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出版者:Prentice Hall

作者:Peter J. Olver

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005-09-12

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9781405832489

丛书系列:

图书标签:

• math
• 线性代数
• 应用线性代数
• 数学
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线性代数中的核心概念与现代应用 本书旨在为读者提供一套全面且深入的线性代数知识体系，重点关注该学科在工程学、计算机科学、物理学及经济学等现代交叉领域中的实际应用。我们不侧重于对《应用线性代数》一书特定内容的复述，而是将目光投向线性代数这门学科本身的基石、演变及其在解决复杂现实问题中的强大能力。 第一部分：向量空间与基本结构 线性代数的基石在于对向量空间（Vector Spaces）的精确理解。本书伊始，我们将从最基础的数域（如实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$）出发，系统地定义向量空间的公理化结构，包括向量的加法封闭性、标量乘法的分配律与结合律等。我们不仅会考察 $mathbb{R}^n$ 这样的欧几里得空间，更会探讨函数空间、多项式空间等抽象向量空间，从而拓宽读者的思维边界。 紧接着，子空间（Subspaces）的概念被引入，它们是向量空间中保持线性结构的小型结构。我们将详细剖析由一组向量张成（Span）的子空间，并引入至关重要的线性无关性（Linear Independence）的概念。如何利用线性无关性来确定一组向量是否构成向量空间的基（Basis），以及维度（Dimension）如何唯一地描述一个向量空间的大小，将是本部分的核心探讨内容。我们还会深入研究向量空间的直和（Direct Sum）分解，这为理解复杂空间结构提供了有力的工具。 第二部分：线性变换与矩阵表示 线性代数的核心在于描述对象之间的线性映射（Linear Transformations），即所谓的线性变换。本书将从定义出发，探讨线性变换的核（Kernel，或零空间 $ ext{Null}(T)$）和像（Image，或值域 $ ext{Range}(T)$），以及著名的秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem），它揭示了变换输入空间维度与输出空间维度之间的内在平衡。 任何有限维向量空间之间的线性变换都可以用矩阵（Matrices）来表示。本章将详细论述如何根据不同的基选择，构建出代表同一线性变换的相似矩阵（Similar Matrices）。矩阵的乘法运算将被赋予几何意义，理解其代表复合变换。此外，我们将深入分析矩阵的列空间（Column Space）、行空间（Row Space）和零空间之间的深刻联系，这是理解线性方程组解集结构的关键。 第三部分：线性方程组的求解与分解 线性方程组（Systems of Linear Equations）是线性代数最直接的应用场景。我们将摒弃传统代数中依赖于试错的解法，转而采用系统化的高斯消元法（Gaussian Elimination）和行阶梯形（Row Echelon Form）的理论框架。通过对增广矩阵的初等行变换，读者将学会如何系统地判断方程组是否存在唯一解、无穷多解或无解情况。 为了更好地理解方程组的结构和计算效率，本部分将介绍重要的矩阵分解技术。LU分解（上三角与下三角矩阵分解）在数值稳定性分析和大规模系统求解中的应用将得到详细阐述。对于非方阵或病态系统，矩阵的伪逆（Pseudoinverse）和最小二乘法（Least Squares Approximation）则是找到“最佳近似解”的关键工具。 第四部分：特征值、特征向量与对角化 特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）是理解线性系统动态行为的“自然基石”。特征向量代表了在特定线性变换作用下方向保持不变的向量，而特征值则描述了其缩放因子。我们将通过求解特征方程来确定这些值，并讨论代数重数（Algebraic Multiplicity）和几何重数（Geometric Multiplicity）之间的关系。 当一个 $n imes n$ 矩阵拥有 $n$ 个线性无关的特征向量时，它就是可对角化（Diagonalizable）的。对角化不仅极大地简化了矩阵的幂运算（$A^k$），更在求解线性常微分方程组、马尔可夫链分析中发挥着核心作用。对于不可对角化的矩阵，我们将引入若尔当标准型（Jordan Canonical Form）作为更一般的工具来理解其变换性质。 第五部分：内积空间与几何结构 将线性代数提升到更具几何意义的层面，需要引入内积（Inner Product）的概念，从而构建内积空间。内积定义了向量之间的长度和角度，使得我们可以讨论正交性（Orthogonality）。 基于正交性的思想，施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process）被用来将任意基转换为一组正交基或标准正交基。正交基的出现极大地简化了投影的计算，使得我们可以将复杂向量分解到相互独立的子空间上。正交补（Orthogonal Complements）的概念是理解矩阵的四个基本子空间（列空间、零空间、行空间、左零空间）如何相互关联的几何视角。 本部分还将探讨对称矩阵（Symmetric Matrices）的特殊性质，即它们总是正交对角化的。这在二次型（Quadratic Forms）的分析中至关重要，帮助我们识别函数曲面的形状（如椭圆、双曲线等），这在优化理论和统计学中具有广泛应用。 第六部分：张量、矩阵分析与高级主题 超越二维矩阵的范畴，本书将简要介绍张量（Tensors）的概念，它们是高阶线性代数的自然推广，广泛存在于材料科学、广义相对论和深度学习的计算框架中。 最后，我们将探讨奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）。SVD被誉为“矩阵的终极分解”，它适用于任何矩阵（无论方阵与否），并以一种对角化的方式揭示了矩阵的本质结构。SVD在主成分分析（PCA）、数据压缩、图像处理以及求解欠定/超定系统中的稳定性分析中扮演着不可替代的角色，代表了线性代数在现代信息科学中的威力体现。 通过对这些核心概念的深入钻研，读者将不仅掌握解决线性方程组的代数工具，更将建立起一个关于变换、结构和空间之间关系的高度抽象而又极其实用的数学框架。

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说实话，市面上关于线性代数的书籍很多，但真正能让我感到“茅塞顿开”的却不多。《Applied Linear Algebra》给我带来的惊喜，恰恰在于它对于复杂问题的分解能力。这本书在讲解线性代数的各种工具和方法时，总是能够将其与实际的计算过程紧密结合。例如，在学习高斯消元法的时候，它不仅仅是给出了算法步骤，还深入剖析了每一步操作的几何意义，比如行变换如何对应于对线性方程组解空间的改变。这让我不再是机械地记忆操作，而是理解了“为什么”要这么做。书中的例子也非常丰富，而且多是从工程、计算机科学等领域选取，这些例子都非常具有代表性，能够很好地说明线性代数在解决实际问题中的威力。我特别喜欢它在讲解奇异值分解（SVD）时，花了很大的篇幅来解释其在图像压缩、推荐系统等领域的应用，这让我看到了理论知识转化为实际价值的巨大潜力。它并没有回避那些稍微复杂一点的算法，而是通过清晰的图示和逐步的解析，让这些看似高深的技术变得触手可及。

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坦白讲，我一开始选择这本《Applied Linear Algebra》纯粹是因为它名字里带了个“Applied”，想着也许能跳过那些过于理论化、抽象得让人头疼的部分，直接学点能用的东西。线性代数对我来说，一直是个模糊的概念，只知道好像跟大数据、机器学习什么的沾边，具体怎么回事就一窍不通了。这本书的开篇章节，并没有一开始就抛出什么高深的定理，而是从一些实际应用场景出发，比如在计算机图形学中如何表示变换，或者在数据分析中如何压缩信息。这种“接地气”的引入方式，立刻就勾起了我的兴趣。它通过一些简单的例子，比如如何用矩阵来描述三维空间的旋转或者缩放，让我这个“小白”也能勉强跟上思路。更重要的是，书中的语言风格非常直接，没有太多冗余的修饰语，直奔主题，这点我很欣赏。有时候，过于华丽的语言反而会干扰我理解核心概念。它在讲解过程中，也会适时地穿插一些历史背景或者与其他学科的联系，比如它在讲到最小二乘法的时候，就提到了它在统计学和工程学中的广泛应用，这让我对线性代数的作用有了更宏观的认识。虽然我还没有深入到所有章节，但目前为止，它成功地改变了我对线性代数“难以理解”的刻板印象。

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这本书的封面设计相当朴素，没有那种花哨的插画或者引人注目的艺术字体，纯粹就是书名和作者的名字，显得非常“学究气”。当我第一次拿到它的时候，说实话，没有抱太大的期望，毕竟线性代数这个科目本身就充斥着抽象的概念和复杂的推导，很少有教材能做到既严谨又易懂。然而，翻开第一页，我就被它清晰的排版和相对舒展的字体吸引了。一开始我还在担心，这种“朴实无华”会不会隐藏着“粗糙的内容”，但读下去之后，我的顾虑才慢慢被打消。书中对于基本概念的引入，例如向量空间、线性组合、线性无关等，都采用了循序渐进的方式，并且配以大量的几何直观解释，这一点对于我这种更喜欢“看见”数学的人来说，简直是福音。它并没有直接抛出枯燥的定义，而是先从一些大家可能熟悉的问题入手，比如解方程组，然后自然而然地引出向量和矩阵的概念。我尤其喜欢它在介绍矩阵乘法时，不仅仅给出了公式，还详细解释了其背后的几何意义，比如向量的变换。这种“润物细无声”的讲解方式，让我感觉不是在被动地接受知识，而是在主动地探索和理解。而且，每章末的习题也设计得很巧妙，有基础的计算题，也有一些需要思考和拓展的概念题，恰到好处地巩固了所学内容。

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这本书的风格，可以说是务实而又深入。它没有刻意去追求某种新颖的叙述方式，而是回归到数学本身，以一种扎实、严谨的态度来阐述线性代数的原理。我注意到，书中对于符号的使用非常规范，并且始终保持一致，这在一定程度上减少了因符号混淆而带来的理解障碍。它在介绍概念的时候，往往会提供多种视角，比如从代数角度、几何角度，甚至是从变换的角度来理解同一个概念。这种多角度的解析，极大地丰富了我对线性代数的理解层次。我尤其欣赏它在处理抽象概念时，仍然能够保持一定的“可触摸性”。即使是像“抽象向量空间”这样的概念，书中的讲解也并没有让人感到完全脱离实际，而是通过一些类比或者简化的模型来帮助读者建立直观的认识。而且，书中的参考文献列表也非常详尽，这对于我这种喜欢追根溯源，进一步了解某个领域的人来说，非常有价值。总的来说，这本书给我的感觉就像是一位循循善诱的老师，它不会生硬地灌输知识，而是引导你去思考，去发现，让你在不知不觉中掌握了线性代数的精髓。

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我一直觉得，数学教材最关键的在于其逻辑结构的严谨性和内容的组织条理性。《Applied Linear Algebra》在这一点上做得相当出色。整本书的章节划分非常清晰，从最基础的向量和矩阵运算，逐步过渡到更复杂的概念，比如特征值、特征向量，再到应用部分。每一章的内容都建立在前一章的基础上，形成了一个层层递进的知识体系。它没有那种突兀的跳跃，让人感觉学习过程非常流畅。在我学习某个新概念的时候，如果发现有不理解的地方，这本书的总能提供恰当的参考或者回顾，让我能够快速回到之前的知识点进行巩固。而且，书中对于证明的讲解也相当到位，它不会仅仅给出结论，而是会详细地展示证明的每一步，并辅以解释，使得整个证明过程既有严谨性，又不失可读性。我尤其欣赏它在介绍某个定理或者性质时，会先说明这个定理的意义和应用背景，然后再进行严格的证明，这样一来，我学习的动力和目的性就更强了。有时候，学习过程就像是在解一道复杂的谜题，而这本书就像是一位经验丰富的向导，能够指引我一步一步地走向答案。

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97%,你说该不该爱它

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