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isbn号码:9780199148585

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深入探索代数与几何的奥秘：一部聚焦现代数学方法的精选教程 图书名称：《现代数学基础：从线性代数到拓扑初步》 导言： 在浩瀚的数学宇宙中，知识的演进从未停歇。随着科学和工程领域对精确性和抽象思维能力要求的不断提高，对基础数学概念的理解和应用能力变得至关重要。本书《现代数学基础：从线性代数到拓扑初步》旨在为读者提供一套严谨而又富有启发性的数学工具集，它着眼于21世纪科学应用中最核心的几个分支，尤其侧重于结构化思维和抽象推理的培养。本书内容涵盖了从向量空间的基本结构，到微分方程的解法，再到初步的拓扑学概念，旨在为高等数学学习者和需要进行跨学科研究的专业人士打下坚实的理论基础。 第一部分：线性代数的深度剖析与应用 线性代数是现代科学的通用语言。本部分将彻底革新读者对向量、矩阵和线性映射的理解，超越传统教科书中对计算技巧的简单罗列。 第一章：向量空间与子空间：结构化思维的基石 本章从集合论的严谨性出发，定义了抽象向量空间。我们不局限于 $mathbb{R}^n$ 中的几何直觉，而是深入探讨了函数空间、多项式空间以及抽象域（如有限域）上的向量空间。重点内容包括：基（Basis）的选择与维数（Dimension）的确定，以及如何通过基的变换来理解线性映射在不同坐标系下的表现。此外，我们详细讨论了四种基本子空间——列空间、零空间、行空间和左零空间——它们之间的内在联系和相互正交性，为理解最小二乘法和投影奠定了基础。 第二章：线性变换的几何与代数本质 线性变换 $T: V o W$ 被视为一种保持结构的操作。本章核心是理解矩阵作为线性变换在特定基下的表示。我们深入分析了特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的意义，它们代表了空间中“不变方向”的性质。通过对相似变换的讨论，读者将领悟到对角化（Diagonalization）在简化复杂动力学系统中的核心作用。对于不可对角化的矩阵，我们将引入 Jordan 标准型，以完整刻画所有线性变换的结构，这对于求解常系数线性微分方程至关重要。 第三章：内积空间与正交性理论 内积是赋予向量空间几何结构的关键。本章扩展了欧几里得空间的概念到更一般的内积空间，讨论了施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process）在构造正交基中的实用性。重点聚焦于正交投影，这是理解函数逼近、傅里叶分析以及最小二乘解法的基础。我们还将介绍自伴随算子（Adjoint Operators）的概念，这是泛函分析和量子力学中不可或缺的工具。 第二部分：微分方程与动态系统的建模 本部分将数学模型从静态的代数结构提升到描述时间演化和变化率的动态系统。 第四章：常系数线性微分方程的系统解法 本章专注于形如 $mathbf{x}' = Amathbf{x} + mathbf{f}(t)$ 的一阶线性系统。我们利用第二部分导出的特征值和特征向量知识，系统地求解齐次和非齐次方程。对于解的稳定性分析，我们将通过相平面分析（Phase Plane Analysis）来直观展示系统的长期行为，识别鞍点、节点和中心等奇点的性质。拉普拉斯变换作为一种强大的积分变换技术，将被用于快速求解带初始条件的初值问题，尤其在电路分析和控制理论中表现出极高的效率。 第五章：偏微分方程的初步接触：热传导与波动 为了引导读者进入更高级的分析领域，本章引入了最基本的两类线性偏微分方程：热传导方程（扩散方程）和波动方程。我们重点介绍分离变量法（Separation of Variables）作为求解这些方程的标准技术。通过在特定边界条件下的傅里叶级数展开，读者将学习如何用无穷级数解来表示物理现象，并理解傅里叶分析在处理周期性边界条件时的强大能力。 第三部分：离散结构与拓扑的萌芽 数学的广阔性要求我们接触不同于连续空间的结构，本部分开始探索抽象空间的性质。 第六章：图论基础与网络分析 图论作为离散数学的重要分支，是理解网络、关系和流程的有效工具。本章定义了图、路径、连通性和树结构。我们引入邻接矩阵和关联矩阵，并展示如何利用矩阵的性质（如生成树的计数问题）来解决组合优化问题。最小生成树（Minimum Spanning Trees）的算法（如 Prim 和 Kruskal 算法）将被详细阐述，它们在网络设计中的实际意义得以凸显。 第七章：度量空间与拓扑学的直觉 拓扑学是对“连续性”概念进行形式化和抽象的学科。本章不直接深入复杂的代数拓扑，而是构建在度量空间（Metric Spaces）的概念之上。我们定义了开集、闭集、邻域和收敛性，并说明了度量如何蕴含拓扑结构。读者将通过例子理解紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）的拓扑本质，认识到这些性质独立于具体的坐标表示，是内在的结构属性。通过比较欧几里得空间、离散度量空间和函数空间，读者将建立起对更高维度、更抽象空间感知的直觉。 结语： 《现代数学基础》力求在严谨的数学推理和实际应用之间搭建坚实的桥梁。本书所呈现的知识体系，从向量空间的精确结构到抽象空间的连续性概念，为读者提供了应对复杂系统分析挑战所需的心智工具。掌握这些内容，将使读者能够自信地进入微分几何、数值分析、控制论乃至现代物理学的更深层次研究。

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这本书在内容的广度上似乎想做到包罗万象，但结果却是对每一个主题都蜻蜓点水，浅尝辄止。它似乎急于在有限的篇幅内塞入尽可能多的内容，却牺牲了深度和实际应用价值。例如，在处理概率论部分时，作者只是机械地罗列了公式，却几乎没有给出任何现实世界的案例来佐证这些公式的意义和适用范围。对于一个渴望将抽象数学知识转化为解决实际问题能力的读者来说，这本书提供的帮助微乎其微。它更像是一本官方术语汇编，而不是一本能够激发学习兴趣、引导深入思考的教科书。我希望未来的版本能够更加聚焦，用更少的篇幅讲清楚更深刻的道理。

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我简直不敢相信市面上竟然还存在这种水平的教材。这本书的排版设计简直是灾难性的，字体大小不一，图表模糊不清，让人在阅读时感到眼睛非常疲劳。更别提那些需要配合图示才能理解的证明题了，图示本身就难以辨认，使得整个逻辑链条变得异常脆弱。我记得有一次，我试图跟进一个关于微积分基础的论述，结果发现书中漏掉了一个关键的过渡步骤，导致我不得不翻阅其他参考资料来填补这个巨大的逻辑断层。这哪里是教学材料，分明是在考验读者的耐心和信息检索能力。如果出版商不重新审视其编辑和设计流程，这本书只会继续在学术界中蒙尘。

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从实用性的角度来看，这本书的参考价值非常有限。虽然它涵盖了课程大纲要求的知识点，但在作为案头参考工具时，它的表现令人失望。书中缺乏一个结构清晰、易于检索的索引系统，当我需要快速回顾某个特定的定理或定义时，往往需要耗费大量时间在厚厚的书页中盲目翻找。更糟糕的是，书后面的附录部分，本应是提供额外练习或深入探讨的地方，却空洞无物，没有任何额外的资源支持。总而言之，它更像是一份被动应付考试的资料，而不是一本可以伴随读者长期发展、随时查阅的数学工具箱。它错失了成为一本真正有价值的参考书的良机。

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这本书简直是数学学习的噩梦。我花了大量时间试图理解书中的概念，但作者的叙述方式晦涩难懂，就像在和一本顽固的砖头对话一样。每一个章节都充满了我不熟悉的术语，而且例题的选择也十分古怪，它们似乎并没有真正帮助我理解核心的数学原理。更令人沮丧的是，习题的答案经常是缺失的，或者与给出的解题步骤完全对不上。我感觉自己像是在迷宫里打转，而这本书非但没有给我地图，反而还在不断地增加新的墙壁。对于那些希望通过自学来巩固基础知识的读者来说，这本书的门槛高得令人望而却步。我强烈建议，除非你有一位经验丰富的导师可以随时为你解惑，否则请远离它。我真希望能找到一本更具指导性和亲和力的教材。

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我必须指出这本书在对初学者友好的程度上的严重不足。作者似乎完全忘记了，阅读这本书的人群中很大一部分可能正在努力克服对高等数学的恐惧。书中大量使用的假设和前提，并没有给予足够的背景介绍，仿佛读者都已经具备了某种先验知识。当我试图通过书中的练习来检验自己的掌握程度时，发现有些练习题的难度设置得极不合理——要么过于简单，起不到巩固作用；要么直接跳跃到了需要复杂技巧才能解决的难题，让人措手不及。这种忽高忽低的学习曲线，极大地打击了学习的积极性，让人感到自己不是在学习，而是在被数学无情地审判。

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