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出版者:Springer

作者:Robert E. Bradley

出品人:

页数:432

译者:

出版时间:2009-8-18

价格:USD 139.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9781441905482

丛书系列:Sources in the History of Mathematics and Physical Sciences

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现代拓扑学基础：一个严谨的入门指南 作者： [在此处留空，模拟真实作者信息缺乏] 出版社： [此处留空，模拟出版信息缺失] 出版年份： [此处留空，模拟出版信息缺失] --- 内容简介 本书旨在为严肃的数学学习者提供一个全面、严谨且富有洞察力的现代拓扑学基础教程。它避开了历史的冗余叙述，直接聚焦于建立清晰、可操作的现代数学框架，特别是围绕点集拓扑（General Topology）的核心概念、定理与构造。全书结构逻辑严密，旨在培养读者从基础公理出发，逐步构建复杂几何直觉的能力。 本书共分为八个主要部分，内容安排上力求循序渐进，确保读者在掌握基础概念后，能够顺利过渡到代数拓扑或微分几何等更高级的研究领域。 --- 第一部分：集合论与基础结构（The Foundations of Set Theory and Structure） 本部分作为全书的基石，将重新审视并巩固读者对现代集合论的理解，但视角完全服务于拓扑学的需求。我们不再纠缠于ZFC公理的哲学辩论，而是集中讨论那些在构造拓扑空间时至关重要的工具： 1. 集合的构造与操作的精确性： 强调笛卡尔积、幂集、函数（包括单射、满射、双射）的严格定义和性质。 2. 序关系与良序定理的实际应用： 详细阐述良序原理如何用于构造良性集合序列，以及它在某些关键拓扑构造中的隐秘角色。 3. 基础的基数与势的概念： 引入有限、可数无限（$aleph_0$）和不可数无限（$c$）的严格定义，并展示在处理无限聚合空间（如$mathbb{R}^n$）时的必要性。 --- 第二部分：拓扑空间的公理化建构（Axiomatizing the Topological Space） 这是本书的核心起点。我们完全摒弃依赖于距离（如欧几里得空间）的直觉定义，直接采用开集公理系统来定义拓扑结构。 1. 开集、闭集与邻域的严格定义： 详尽阐述开集的四个基本公理，并推导出闭集的定义（作为开集的补集）。邻域的概念被提升到与开集同等重要的地位，作为局部性质研究的基础。 2. 拓扑的构造方法： 深入探讨生成子（Basis）和相对拓扑（Subspace Topology）的构造过程。重点分析如何通过“最小化”或“最大化”开集族来定义一个拓扑。 3. 特定拓扑结构的研究： 详细分析了有限补集拓扑（Finite Complement Topology）、谢尔宾斯基拓扑（Sierpinski Space）以及余有限拓扑（Cofinite Topology）的性质，用以展示拓扑空间的巨大多样性，并揭示它们如何违反直觉（例如，开集不一定是稠密的）。 --- 第三部分：连续性与拓扑等价（Continuity and Topological Equivalence） 本部分关注函数在拓扑结构下的行为，这是将不同空间联系起来的桥梁。 1. 连续性的开集定义： 严格证明函数 $f: X o Y$ 连续等价于其原像 $f^{-1}(V)$ 对 $Y$ 中的任意开集 $V$ 均为开集。这一性质被视为定义连续性的首要标准。 2. 拓扑保持映射的性质： 研究开映射（Open Maps）和闭映射（Closed Maps）的定义及其重要性，特别是它们在判断商空间（Quotient Space）结构时的关键作用。 3. 同胚（Homeomorphism）的定义与应用： 严格定义同胚作为双射且逆映射也连续的映射。随后，引入拓扑性质的概念，并展示如何利用同胚来判断两个空间是否在拓扑意义上“相同”（不可区分）。 --- 第四部分：分离公理的层次结构（The Hierarchy of Separation Axioms） 分离公理是区分“良性”空间和“病态”空间的试金石。本书将这些公理按强度排序，并进行深入的结构分析。 1. 从 $T_0$ 到 $T_4$ 的递进： 详细区分 $T_0$（可区分点）、$T_1$（闭合点集）、$T_2$（豪斯多夫，Hausdorff）和 $T_3/T_4$（正则/完全正则）的精确含义和相互蕴含关系。 2. 豪斯多夫空间的关键作用： 集中论证豪斯多夫空间在极限过程中的重要性。证明在一个豪斯多夫空间中，收敛序列的极限是唯一的；并探讨极限点、聚点与闭集之间的关系。 3. 完备性与紧致性的预备讨论： 在进入紧致性之前，利用分离公理来分析度量空间中完备性的概念，为后续讨论序列紧致性提供必要的背景。 --- 第五部分：紧致性（Compactness）——拓扑学的核心概念之一 紧致性被视为拓扑学中最强大、最深刻的性质之一。本书将从不同的等价定义出发，构建对紧致性的全面认识。 1. 开复盖的定义与等价命题： 严格证明紧致性（开复盖的有限子复盖存在性）与序列紧致性（任意序列存在收敛子序列）在豪斯多夫空间中的等价性。 2. 紧致性的代数效应： 证明连续函数在紧致集上的性质，特别是连续实值函数在紧致集上的极值定理（Weierstrass Theorem的拓扑表述）。 3. 乘积空间的紧致性： 深入分析Tychonoff 定理的精确表述和证明。本书将提供一个严谨的、不依赖于选择公理的中间步骤证明（针对有限乘积），并讨论在无限乘积情况下Tychonoff定理的强大地位。 --- 第六部分：连通性与路径连通性（Connectedness and Path Connectedness） 连通性关注空间的整体性，即空间是否可以被分解成分离的部分。 1. 连通性的定义与反例： 定义连通空间，并分析子集的连通性。重点讨论在非豪斯多夫空间中，连通性和路径连通性的关系（即它们不一定等价）。 2. 路径（Paths）与路径连通性： 引入连续映射 $gamma: [0, 1] o X$ 来定义路径。路径连通性被视为一种更强的、更具几何直觉的连通性概念。 3. 连通分支与路径分支： 证明极大连通子集（连通分支）的性质，特别是它们在局部紧致豪斯多夫空间中的闭性。 --- 第七部分：商拓扑与构造空间（Quotient Topology and Constructing Spaces） 本部分是拓扑构造的关键，解释了如何从现有空间构造出新的、具有特定性质的空间，例如圆周 $S^1$ 或环面。 1. 商映射与商拓扑的定义： 详细阐述商映射的定义，以及如何通过等价关系 $sim$ 在 $X$ 上诱导出商空间 $X/sim$ 的最小拓扑结构，使其成为一个商映射。 2. 商空间的拓扑性质继承： 分析商空间是否保持豪斯多夫性、紧致性和连通性。重点阐述：如果 $p: X o Y$ 是一个连续满射，且 $X$ 紧致，则 $Y$ 自动是豪斯多夫的（如果 $X$ 满足某些条件）。 3. 应用实例： 利用商拓扑构造拓扑群（如 $mathbb{R}/mathbb{Z} cong S^1$）的基础结构，展示拓扑学在抽象代数中的接口。 --- 第八部分：基础工具：积空间与乘积拓扑（Product Spaces and the Product Topology） 本部分集中研究集合的乘积如何继承和组合拓扑结构，这是研究高维空间和函数空间的必备工具。 1. 乘积空间的定义与直觉： 通过投影映射 $pi_i$ 构造乘积拓扑，并强调乘积拓扑是使得所有投影映射连续的最大拓扑。 2. 乘积空间的性质继承： 证明乘积空间继承连通性和路径连通性。 3. 紧致性与Tychonoff定理的最终应用： 再次回顾 Tychonoff 定理，展示其在分析无限维度空间（如函数空间 $C(X)$ 的某些子集）时的核心地位。 --- 本书特点总结： 本书的设计哲学是“从公理到应用，步步为营”。它避免了对度量空间或欧几里得空间过度依赖的讲解方式，而是坚持从集合论和开集公理出发，为读者构建一个纯粹的、普适的拓扑学框架。书中的例题和习题设计旨在挑战读者的直觉，迫使其完全依赖于已建立的公理和定理进行推理。本书是准备深入学习微分流形、代数拓扑或泛函分析的严肃研究者不可或缺的参考书。

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拿起这本书时，我原本期待的是一套标准的、教科书式的分析学导论，然而我得到的体验远超预设。它更像是一部数学哲学的探险笔记，作者在每一个章节的开篇，都会对所要研究的对象进行一番深入的“哲学”思辨。例如，在探讨级数收敛性的章节里，他并未直接给出比值判别法或根值判别法，而是花费了大量篇幅去讨论“无穷”这个概念本身在不同数学体系下的意义，以及为什么我们需要一个“收敛”的概念来驯服这个看似无界的野兽。这种由宏观思辨导向具体工具的叙事方式，对于初学者来说或许会感到吃力，但对于已经掌握基础微积分、渴望深入理解其内在逻辑的人而言，无疑是一场盛宴。书中的例题设置也极其精妙，它们往往不是为了训练计算速度，而是用来揭示某个定理在特定边界条件下的脆弱性或普适性，迫使读者不断地去质疑和审视自己对“确定性”的理解。阅读此书，每翻过一页，都会感到自己的数学思维在被某种无形的力量雕琢和重塑。

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这本书的排版和字体选择，有一种历史的厚重感，让人联想到图书馆深处那些泛黄的善本。它不像现代出版物那样追求色彩鲜明或插图丰富，而是以一种近乎朴素的姿态，将全部的重点放在了文字和符号的精确性上。阅读过程中，我多次停下来，仅仅是为了欣赏某个证明的简洁性。作者似乎有一种将复杂问题归约为最本质形式的天赋，他能够用最少的符号和最少的步骤，构建起一个逻辑上的完美闭环。当然，这种简洁性也带来了挑战：如果漏掉了一个小的推导步骤，很容易就会在后续的论证中迷失方向。我发现，最好的阅读方法是将其视为一本“对话录”，而不是单向的知识灌输；你需要不断地在草稿纸上进行自己的推演，以确保你真正跟上了作者那超前的思维步伐。对于那些习惯了图形化辅助学习的读者，这本书可能会要求你付出更多的“脑力劳动”，但这种劳动所带来的智力回报，是极其丰厚的。

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这本书的章节安排呈现出一种清晰的、由浅入深的层次结构，但“浅”的起点也远高于许多入门教材的平均水平。它仿佛是为那些已经对微积分有扎实基础、现在想要真正进入高等数学殿堂的学生所准备的“成人礼”。作者对“ε-δ”语言的运用达到了出神入化的地步，既不滥用，也不回避，总是在最恰当的时机引入，用以精确地界定那些模糊不清的直觉概念。我发现，每当我试图跳过一个看似琐碎的证明步骤时，都会在接下来的章节中付出代价。这本书教会我，在分析学中，没有“琐碎”的细节，每一个符号和每一个限定词（如“存在”、“对于所有”）都承载着至关重要的信息。它建立的是一种“精确思维的肌肉记忆”，而非仅仅是知识点的堆砌。阅读它，就像是在学习如何像一位最苛刻的逻辑学家一样去思考问题，这对于任何想从事理论研究的人来说，都是无价的财富。

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这本厚重的分析学著作，从翻开它的第一页开始，就仿佛被一股沉静而强大的智力洪流所裹挟。作者对极限、连续性、微积分基本概念的阐述，绝非那种蜻蜓点水、仅停留在公式推导层面的浅尝辄止。相反，他似乎执着于为每一个看似直观的数学工具，建立起坚实、无懈可击的逻辑基石。阅读过程需要极度的专注，因为每一个定义和每一个定理的证明，都像是在精心地砌筑一座宏伟的知识殿堂的砖石。我尤其欣赏其中对于“均匀收敛”概念的引入和处理方式，作者没有急于展示其强大的应用能力，而是耐心地引导读者去理解，这种收敛性如何从根本上解决了传统逐点收敛在处理函数序列时的诸多不便和悖论。书中大量的几何直观与严格的代数论证巧妙地交织在一起，使得抽象的分析概念不再是悬浮在空中的空中楼阁，而是扎根于严谨的数学结构之中。这本书的价值，不在于它能多快地教会你解题，而在于它能多深刻地塑造你对现代数学分析的认知框架，让人不得不佩服那个时代数学家们对严谨性的不懈追求。

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我花了很长时间才真正“消化”完这部作品，它给我的感觉，与其说是在学习一门课程，不如说是在接受一次智力的“洗礼”。其中对反例的构建和讨论，尤其令人印象深刻。作者似乎毫不吝惜笔墨去展示那些看似合理却在严格定义下站不住脚的“伪结论”。比如，在处理重数积分的可交换性时，他不仅仅给出了结论，更深入地分析了为什么在某些非良态函数空间中，这种交换性会瞬间瓦解。这种对“边界”和“特例”的执着，体现了一种极高的科学素养——认识到理论的局限性，与掌握其核心思想同样重要。这本书不是一本“速成宝典”，它更像是一面镜子，映照出你对数学严谨性理解的深度和广度。那些希望通过一两次阅读就能完全掌握其精髓的人可能会感到沮丧，因为它要求的是持续的、深入的沉思和反复的对照。

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