矩阵分析及其应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:武汉大学出版社

作者:曾祥金

出品人:

页数:184 页

译者:

出版时间:2007年

价格:20.0

装帧:平装

isbn号码:9787307056800

丛书系列:

图书标签:

• 矩阵分析
• 线性代数
• 数值分析
• 应用数学
• 高等数学
• 工程数学
• 科学计算
• 矩阵理论
• 数学建模
• 优化算法

深度学习的基石：优化理论与算法基础 本书旨在为读者构建一个扎实、全面的优化理论和算法基础，为理解和应用现代机器学习、数据科学乃至工程优化问题提供核心支撑。 面对信息爆炸时代海量数据的挑战，如何高效地“找到”最优解，如何精确地“衡量”模型性能，成为了驱动科学与技术进步的关键。本书将从最基本的数学概念出发，逐步深入到复杂的非线性优化框架，力求清晰、严谨地阐述理论推导与实际算法的结合。 第一部分：优化问题的数学建模与基础 本部分聚焦于建立解决优化问题的数学语言和框架。我们将详细探讨优化问题的基本构成要素：目标函数、约束条件和决策变量。 1.1 凸集与凸函数：优化的基石 凸集的精确定义与几何直观： 从点集到超平面的性质，探讨凸集在线性规划和二次规划中的核心地位。 凸函数的性质与判定： 重点解析二阶可微函数（Hessian 矩阵半正定性）作为凸函数判定的主要工具。讨论共轭函数和对偶函数的概念，它们在构造对偶问题中的关键作用。 1.2 线性规划（LP）的理论与方法 标准形式与松弛变量： 如何将实际问题转化为标准形式。 单纯形法（Simplex Method）的原理： 深入剖析单纯形法的代数基础、可行域的顶点遍历机制，以及退化、Bland规则等对算法稳定性的影响。 内点法（Interior Point Methods）概述： 介绍障碍函数法和对偶路径追踪的思想，作为处理大规模LP问题的现代有效途径。 1.3 非线性规划基础 无约束优化问题的必要条件： 梯度为零的一阶条件（驻点）和曲率分析（Hessian 矩阵的定义）。 KKT 条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions）： 详细推导等式约束和不等式约束下的最优性条件，并探讨其在凸优化问题中的充分性与必要性。 第二部分：无约束优化算法的精深探讨 本部分专注于在没有额外限制条件下的优化算法，这是许多复杂算法迭代过程中的核心步骤。 2.1 一维搜索策略 精确线搜索方法： 阐述牛顿法（Newton’s Method）的收敛速度与计算代价的平衡。 近似线搜索： 详述 Wolfe 条件（一阶和二阶）的理论意义，以及 Armijo 准则在保证函数下降幅度方面的作用。介绍 Fibonacci 法和黄金分割法在实际应用中的效率。 2.2 梯度下降法的改进与拓展 标准梯度下降（Gradient Descent）： 分析其一阶收敛速度和对学习率的敏感性。 共轭梯度法（Conjugate Gradient, CG）： 重点解析Fletcher-Reeves和Polak-Ribière公式，解释“共轭”性如何保证算法在二次函数上只需 $N$ 步即可收敛。 拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）： DFP 与 BFGS 算法： 详细推导如何通过秩一或秩二更新来近似Hessian矩阵的逆，从而在不计算真实Hessian的情况下，模拟牛顿法的快速收敛特性。 Broyden 族方法： 讨论其在计算资源有限情况下的适用性。 2.3 牛顿法及其变体 标准的牛顿法局限性分析： 尤其是在目标函数非凸时，Hessian矩阵不一定正定时可能收敛到鞍点或局部极小值。 信任域方法（Trust-Region Methods）： 介绍如何通过定义一个局部近似模型（如二次模型）和一个信任域半径，来确保每一步迭代的可靠性与鲁棒性。 第三部分：约束优化算法的实现与应用 本部分是连接理论与工程实践的关键，主要解决带有复杂约束条件的优化问题。 3.1 序列二次规划（Sequential Quadratic Programming, SQP） SQP 的核心思想： 在每一步迭代中，通过求解一个局部二次规划子问题来逼近原非线性约束问题。 约束条件的处理： 详细讲解如何使用 KKT 条件来构建和求解这些子问题。SQP 在处理中等规模非线性约束问题中的卓越性能。 3.2 增广拉格朗日法与乘子法（Augmented Lagrangian and Method of Multipliers） 拉格朗日乘子法的局限性： 分析其在处理不等式约束时的困难。 增广拉格朗日函数的构造： 引入惩罚项，旨在克服纯拉格朗日方法的敏感性问题，提高算法的收敛速度和鲁棒性。乘子法的迭代更新机制。 3.3 内点法在约束优化中的地位 障碍函数法： 详细介绍如何为不等式约束构建巴里亚（Barrier）函数，将约束问题转化为一系列无约束（或简单约束）问题。 对偶内点法与原始-对偶内点法： 探讨如何结合 KKT 条件和牛顿法，通过迭代求解 KKT 系统的线性化方程组，实现高效的收敛。 第四部分：大规模问题的优化挑战与现代技术 本部分探讨当问题规模庞大、数据量呈指数级增长时，传统优化方法面临的瓶颈以及相应的解决方案。 4.1 分布式优化与随机优化 随机梯度下降（SGD）的收敛性分析： 探讨在随机梯度噪声下，SGD 的收敛速度与精确梯度法的差异。 近似与次梯度方法： 针对不可微（如 $L_1$ 正则化）目标函数的处理。 分布式优化框架： 介绍 ADMM（交替方向乘子法）在分解大规模问题、实现并行计算中的重要作用。 4.2 优化算法的正则化与稳定性 Tikhonov 正则化： 分析引入正则项（如 $L_2$ 范数）如何保证解的稳定性，特别是当原问题病态（ill-posed）时。 稀疏性诱导： 探讨 $L_1$ 正则化在特征选择和模型压缩中的应用，及其与 Lasso 问题的联系。 本书特色： 本书强调理论的严谨性和算法的可操作性。每一算法的推导均辅以详细的数学论证，并讨论其复杂度、收敛速度和实际应用中的参数选择敏感性。通过对经典理论的深入剖析，读者将能灵活应对工程实践中出现的各种优化难题，建立起一套系统、稳健的优化思维体系。内容覆盖了从凸优化理论的基石，到现代大规模随机优化的前沿技术，是深入理解复杂系统建模与求解的必备参考书。

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这本书的封面设计颇具匠心，深邃的蓝色调搭配简洁的几何图形，仿佛在邀请读者进入一个充满逻辑与秩序的数学世界。初捧此书，便能感受到一种严谨而深厚的学术气息。作者的文字功底令人赞叹，即便是初涉此领域的读者，也能在清晰的逻辑引导下，逐步领悟那些抽象的矩阵概念。书中对于基础理论的阐述极为细致，从向量空间到线性变换，每一步的推导都力求详尽无遗，让人感觉作者如同耐心的导师，将复杂的知识点层层剥开，直至核心。特别是对于特征值和特征向量的讨论，作者没有停留在简单的公式堆砌上，而是深入挖掘了它们在实际问题中的物理或几何意义，这种“知其然，更知其所以然”的讲解方式，极大地提升了阅读的乐趣和理解的深度。我尤其欣赏作者在关键概念引入时所采用的类比和实例，它们巧妙地将抽象的数学语言转化为我们日常生活中可以感知的事物，为后续深入学习打下了坚实的基础。整本书的排版布局也十分考究，图表清晰，公式规范，阅读体验极佳，让人愿意沉浸其中，细细品味每一个数学细节。

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作为一名需要处理大量高维数据的研究人员，我一直渴望一本能够系统梳理矩阵理论在优化算法中应用的权威参考书。幸运的是，这本书恰好满足了我的需求。它在处理迭代求解方法时展现出的专业性令人折服。书中对雅可比迭代、高斯-赛德尔以及共轭梯度法等经典算法的收敛性分析，层层递进，逻辑严密，几乎没有留下任何可以挑剔的逻辑漏洞。作者对于这些算法的几何解释也做得非常到位，例如，将迭代过程描述为在误差曲面上寻找最短路径，这种可视化描述极大地帮助我理解了为什么某些算法比其他算法更高效。更难能可贵的是，作者还引入了现代数值线性代数的观点，讨论了矩阵的条件数对求解精度的影响，并给出了提高数值稳定性的实用建议。这本书的深度足以让专业人士受益匪浅，同时其详尽的步骤解释也确保了研究生能够顺利掌握这些复杂的优化技术。

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这本书的文字风格充满了古典数学的韵味，但其内容却紧扣现代学科前沿，形成了一种奇妙的张力。我发现作者在讲述矩阵的秩与零空间等基本概念时，采用了极其严谨的集合论语言，这使得对定义和定理的理解建立在最坚实的逻辑基石之上。然而，一旦进入应用部分，语言风格又变得更加灵活和富有启发性。例如，在讨论主成分分析（PCA）时，作者没有直接跳到协方差矩阵的特征值分解，而是先从信息最大化和方差保留的角度阐述了寻找最佳投影方向的直观需求，然后再展示矩阵理论如何优雅地解决了这个问题。这种“需求驱动”的叙事方式，让读者感觉自己不是在被动地接收知识，而是在主动地探索解决问题的路径。书中的某些章节甚至带有“数学史”的色彩，简要介绍了某个定理的提出背景和演变过程，这无疑丰富了本书的内涵，让读者在学习技术的同时，也能感受到数学科学发展的脉络。

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这本书的难度设置非常合理，它成功地在“深入浅出”和“保持专业性”之间找到了一个绝佳的平衡点。对于非数学专业的理工科学生而言，前几章关于矩阵运算和行列式的基础部分，讲解得清晰明了，足以应对大部分本科课程的要求。然而，当我翻阅到关于克罗内克积和张量积的部分时，我意识到这本书的野心远不止于基础教学。作者对这些高阶概念的处理非常谨慎，先通过低维度的具体例子建立直观感受，再逐步提升到更抽象的定义，确保了读者不会在复杂的符号操作中迷失方向。书末附带的习题设计也体现了作者的用心良苦，基础习题用于巩固计算能力，而挑战性的思考题则引导读者将所学知识融会贯通，甚至触及到一些前沿的研究领域。总而言之，这是一本可以伴随读者度过本科、硕士乃至初级职业阶段的数学伙伴，其提供的知识体系足够扎实、覆盖面足够广，是值得反复研读的经典之作。

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这本书的价值远超出一本普通的教材，它更像是一本精心编纂的“工具箱”，囊括了现代科学研究中不可或缺的数学利器。我对其中关于奇异值分解（SVD）那一章节印象尤为深刻。作者没有仅仅停留在理论推导，而是花费了大量篇幅讨论了SVD在数据降维、图像处理以及推荐系统中的实际应用。这些案例的选取非常贴合当前的研究热点，使得理论学习不再是空中楼阁。书中对不同分解方法的优缺点进行了深入的比较分析，例如对比了LU分解和QR分解在数值稳定性和计算效率上的差异，这种对比性的分析对于工程实践者来说至关重要。此外，书中对矩阵范数的讨论也十分到位，从最基本的$L_p$范数到更复杂的谱范数，作者清晰地阐述了每种范数适用的场景及其背后的数学原理。阅读过程中，我时不时地会停下来，对照书中的例子，用自己熟悉的编程语言进行小型验证，这种理论与实践相结合的学习路径，极大地巩固了知识的掌握程度，让书中的每一个数学工具都变得鲜活起来。

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