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出版者:Cambridge University Press

作者:Francis Borceux

出品人:

页数:356

译者:

出版时间:2001-2-22

价格:GBP 88.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521803090

丛书系列:

图书标签:

• Galois theory
• Field theory
• Abstract algebra
• Polynomials
• Group theory
• Algebraic extensions
• Finite fields
• Solvability
• Radicals
• Modern algebra

《Galois Theories》是一本深入探索抽象代数核心领域——伽罗瓦理论——的著作。本书旨在为读者提供一个全面而严谨的视角，理解该理论的起源、发展及其在现代数学中的广泛应用。 本书从历史的角度出发，首先回顾了19世纪初数学家们在解决代数方程根式解问题时遇到的挑战。读者将跟随作者的笔触，了解那些伟大的数学家，如拉格朗日、高斯、阿贝尔和伽罗瓦本人，是如何一步步揭示这些问题的深层结构。从置换群的概念到群论作为一种通用语言的出现，本书详细阐述了伽罗瓦理论的思想基础是如何在解决特定问题的过程中自然诞生的。 进入核心部分，《Galois Theories》将系统地介绍伽罗瓦理论的关键概念。本书会清晰地定义域扩张、正规扩张、可分扩张以及伽罗瓦扩张等基本概念。对于每个概念，都会提供详实的定义、性质以及大量的例子，帮助读者建立直观的理解。特别地，本书将深入探讨伽罗瓦群的概念，解释它是如何捕捉域扩张的对称性，并展示其与扩张体中特定子域之间的微妙联系。 本书的另一大亮点是其对伽罗瓦理论基本定理的详尽阐述。它将层层剥茧，揭示伽罗瓦扩张的伽罗瓦群与其中间域之间的对应关系，这被誉为代数理论中的一座里程碑。作者将通过一系列精心设计的证明，引导读者理解这个基本定理的威力，以及它如何将域论中的复杂问题转化为群论中更易于处理的问题。 除了理论的深度，《Galois Theories》同样重视理论的实际应用。本书将深入探讨伽罗瓦理论在几个关键数学领域的应用，包括： 多项式方程的根式可解性： 这是伽罗瓦理论诞生的直接动机。本书将详细解释，为什么五次及以上的一般多项式方程不存在根式解，以及如何利用伽罗瓦理论来判断一个具体的多项式方程是否可以通过根式求解。 几何作图问题： 从古希腊时期流传下来的三大几何作图问题——倍立方、三等分角和圆的平方——将在这里得到解答。本书将阐明，为什么这些看似简单的几何问题，在给定工具（直尺和圆规）的限制下，是无法完成的，而其根源恰恰在于这些问题所对应的域扩张的伽罗瓦群结构。 有限域： 本书将阐述伽罗瓦理论如何深刻地影响我们对有限域的理解，包括有限域的构造、其自同构群的性质，以及这些性质在编码理论、密码学等现代技术中的重要作用。 其他可能的应用（根据具体内容侧重）： 如果本书还涉及代数数论，那么可能会深入讨论代数数域的结构、理想的分解，以及伽罗瓦理论如何在这些复杂问题中扮演核心角色。如果本书还涵盖了李群或代数群，那么将展示伽罗瓦理论的思想如何延伸到更广阔的代数结构中。 为了帮助读者巩固理解，《Galois Theories》精心设计了大量的练习题，覆盖了从基本概念的检验到复杂定理证明的应用。这些习题旨在帮助读者熟练掌握伽罗瓦理论的工具，并培养独立解决问题的能力。 本书的语言力求清晰、精确且富有逻辑性，避免不必要的术语堆砌。作者在写作过程中，始终关注读者的学习曲线，力求在理论的严谨性和可读性之间取得平衡。对于需要预备知识的部分，本书也会适时地进行回顾或提供参考。 总而言之，《Galois Theories》不仅仅是一本关于抽象代数定理的书籍，它更是一部关于数学思想演进的精彩篇章。它揭示了数学家们如何从具体问题中提炼出普适性的概念，如何用抽象的工具解决看似棘手的问题，以及这些思想如何跨越时空，对现代数学和科学产生深远影响。无论您是数学专业的学生、研究人员，还是对数学的深层美学充满好奇的读者，本书都将为您开启一扇通往抽象代数奇妙世界的大门。

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这本书的叙事节奏掌握得非常巧妙，它不是线性的，而是螺旋上升的。有时候，作者会突然跳跃到一个看似不相关的概念，比如拓扑结构或者有限群的某种特定表示，然后用一种极其迂回的方式，最终将其重新编织回关于根式解理论的核心讨论中。这种非线性的组织方式，初读时会让人感到困惑和迷失，但当你回顾时，会发现所有的线索最终汇聚成一个宏大而统一的图景。它迫使我不断地回顾和交叉引用前面章节的内容，而不是仅仅满足于“读完即忘”。我特别欣赏作者在处理那些历史上有争议的证明时所采取的批判性立场，他不仅仅是转述结论，而是深入剖析了那些关键的逻辑飞跃是如何被后人体系化和完善的。这本书更像是一部数学思想的编年史，而非一本教科书，它教人如何去质疑和重建知识体系。

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我拿到这本书的时候，是冲着某个特定的历史典故——自然是对伽罗瓦那天才与悲剧故事的好奇心驱动的。然而，这本书的内容远远超出了任何传记式的叙述范畴。它极其侧重于如何将历史的脉络融入到严谨的代数结构构建之中。我发现作者非常擅长在证明的间隙，插入一些关于十九世纪数学家们面对不可解性危机时的心理侧写和思想碰撞。比如，论述到多项式根式解的边界时，那种感觉，就像是站在一个巨大的哲学悬崖边上，试图用有限的工具去测量无限的可能性。文字的密度非常高，需要反复阅读才能捕捉到其中微妙的语境变化。我特别喜欢其中一段关于“域扩张”的描述，它用了一种近乎诗意的语言来描绘抽象空间之间的渗透与依赖关系，仿佛在描述宇宙中不同维度的交叠。这本书的价值在于，它不仅提供了知识，更提供了一种理解数学家思考方式的视角，一种对“为什么是这样”的深层探究。

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我通常不喜欢那些过于强调“统一性”的学术著作，总觉得它们为了强行凑出一个宏大主题而牺牲了细节的精确性。但《Galois Theories》在这方面做得非常出色。它成功地将代数几何中的某些概念与古典的域扩张理论进行了意想不到的联系，让我对“结构”这个词有了全新的体悟。作者在引入代数闭包时，那种对“完备性”的追求，几乎带有形而上学的色彩。阅读过程中，我常常需要暂停下来，在草稿纸上画出那些向量空间和子域之间的关系图，试图可视化那些抽象的包含与分离。这本书的难度是毋庸置疑的，它假设读者已经对抽象代数的基础概念了如指掌，并能迅速吸收新的、更深层次的定义。它不是为初学者准备的快速入门指南，而是一次对数学精英阶层思维方式的深入体验，那种对抽象美感的追求，令人心驰神往。

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老实说，这本书的排版设计简直是场灾难，小小的字体塞满了密集的段落，公式和定理挤在一起，看起来压力山大。我不得不准备放大镜和大量的便签纸来标记那些关键的跳转点。但奇怪的是，一旦我适应了这种视觉上的压迫感，我开始意识到，这种紧凑感或许是作者刻意为之，旨在模拟早期数学文献那种不容置疑的严肃性。它没有那些花哨的图表来分散注意力，一切都依赖于读者的心智模型来构建。我发现，这本书对“可解性”的定义和探讨，是建立在一个极其稳固的集合论基础之上的，每一步都遵循着最严格的形式主义原则。读到关于有限域上循环群的章节时，我感觉自己像是在攀登一座没有台阶的峭壁，只能依靠手臂和腿的力量向上爬升。它要求读者投入几乎全部的认知资源，但作为回报，你获得的将是对数学结构最纯粹、最无菌的理解。

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这本书的封面设计简洁得有些过分了，但一旦翻开扉页，你立刻会被那种扑面而来的数学气息所震撼。它不像我读过的其他那些“科普”性质的数学读物，试图用各种生动的比喻来降低理解门槛。恰恰相反，它直截了当地把读者扔进了抽象代数的深水区，那些密密麻麻的符号和公理体系，像是精心编织的迷宫，每一步都需要极其谨慎的逻辑推演。我尤其欣赏作者在引入群论基本概念时所展现出的那种克制而精确的语言风格，每一个定义都仿佛是经过千锤百炼才最终落笔，不容置疑，也不留任何解释的余地。对于那些真正渴望在纯粹的数学结构中遨游的读者来说，这种挑战性恰恰是最大的吸引力。它不是在教你怎么“应用”数学，而是在让你“成为”数学的一部分，去感受那些结构内在的必然性。我花了好几个下午才勉强跟上第一章的节奏，那种豁然开朗的瞬间，带来的成就感远超任何娱乐活动。这本书的阅读体验，与其说是学习，不如说是一场与冰冷而崇高的逻辑本身的严肃对话。

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