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出版者:世界图书出版公司

作者:伊斯特拉泰斯库

出品人:

页数:446

译者:

出版时间:2009-5

价格:59.00元

装帧:

isbn号码:9787510004599

丛书系列:

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• 数学
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《不动点理论导论》 本书是一部深入探讨不动点理论核心概念、基本方法及其广泛应用的数学专著。不动点理论作为现代分析学的一个重要分支，在微分方程、拓扑学、数值分析、博弈论乃至经济学等众多领域都扮演着至关重要的角色。本书旨在为读者构建一个坚实的不动点理论基础，并引导他们探索其精妙之处。 全书分为若干章节，系统地介绍了不动点理论的发展脉络和主要成果。 第一章：不动点概念的引入与初步探索 本章将从最基础的定义出发，阐释什么是“不动点”。我们将通过直观的例子，例如函数图像与直线y=x的交点，来解释这一概念。随后，我们将引入不动点定理的一些早期和简单的形式，如 Banach 压缩映射定理。这个定理不仅提供了判断不动点存在的条件，还给出了构造不动点的算法，其简洁的表述和强大的应用性将为读者打开不动点理论的大门。我们将详细分析压缩映射的条件，并给出一些简单的应用案例，例如求解常微分方程的初值问题。 第二章：度量空间与完备性 为了更深入地研究不动点，我们必须对“空间”的结构有更深入的理解。本章将重点介绍度量空间的概念，定义距离函数，并讨论度量空间的拓扑性质，如开集、闭集、收敛等。至关重要的是，我们将引入“完备性”这一关键概念。完备性确保了柯西序列总能收敛，这对于许多不动点定理的证明至关重要。我们将探讨完备度量空间的一些重要性质，并给出判断空间完备性的常用方法。 第三章：Banach 压缩映射定理及其推广 作为不动点理论的基石，Banach 压缩映射定理将在本章得到更为详尽的阐述。我们将深入分析定理的证明过程，理解其背后的逻辑。在此基础上，我们将探讨该定理的各种推广形式，例如在非线性映射下的应用，以及在不同空间（如函数空间）中的体现。我们将展示如何利用 Banach 压缩映射定理来证明一些重要的数学问题，例如映射的唯一性以及某些方程解的存在性。 第四章：不动点理论在拓扑学中的应用——不动点集 本章将视角转向拓扑学，介绍不动点理论在这一领域的重要作用。我们将引入不动点集的定义，并探讨与之相关的基本概念。我们将重点介绍 Brouwer 不动点定理，这是不动点理论在拓扑学中最著名的结果之一。我们将详细阐述 Brouwer 定理的证明，并阐述其在二维和高维空间中的形式。此外，我们还将介绍 Kakutani 不动点定理，该定理将不动点理论的思想推广到了多值映射的领域，为分析更复杂的问题提供了工具。 第五章：Lefschetz 不动点定理与代数拓扑 本章将带领读者进入不动点理论更深层次的代数拓扑领域。我们将引入 Lefschetz 数的概念，并在此基础上阐述 Lefschetz 不动点定理。该定理将不动点的存在性与代数不变量（Lefschetz数）联系起来，提供了一种强大的组合方法来判断不动点的存在。我们将讨论 Lefschetz 不动点定理的证明思路，并给出其在代数几何等领域的应用示例。 第六章：不动点理论在微分方程中的应用 不动点理论在求解微分方程方面具有极其重要的作用，本章将对此进行深入探讨。我们将展示如何将微分方程的解的存在性问题转化为某个函数的不动点问题。我们将详细介绍 Peano 定理和 Picard 定理，这两个定理都是利用不动点理论来证明常微分方程初值问题的解的存在性。我们将深入剖析这两个定理的证明过程，并分析其适用条件和局限性。 第七章：不动点理论在数值计算中的应用 本章将聚焦于不动点理论在数值计算领域的应用。我们将介绍迭代法求解不动点的方法，例如简单迭代法。我们将分析这些迭代方法的收敛性，并探讨提高收敛速度的方法。此外，我们还将介绍 Newton-Raphson 方法等更高级的数值方法，它们在求解非线性方程组和优化问题中也与不动点理论有着密切的联系。 第八章：不动点理论在经济学和博弈论中的应用 不动点理论不仅是纯粹的数学工具，在应用数学领域也扮演着核心角色。本章将介绍不动点理论在经济学和博弈论中的典型应用。我们将以 Nash 均衡为例，阐释如何利用不动点理论来证明博弈论中均衡解的存在性。我们将深入分析 Nash 定理的证明，并讨论其在寡头垄断模型、一般均衡模型等经济学问题中的应用。 第九章：不动点理论的其他重要定理与方法 除了上述内容，本章还将介绍一些不动点理论的其他重要定理和方法，例如 Krasnoselskii 的不动点定理，该定理适用于非压缩映射；Schauder 不动点定理，它在处理连续映射方面具有广泛的应用。我们还将探讨一些特殊类型空间（如赋范线性空间）中的不动点理论。 第十章：未来展望与开放性问题 最后，本章将对不动点理论的未来发展进行展望，并介绍一些尚未解决的开放性问题。我们将探讨不动点理论在新的数学分支和交叉学科中的潜在应用，以及新的理论和方法可能带来的突破。 本书结构清晰，逻辑严谨，语言生动。每章都配有精心设计的例题和习题，旨在帮助读者巩固所学知识，并培养解决实际问题的能力。无论您是数学专业的学生，还是对不动点理论及其应用感兴趣的研究者，本书都将是一本不可多得的参考书。通过学习本书，您将能够深刻理解不动点理论的精髓，并将其灵活运用到您的研究和实践中。

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这本书的内容深度完全超出了我的预期，本来以为只是对某个特定数学分支的一个浅尝辄止的介绍，没想到它竟然涵盖了如此广阔的知识面。尤其是在探讨函数空间和拓扑结构的部分，作者的论述逻辑严密得令人叹为观止，仿佛带领我们进行了一场思维的攀登。我特别喜欢作者在讲解一些经典定理时，会顺带提及该定理的历史背景和发展脉络，这让冰冷的数学知识瞬间变得有了人情味和生命力。每看完一个章节，我都会有一种豁然开朗的感觉，像是推开了一扇通往更高维度思考世界的大门。虽然有些地方的证明过程需要我反复研读，甚至需要结合其他参考资料辅助理解，但这种挑战本身也是学习的乐趣所在。这本书无疑是为那些真正想要深耕理论研究的读者准备的，它不是快餐式的知识点罗列，而是一部需要投入时间和心力去消化的“硬菜”。

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这本书的装帧设计真是太吸引人了，封面那种沉稳的深蓝色调，配上烫金的字体，一看就透着一股学术的厚重感。拿到手里的时候，感觉纸张的质感也相当不错，阅读体验上确实能加分不少。我一直对数学领域的一些基础理论非常感兴趣，尤其是那些看似抽象却又在各个领域都有着广泛应用的理论。这本书的排版非常清晰，公式推导过程详细而又不失严谨，对于初学者来说，这种循序渐进的讲解方式简直是福音。作者显然花了很多心思在梳理脉络上，从最基础的概念引入，逐步深入到更复杂的定理和证明，每一步的过渡都衔接得非常自然。特别是对于那些需要扎实数学基础才能理解的后续章节，作者总能提供非常直观的例子来辅助理解，这一点我非常欣赏。它不像有些教科书那样，只是冷冰冰地罗列公式，而是真的在引导读者去思考背后的逻辑和意义。

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这本书的结构安排非常精妙，它不仅仅是一本理论教材，更像是一部系统性的研究方法论指南。从基础概念的建立，到各种变体的讨论，再到高级应用的展望，作者仿佛为我们构建了一个完整的知识体系框架。我注意到，在每个章节的末尾，作者都精心设置了“思考题”和“拓展阅读”部分，这极大地激发了我主动探索和查阅文献的兴趣。这些思考题往往不是简单的数值计算，而是需要综合运用前面所学知识进行逻辑推理和证明，非常有助于培养批判性思维和解决问题的能力。这种全方位的训练，使得这本书不仅仅停留在知识的传授层面，更致力于培养读者独立的学术探究能力，这在当前的教育资源中是相当难得的品质。

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不得不提的是这本书的翻译质量，它使得原本可能晦涩难懂的专业术语变得精准而流畅。对于国内的读者来说，能够获得这样一部高质量的译著是件幸事。译者在保持数学精确性的同时，也注意了中文表达的自然和学术规范，使得阅读过程几乎没有被“翻译腔”所干扰。我对比了书中几个核心概念的译法，都非常专业到位，这反映出译者深厚的专业功底和对细节的极致追求。一本好的学术著作，其价值不仅在于原作者的智慧，更在于其传播的效率和准确性，而这本译著在这两方面都做得非常出色，极大地提高了我们接触前沿理论的效率，避免了因理解障碍而产生的学习挫败感。

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作为一名非数学专业的理工科背景的读者，我原本对这类理论书籍抱持着一种敬而远之的态度，担心会因为专业术语的密集轰炸而望而却步。然而，这本书在“可读性”方面做到了令人惊喜的平衡。作者显然深谙如何将复杂的数学思想转化为相对易懂的语言，虽然核心内容依然是严谨的，但大量的图示和生动的类比，极大地降低了入门的门槛。例如，在解释某个迭代过程的收敛性时，书中那张动态示意图简直是神来之笔，一下子让原本抽象的极限概念变得可视化了。我感觉自己像是在一位经验丰富的导师的引导下，一步步拆解难题，而不是被动地接收信息。这对于自学者来说尤为重要，它提供了一种“我能学会”的信心和清晰的路径图。

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