Analyzing Multiscale Phenomena Using Singular Perturbation Methods pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:

出品人:

页数:186

译者:

出版时间:1999-12

价格:USD 48.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821809297

丛书系列:

图书标签:

• 奇异摄动
• 多尺度现象
• 渐近分析
• 数学建模
• 偏微分方程
• 动力系统
• 应用数学
• 数值分析
• 物理学
• 工程学

《非线性动力学系统中的多尺度分析：从基础理论到前沿应用》 内容简介 本书全面深入地探讨了在处理具有明显时间或空间尺度分离现象的非线性动力学系统时所面临的理论挑战与实际应用。全书结构严谨，从基础的数学工具和物理背景出发，逐步深入到复杂的模型建立与前沿的研究领域。 第一部分：多尺度问题的数学基础与框架 本部分着重于构建理解和解决多尺度问题的理论框架。我们首先回顾了经典常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的解的性质，特别是奇异性对系统行为的影响。 第一章：尺度分离的本质与物理起源 本章详细阐述了在物理、工程、生物和金融等领域中，系统内不同物理过程或组分之间存在显著时间或空间尺度差异的普遍性。我们将考察热传导、化学反应速率、结构振动以及流体力学中的边界层现象等经典例子，奠定多尺度分析的物理直观基础。重点分析了慢变量和快变量的相互作用如何导致复杂、甚至看似矛盾的宏观和微观行为。 第二章：渐近展开方法概览 系统地介绍了处理尺度分离问题的核心数学工具——渐近展开。我们将区分常规摄动法（Regular Perturbation Theory）和奇异摄动法（Singular Perturbation Theory）的适用范围。对于常规情况，详细讨论泰勒级数展开在小参数下的收敛性和适用性。在奇异摄动部分，着重介绍系统在参数趋于零时，解的结构会发生根本性改变的现象，并引入了关键的代数和微分方程预处理技术，以揭示快速演化成分的存在。 第三章：时间尺度分离的经典方法：边界层理论 本章聚焦于常微分方程组中的时间尺度分离，这是奇异摄动理论的经典应用领域。我们将详述匹配原理（Method of Matched Asymptotic Expansions）。具体包括： 1. 内层（Inner Layer）和外层（Outer Layer）解的构造：定义快变量和慢变量，分别在不同时间尺度上建立近似解。 2. 匹配条件与连接函数：探讨如何通过比较内外层解的渐近行为，确定连接区域的解，确保解在整个时间域上的均匀有效性。 3. 应用实例：通过著名的范·德波尔振荡器（Van der Pol Oscillator）或Liénard系统，演示如何通过这种方法得到准稳态（Quasi-Steady State, QSS）近似解，从而将高频动态简化为低频动力学。 第二部分：偏微分方程中的空间尺度与均匀有效性 本部分将分析在空间域中存在显著尺度差异的偏微分方程系统，这是许多工程问题（如复合材料、多孔介质流）的核心挑战。 第四章：空间尺度分离与平均化原理 本章引入了平均化原理（Averaging Principle）和宏观化方法。对于具有周期性或统计平稳性的微观结构（如晶格或湍流脉动），我们探讨如何通过对微观变量进行空间平均，导出描述宏观平均行为的有效方程。详细讨论了如何利用傅里叶变换或小波分析来分离不同空间尺度上的信息。 第五章：薄膜与边界层问题 针对涉及薄层或陡峭梯度区域（如薄膜、扩散层或流体力学中的边界层）的偏微分方程，本章深入研究了更高级的匹配技术。我们将分析椭圆型和抛物型方程中，边界层解如何影响整体解的稳定性。特别是，如何利用应力函数或位移场在边界附近发生的快速变化，来修正全局的低阶近似。 第六章：多尺度有限元法（MsFEM）的理论基础 针对数值计算的挑战，本章介绍了多尺度有限元方法（MsFEM）的理论框架。不同于传统的有限元法需要极细的网格来解析所有尺度，MsFEM的目标是构建能够在粗网格上捕获多尺度信息的基函数。我们将重点阐述如何利用局部多尺度信息的投影算子来构造全局的、有效的基函数，从而实现计算效率和精度的平衡。 第三部分：非线性系统的复杂行为与高级技术 本部分转向那些表现出更丰富非线性现象，且传统线性化方法失效的系统。 第七章：慢流形理论（Slow Manifold Theory） 慢流形是多尺度动力学中一个极为重要的概念，它代表了系统在高频动态弛豫后所最终收敛的低维不变子空间。本章详细介绍如何利用中心流形理论和迭代方法来确定慢流形的方程。我们将展示，一旦系统被投影到慢流形上，其动力学行为就由一组简化的、只包含慢变量的微分方程所支配，这对于理解混沌和振荡背后的低维驱动机制至关重要。 第八章：随机过程与多尺度随机微分方程（SDEs） 在许多实际系统中，快变量的演化往往具有随机性，表现为白噪声或脉冲过程。本章将多尺度分析扩展到随机领域。我们讨论如何将快速的随机波动视为“噪声”，并利用其统计特性来修改慢变量的演化。重点包括：快速噪声的投影、Kloeden-Platen-Strong（KPS）方案在随机多尺度系统中的适用性，以及随机共振等现象在多尺度框架下的解释。 第九章：应用实例：从化学反应网络到材料科学 最后，本章通过两个深入的案例研究，展示前述理论方法的实际威力： 1. 复杂化学反应网络（如燃烧或催化）：分析快反应（如自由基生成）如何影响慢反应（如燃料消耗）的整体速率和稳定性，并利用QSS近似来简化模型，预测稳态解和振荡行为。 2. 复合材料的有效介质理论：考察由不同材料以微观结构交织而成的宏观材料。通过空间平均和渐近展开，推导描述宏观有效弹性模量或导电性的等效方程，重点讨论如何处理几何上的不规则性和随机性。 本书旨在为研究生、研究人员以及需要处理复杂工程和科学问题的工程师提供一个扎实且全面的参考。通过对数学工具的深入剖析和对实际物理问题的系统建模，读者将能够有效地识别和解决那些尺度分离导致的系统复杂性。

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对于我这样一名在科研领域摸爬滚打多年的学生来说，《Analyzing Multiscale Phenomena Using Singular Perturbation Methods》这个书名立刻吸引了我，它精准地描绘了我想探究的领域。我特别好奇的是，这本书在处理多尺度问题时，具体会涉及哪些数学建模的技巧，以及如何将现实世界的复杂系统抽象成可以应用奇异摄动方法的数学模型。书中会不会花篇幅详细讲解如何根据物理背景来设计合适的摄动参数，以及如何处理那些在小参数极限下行为发生剧烈变化的“奇异”部分？我希望它能够提供一套系统的框架，指导读者如何系统地分析一个多尺度问题，并从中提取出关键的物理机制。此外，对于奇异摄动方法本身，书中是否会深入探讨其理论的严谨性，比如收敛性证明、误差估计等，还是更侧重于实际应用中的技巧和经验？我很想知道，作者会如何阐述不同类型的奇异摄动方法（如边界层方法、复合展开法等）之间的区别和联系，以及在何种情况下选择哪种方法更为合适。这本书是否会包含一些“经典”的多尺度问题分析案例，比如流体力学中的边界层问题、化学反应动力学中的快慢反应问题、或者某些电磁学问题，并用奇异摄动方法进行深入剖析？

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这本书的名字《Analyzing Multiscale Phenomena Using Singular Perturbation Methods》听起来就充满了智慧和深度。我非常想知道，作者是如何将“多尺度现象”这种普遍存在于自然界和工程界的问题，与“奇异摄动方法”这种相对精密的数学工具联系起来的。我期待书中能够提供一个清晰的框架，帮助读者理解什么是多尺度现象，它们为什么会产生，以及为什么传统的分析方法可能失效。接着，我迫切希望了解奇异摄动方法是如何被用来应对这些挑战的，包括其核心思想、基本步骤以及各种方法的特点。书中是否会提供一些具体的数学公式和推导过程，来展示如何通过参数的渐近展开来获得问题的近似解？我很想知道，作者会如何解释“奇异”这个概念，以及它在数学模型中是如何体现的。我特别关注的是，这本书是否会包含一些实际的应用案例，例如在气动弹性力学、化学反应动力学、或者电路分析等领域，展示奇异摄动方法如何帮助我们理解和预测那些在不同尺度下表现出截然不同行为的现象。

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《Analyzing Multiscale Phenomena Using Singular Perturbation Methods》这个书名给我的第一印象是，它是一本能够解决复杂问题的“利器”。我尤其好奇的是，书中是如何将“多尺度现象”这个广阔的研究范畴，与“奇异摄动方法”这一具体的数学工具紧密结合的。我希望这本书能够提供一套清晰的思路，来指导读者如何识别一个问题中是否存在多尺度特征，以及这些特征是如何由奇异摄动产生的。更重要的是，我期待作者能够详细阐述如何运用奇异摄动方法来构建模型、分析渐近行为，并最终得到对系统整体行为的深刻理解。书中是否会涵盖不同类型的奇异摄动问题，比如边界层问题、内部层问题、或者自由边界问题？我非常希望能够看到具体的数学推导过程，以及如何通过分析参数的极限行为来获得不同尺度的近似解。这本书是否会提供一些关于如何验证渐近解的准确性，以及如何处理近似解的局限性的建议？我特别期待的是，书中能够通过一些具有代表性的案例，展示奇异摄动方法在解决实际问题时的强大威力，例如在流体力学、传热学、或者控制理论等领域。

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这本书的名字《Analyzing Multiscale Phenomena Using Singular Perturbation Methods》听起来非常吸引人，特别是“奇异摄动方法”这个关键词，它暗示着一种能够处理非线性、多尺度问题的强大数学工具。我非常期待书中能够深入讲解如何识别和处理那些由于参数的微小变化而导致系统行为发生显著改变的“奇异摄动”问题。例如，书中是否会提供一些清晰的图示或数值模拟结果，来直观地展示奇异摄动方法如何帮助我们理解和预测多尺度现象？我特别关心的是，作者在介绍奇异摄动方法时，是否会从最基本的一阶方程出发，逐步构建起更复杂的模型，并且如何有效地处理“不连续”或者“剧烈变化”的区域，也就是所谓的“奇异摄动”的精髓所在。我希望这本书能够提供一套实用的分析框架，让读者能够学会如何将复杂的工程或科学问题，转化为可以运用奇异摄动方法进行分析的数学模型。书中是否会涉及一些关于如何选择合适的摄动参数、以及如何对渐近解进行修正和验证的技巧？我期待的不仅仅是理论的介绍，更重要的是作者能够通过大量的实例，演示奇异摄动方法在不同领域的应用，比如在物理学、工程学、甚至生物学中，它是如何帮助科学家们揭示更深层次的规律。

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这本书的名字《Analyzing Multiscale Phenomena Using Singular Perturbation Methods》光是听起来就充满了挑战性，它直接点出了研究的核心——多尺度现象，以及解决问题的核心工具——奇异摄动方法。我迫不及待地想知道，作者是如何将这两个听起来就相当复杂的概念联系起来，并且为读者构建一个清晰的学习路径的。我很想了解，这本书是否会从基础的奇异摄动理论入手，逐步深入到更复杂的应用场景。例如，对于那些对“多尺度”概念感到模糊的读者，书中是否会提供清晰的物理或工程背景示例，来说明问题的复杂性以及为何需要特殊的数学工具来解决？我尤其关注的是，作者在介绍奇异摄动方法时，是否会详细解释其核心思想、基本假设以及不同方法的适用范围。会不会像“拉伸”和“压缩”空间的概念一样，用直观的比喻来帮助读者理解“奇异”为何物，以及“摄动”如何被用来解析那些看似棘手的问题？这本书是否会针对性地讲解如何识别问题中的主导项和次要项，以及如何通过参数的渐近展开来获得不同尺度下的近似解？我期待的是，它不仅仅是理论的堆砌，更能通过生动的案例，展示这些抽象的数学方法在解决实际问题时的强大力量。

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