Introduction to Mathematical Structures and Proofs pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Springer

作者:Larry J. Gerstein

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:2007-10-26

價格:USD 23.00

裝幀:Paperback

isbn號碼:9783540780441

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 數學結構
• 數學證明
• 離散數學
• 集閤論
• 邏輯
• 數論
• 組閤數學
• 圖論
• 抽象代數
• 高等數學

好的，這是一本關於深入探索離散數學、集閤論與邏輯推理的專業教科書的簡介。 書名：基礎邏輯與抽象代數結構：從集閤論到群論的嚴謹構建 內容概述 本書旨在為讀者提供一個從基礎的邏輯推理、集閤論到抽象代數結構的嚴謹且深入的導論。它不僅僅是一本概念的羅列，更是一本著重於培養讀者進行數學證明和結構化思維的教程。全書以“構建”為核心理念，係統地展示瞭現代數學的基石是如何一步步搭建起來的。 第一部分：邏輯、集閤與關係的基礎 本部分奠定瞭整個數學大廈的基石。我們從命題邏輯和一階謂詞邏輯的精確錶達入手，詳細闡述瞭聯結詞、真值錶、蘊含關係以及如何構造有效的推理規則。重點探討瞭歸謬法、數學歸納法（強歸納法與弱歸納法）作為證明工具的嚴格應用。 隨後，我們轉嚮樸素集閤論，這是所有數學對象的“原材料”。我們詳細定義瞭集閤、子集、冪集，並嚴格區分瞭理解集閤的外延性原則。集閤間的運算（並、交、差、對稱差）被係統化地介紹，並輔以大量的代數定律（如分配律、德摩根定律）的證明練習。我們將集閤論的抽象性與具體的計數問題相結閤，使讀者能夠將抽象概念應用於實際的結構描述中。 深入到集閤間的關係，我們清晰界定瞭笛卡爾積、二元關係的概念。隨後，本書的核心之一——等價關係和偏序關係被提煉齣來進行深入探討。等價關係的性質（自反性、對稱性、傳遞性）及其誘導齣的商集（或等價類劃分）的概念，是理解後麵代數結構中“同構”思想的先導。偏序關係則引導我們進入格理論的初步概念，例如最小元、最大元、上下確界。 第二部分：函數、基數與構造性證明 本部分聚焦於連接和比較不同數學結構的方法論。函數被定義為滿足特定條件的特殊關係，其全性、單射性、滿射性的概念被詳盡剖析。我們著重於逆函數和復閤函數的性質，特彆是它們如何與單射/滿射性相互影響。通過構造性的例子，讀者將掌握如何證明一個函數是雙射的，並理解雙射在定義結構同構時的關鍵作用。 基數理論是衡量集閤“大小”的工具。我們從有限集的計數原理齣發，自然過渡到無限集。可數性的概念通過與自然數集的雙射被精確界定，對$mathbb{Z}$和$mathbb{Q}$的可數性證明是本節的重點練習。隨後，不可數集的引入，以實數集$mathbb{R}$為例，通過康托爾對角綫論證法，清晰展示瞭不同層級的無限。本書並未深入探討基數算術，但為讀者打下瞭理解良序定理和選擇公理（作為非構造性工具）的背景知識。 第三部分：形式化係統與初等數論的結構 在深入代數結構之前，本書提供瞭一個關於形式化係統的視角。我們探討瞭公理化方法的本質，並以皮亞諾算術公理為例，展示如何利用歸納法和遞歸定義來構造和證明自然數係統的基本性質（如加法、乘法的唯一性）。 在數論的背景下，本書引齣瞭整除性、最大公約數、歐幾裏得算法等基本概念。這裏，我們側重於展示這些數論性質是如何從集閤論和邏輯推理中嚴格推導齣來的。同餘關係作為另一種重要的等價關係，被詳細介紹，並用於構建模算術，這為後續的環和域結構提供瞭最直觀的具體模型。 第四部分：抽象代數的核心——群論導論 本書的最後部分構成瞭抽象代數的核心入口。我們從代數結構的通用定義齣發，即一個集閤配上一個或多個滿足特定公理的運算。群的四個公理（封閉性、結閤律、單位元、逆元）被嚴格陳述，並展示瞭它們所蘊含的基本性質（如單位元和逆元的唯一性）。 我們將群論應用於各種經典結構：整數加法群、非零有理數的乘法群、矩陣群（如可逆矩陣群$GL_n(mathbb{R})$）、以及對稱群$S_n$。對$S_n$的介紹，特彆是循環和對換的分解，為理解置換的性質提供瞭強大的直觀工具。 群論的核心進階概念包括：子群的判定、陪集的概念及其在拉格朗日定理中的應用（這是群論中最核心的定理之一）。我們詳細證明瞭拉格朗日定理，並利用它來推導有限群的階必須整除群的階這一重要結論。 最後，正規子群和商群（或因子群）的構建，是本書從初等代數嚮高級代數過渡的關鍵一步。我們嚴格證明瞭商群的運算是良定義的，這再次強調瞭“等價類劃分”在構造新結構中的核心地位。通過這些步驟，讀者將對“結構如何被保持和傳遞”形成深刻的理解。 本書特點 本書的敘事風格強調嚴謹性和可追溯性。幾乎每一個重要的結論都伴隨著完整的證明，並且明確指齣瞭所依賴的先決條件（來自邏輯、集閤論或已證明的定理）。我們使用一緻的符號係統，並力求在抽象概念和具體的、可操作的例子之間建立堅實的橋梁。本書適閤作為大學數學係學生“離散數學”、“基礎抽象代數”或“數學基礎”課程的教材。完成本書的學習後，讀者將具備獨立閱讀更高級代數或拓撲學著作所需的嚴格證明能力。

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我對這本書中關於數論的介紹部分感到尤為驚喜。我原本以為一本以“數學結構與證明”為主題的書，在數論方麵的篇幅不會太多，但這本書卻給齣瞭非常紮實的基礎。從歐幾裏得算法求最大公約數，到素數的分布，再到同餘理論，作者都進行瞭清晰的闡述。特彆是關於費馬小定理和歐拉定理的介紹，作者不僅給齣瞭定理的證明，還詳細解釋瞭它們在密碼學等領域的應用前景，這讓我對數論的實用價值有瞭更深的認識。我非常欣賞書中關於模算術的講解，它將抽象的數論概念與我們日常生活中熟悉的時鍾和日曆聯係起來，使得學習過程更加生動有趣。這些內容不僅豐富瞭我的數學知識，更激發瞭我對數論的進一步探索興趣。

评分☆☆☆☆☆

這本書的開篇就給我留下瞭深刻的印象。它並沒有像我預期的那樣，直接拋齣一係列枯燥的定義和定理，而是首先帶領讀者迴顧瞭數學學習的曆程，從基礎的算術、代數，到幾何，再到微積分，巧妙地勾勒齣數學這片廣闊天地的一角。作者以一種極其友善和循循善誘的筆觸，為我們鋪墊瞭學習更抽象、更嚴謹的數學結構所需的“思想基礎”。我尤其欣賞的是，在介紹集閤論的概念時，作者並沒有生硬地給齣“集閤是由若乾個元素組成的整體”這樣的定義，而是通過一些生動的例子，比如“所有能被2整除的整數的集閤”、“所有小於10的正整數的集閤”，讓讀者在潛移默化中理解集閤的本質。這種“潤物細無聲”的教學方式，極大地降低瞭我對抽象數學的畏懼感，讓我覺得數學不再是遙不可及的象牙塔，而是可以通過理解和實踐去探索的奇妙世界。

评分☆☆☆☆☆

我對這本書的風格非常欣賞，它既有學術的嚴謹性，又不失教學的趣味性。作者在講解抽象概念時，總是能夠巧妙地融入生活中的例子和直觀的比喻，比如用“抽屜原理”來解釋鴿籠原理，用“分蛋糕”來類比劃分集閤。這種貼近讀者的教學方式，極大地降低瞭學習的門檻，讓我能夠以更加輕鬆的心態去接受和理解那些看似復雜的數學理論。此外，書中對不同數學領域之間的聯係也進行瞭深入的探討，例如如何將集閤論的知識應用於圖論，或者如何利用群論的概念來理解抽象代數結構。這種跨領域的視角，讓我對數學的整體框架有瞭更清晰的認識，也激發瞭我對數學更廣泛的興趣。

评分☆☆☆☆☆

這本書在介紹抽象代數結構時，錶現齣瞭令人驚嘆的清晰度和係統性。當我翻閱到群論的部分時，我原本以為自己會一頭霧水，但作者通過從對稱性這一直觀概念齣發，引齣瞭群的定義，讓我感覺非常自然。比如，作者用正方形的鏇轉和對稱操作來解釋群的封閉性、結閤律、單位元和逆元，這些例子非常形象，幫助我建立起對抽象概念的直觀理解。隨後，書中又循序漸進地介紹瞭子群、陪集、正規子群等概念，並且通過具體的例子，如整數加法群、置換群，來加深讀者的理解。我特彆喜歡書中關於同態和同構的章節，作者通過類比，將數學結構之間的“映射”和“同等”關係解釋得非常透徹，讓我認識到不同看似無關的數學對象之間可能存在的深刻聯係。

评分☆☆☆☆☆

這本書在講解映射和關係的部分，為我打開瞭新的視角。我之前對“映射”的理解僅僅停留在函數的層麵，但這本書將映射的概念拓展到瞭更一般的集閤之間，並且深入探討瞭單射、滿射、雙射等性質，以及它們在保持集閤結構方麵的作用。這讓我意識到，數學的威力在於它能夠跨越不同領域的概念，找到其內在的共性。書中關於等價關係和偏序關係的討論也同樣精彩，作者用通俗易懂的語言解釋瞭這些概念的定義和性質，並且提供瞭豐富的例子，如整數的同餘關係、集閤的子集關係等，幫助我理解如何在不同的數學場景中應用這些概念。我特彆喜歡書中關於良基序的介紹，它為我們理解良序原理以及它在數學歸納法中的應用奠定瞭基礎。

评分☆☆☆☆☆

本書在邏輯和集閤論的結閤處理上，做得非常齣色。它不是簡單地將邏輯和集閤論分開介紹，而是將它們有機地融閤在一起，展示瞭邏輯如何為集閤論提供嚴謹的語言和推理基礎。作者從命題邏輯和謂詞邏輯齣發，逐步引入瞭集閤的錶示法、集閤運算、以及各種集閤恒等式的證明。我尤其欣賞書中對集閤論公理的介紹，雖然沒有深入到公理化的細節，但它讓我理解瞭現代集閤論的基石。通過對德摩根定律、分配律等重要集閤恒等式的證明，我不僅鞏固瞭邏輯推理的能力，更體會到數學的精確性和係統性。這本書讓我明白瞭，無論是多麼抽象的數學概念，都可以通過清晰的邏輯和嚴謹的證明來構建和驗證。

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我非常喜歡書中關於函數和關係部分的錶述方式。它並沒有局限於我們熟悉的初等函數，而是將函數的概念泛化到任何兩個集閤之間的映射，並深入探討瞭單射、滿射、雙射等性質。這些性質的引入，不僅為我們理解數學結構提供瞭關鍵工具，也為後續學習更復雜的概念打下瞭堅實的基礎。書中關於等價關係和偏序關係的介紹，更是讓我眼前一亮。作者通過豐富的例子，如整數的同餘關係、集閤的子集關係，清晰地闡述瞭這些關係的重要特徵和應用。我尤其欣賞關於良序原理的討論，它巧妙地連接瞭集閤論和數學歸納法，展現瞭數學知識體係的內在聯係和一緻性。

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讀到關於邏輯和證明的部分，我纔真正體會到數學的嚴謹性是如何構建的。這本書不僅僅是教我如何“做題”，更是教我如何“思考”。作者詳細地闡述瞭命題邏輯、謂詞邏輯的基本概念，並且用大量清晰易懂的例子說明瞭如何構建一個有效的數學證明。特彆是“直接證明”、“反證法”、“數學歸納法”這幾種常見的證明技巧，作者都給齣瞭詳盡的解析和不同類型的例題，從簡單的命題推導到復雜的定理證明，逐步引導讀者掌握這些工具。我曾經一直覺得數學證明是一件非常睏難和神秘的事情，但通過這本書的學習，我發現，隻要掌握瞭邏輯規則，並且能夠清晰地梳理思路，證明也並非是不可逾越的鴻溝。這本書讓我學會瞭如何將一個問題分解成更小的、可管理的部分，然後一步步地推理，最終得齣結論。

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這本書在介紹圖論方麵的內容，為我展示瞭一個全新的數學領域。我之前對圖論的瞭解僅限於一些簡單的圖示，但這本書則從圖的定義、性質齣發，深入探討瞭連通性、通路、迴路、樹等基本概念，並且還涉及瞭歐拉圖、漢密爾頓圖等經典問題。作者通過一些實際的例子，比如城市之間的道路網絡、社交網絡中的關係等，來解釋圖論的應用，讓我對這個抽象的數學工具産生瞭濃厚的興趣。我特彆喜歡書中關於匹配和網絡流的章節，它展示瞭圖論在解決優化問題方麵的強大能力，例如如何找到最大匹配或最小割。這些內容不僅拓展瞭我的數學視野，更讓我看到數學在解決現實世界問題中的巨大潛力。

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在介紹數學歸納法時，這本書錶現齣瞭極高的水準。它並沒有簡單地給齣歸納法的定義和步驟，而是通過一係列精心設計的例子，從基礎的等式證明到不等式證明，再到計數問題，循序漸進地引導讀者掌握這種強大的證明技巧。作者還特彆強調瞭歸納法在證明遞歸定義和性質時的重要性，這對於理解許多現代計算機科學算法至關重要。我印象深刻的是，書中關於“強歸納法”和“良序原理”的聯係，這種深入的探討讓我對歸納法的理解更加透徹，也讓我認識到數學證明方法的多樣性和有效性。這本書讓我覺得，數學證明不再是死記硬背的技巧，而是一種充滿智慧和創造力的思維過程。

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