中至关重要。 第四部分：多项式理论与扩展（第十一章） 第十一章：多项式与多项式环 本章回归代数基础，专注于域上的多项式。我们讨论了多项式的加法、乘法、除法（带余除法）及其性质。重点讲解了多项式的根的性质，包括重根、有理根定理。我们引入了多项式的最大公因式（GCD）及其欧几里得算法，并探讨了多项式环上的理想和唯一分解性，为理解更一般的环结构提供了一个具体的例子。 本书特色： 1. 理论深度与广度兼顾： 不仅覆盖了标准课程要求的所有核心概念，更引入了若尔当标准型和多项式环等更深入的主题，适合需要扎实理论基础的学生。 2. 详细的例题分析： 每节内容后均配有精心挑选的例题，这些例题不仅展示了定理的应用，还常常揭示了概念背后的深层逻辑。 3. 清晰的逻辑链条： 全书结构严谨，层层递进。从向量空间到线性变换，再到矩阵的相似性，最后过渡到内积空间和二次型，知识点的衔接自然流畅。 4. 详尽的习题解析： 书末附有大量的课后习题，并提供详细的解题步骤和思路分析，帮助读者检验学习效果并掌握解题技巧。 本书适合作为理工科、经济学、信息科学等专业学生高等代数课程的教材或参考书，尤其适合准备深入学习线性代数、抽象代数或应用数学的读者。

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