Invariants of Quadratic Differential Forms pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Veblen, Oswald

出品人:

页数:112

译者:

出版时间:2004-6

价格:$ 40.67

装帧:

isbn号码:9780521604840

丛书系列:

图书标签:

• Quadratic differential forms
• Invariants
• Algebra
• Mathematics
• Differential geometry
• Topology
• Classification
• Representation theory
• Linear algebra
• Polynomials

《二次微分形式不变量》 本书深入探讨二次微分形式及其在几何学和物理学中的不变量。二次微分形式作为一种基础的几何对象，在黎曼几何、辛几何以及偏微分方程等领域扮演着核心角色。本书旨在为读者提供一个严谨而全面的视角，理解这些形式的内在属性如何保持不变，以及这些不变性所揭示的深刻几何结构。 核心概念与理论框架 本书首先将从二次微分形式的基本定义出发，阐述其代数结构以及与度量张量、曲率张量等关键几何对象的联系。我们将详细介绍如何通过外微分、内导数等算子来操作二次微分形式，并引入流形上的微分几何语言，为后续的不变量理论奠定基础。 不变量的识别与构造 不变量的识别是本书的核心内容之一。我们将探讨如何通过特定的运算或构造来提取二次微分形式的内在属性，这些属性在坐标变换或度量变换下保持不变。这包括但不限于： 迹与行列式： 在局部坐标系下，二次微分形式可以表示为一个矩阵。其迹和行列式在坐标变换下是不变的，它们提供了关于二次微分形式的初级几何信息。 特征值与特征向量： 对于某些特殊的二次微分形式（如度量张量），其特征值和特征向量在特定的变换下也具有不变性，它们揭示了流形上局部长度和方向的本质属性。 曲率不变量： 黎曼流形上的曲率张量蕴含了丰富的几何信息，其不变的组合，如Ricci标量、Cotton张量等，是描述流形几何性质的关键量。本书将详细分析这些不变量与二次微分形式之间的关系。 外尔张量与内禀曲率： 对于非平坦的黎曼流形，外尔张量描述了由于曲率引起的体积畸变，它是一个重要的不变量。我们将深入研究外尔张量与二次微分形式的联系，以及它如何捕捉流形的共形几何性质。 辛结构下的不变量： 在辛几何中，辛形式（一种特殊的二次微分形式）的不变性是其研究的基石。我们将讨论辛形式的泊松括号、李导数等概念，以及它们在辛流形分类和动力系统研究中的作用。 不变量的几何意义与应用 本书不仅仅关注不变量的计算和定义，更着重于阐释这些不变量所蕴含的深刻几何意义。我们将展示不变量如何： 刻画流形的几何性质： 例如，正曲率、负曲率等概念都与二次微分形式的不变量密切相关。通过研究不变量，我们可以对流形的局部和整体几何形状进行分类和描述。 理解等距映射与共形映射： 不变量在研究流形之间的等距映射和共形映射时至关重要。如果两个流形在某些不变量上相等，那么它们可能具有相似的几何结构。 联系物理学原理： 二次微分形式在物理学中有着广泛的应用，尤其是在广义相对论和量子场论中。例如，度量张量是描述时空几何的核心，而其不变量则与物理定律的普适性息息相关。我们将探讨爱因斯坦场方程中的标量曲率等不变量的物理意义。 指导方程的可积性与解的存在性： 在偏微分方程领域，二次微分形式的不变量常常出现在方程的可积性条件中，或者用于证明解的存在性、唯一性以及稳定性。 进阶专题与研究前沿 本书还将触及一些更具挑战性的专题，为读者未来的研究方向提供启发： 类比到更高阶张量： 将二次微分形式不变量的思想推广到高阶张量，探索它们的共变不变量和逆变不变量。 非阿贝尔微分形式的不变量： 考察在非阿贝尔几何中，广义的微分形式的不变量性质。 数值计算与可视化： 探讨如何利用计算工具来逼近和可视化二次微分形式的不变量，特别是在复杂流形上的应用。 目标读者 本书适合数学系研究生、从事几何学、拓扑学、理论物理学等领域的研究人员。对于希望深入理解微分几何及其在其他学科中应用的本科生，本书也将是一个宝贵的参考。 学习本书，您将能够： 熟练掌握二次微分形式的数学工具。 理解和计算各种重要的几何不变量。 分析不变量的几何和物理意义。 为进一步深入研究微分几何和相关领域打下坚实基础。 本书以严谨的数学语言和清晰的逻辑结构，带领读者一同探索二次微分形式的深邃世界，揭示隐藏在其背后的普适性与不变性。

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这本书的装帧设计非常有品味，封面采用了一种低调而深沉的藏蓝色，搭配烫金的书名，散发出一种古典而又严肃的气息。拿到手里时，那种厚重感和纸张的质感立刻就能让人感受到作者和出版社在制作上的用心。内页的排版干净利落，字体选择既易于阅读，又保持了学术著作应有的严谨性。我特别欣赏它在公式和定理的呈现上所做的努力，清晰的层次结构和恰到好处的留白，使得复杂的数学表达式也显得井井有条，即便是初次接触这个领域的读者，也不会感到过于压迫。书的腰封上印着几句极具煽动性的引言，虽然内容无法得知，但这种包装手法无疑为这本书增添了一份神秘感和吸引力。整体来看，这绝对是一本摆在书架上就能让人心生敬意的作品，它的物理形态本身就传达出一种对知识的尊重。从装帧到印刷质量，都体现了极高的水准，让人忍不住想花时间去细细品读其中的内容。

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初翻阅此书时，最令人印象深刻的是它对数学史背景的叙述方式。作者似乎并不急于抛出核心的理论，而是选择了一条“溯源而上”的路径。通过对早期微分几何和代数几何发展历程的详尽梳理，作者成功地将读者带入了一个更广阔的视角。我尤其喜欢其中穿插的一些关于十九世纪末期欧洲数学家们争论的轶事，这些片段使得原本可能枯燥的理论演变过程变得生动起来，充满了人性的光辉与挣扎。它不像许多教科书那样冷冰冰地陈述事实，反而更像是一位资深学者在娓娓道来一段宏大的科学史诗。这种叙事手法极大地激发了我探索更深层次问题的兴趣，让人感觉这不是一本单纯的公式手册，而是一部关于人类智慧如何逐步构建复杂数学体系的编年史。对于希望了解某个特定数学概念是如何在历史长河中被孕育和完善的读者来说，这无疑是一笔宝贵的财富。

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这本书在章节间的逻辑衔接上做得非常出色，过渡自然流畅，几乎没有突兀感。我发现作者极擅长使用“桥梁性引言”来连接看似不相关的概念。例如，在讨论到某种拓扑结构与特定代数结构之间的关系时，作者并没有直接跳跃到证明，而是先用一个形象的比喻，阐述了为何需要建立这种联系，这种“铺垫”的艺术让人感到非常舒服。读起来，我仿佛正在跟一位耐心的导师进行一对一的交流，他总能预见到我在哪个地方可能会产生困惑，并提前为我准备好了思路的指引。这种行云流水的阅读体验，在专业学术著作中是相当罕见的。它不像某些书籍那样，每一页都充满了密集的符号和需要反复查阅的脚注，而是鼓励读者保持思维的连贯性，一步步深入到问题的核心。对于需要构建完整知识体系的学习者而言，这种结构上的严密性是至关重要的。

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就可读性而言，这本书的行文风格带有一种独特的英式幽默和学者式的克制，偶尔会蹦出一两句令人会心一笑的评论，但绝不会影响其学术的严肃性。我注意到作者在解释某些高度抽象的概念时，会引用大量的几何直觉作为辅助理解，这对于我这种更偏爱几何表述的读者来说，是极大的福音。书中的图示虽然数量不多，但每一张都经过精心设计，能够一语道破那些需要花费大量文字才能描述清楚的结构关系。虽然这本书的篇幅看起来不小，但阅读速度可以根据读者的背景知识进行灵活调整，对于初级学习者，可以侧重于概念的理解和图示的辅助；而对于资深研究者，则可以专注于那些极度精炼的论证细节。总而言之，它在学术深度和阅读体验之间找到了一个令人赞叹的平衡点。

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我尝试着去应用书中所介绍的某些高级技巧来处理我目前正在研究的一个小问题，发现其中的方法论具有极强的普适性和灵活性。作者似乎没有局限于传统的、已经被泛滥使用的证明模式，而是提供了一系列新颖的、甚至可以说是“异想天开”的工具箱。特别是关于如何构建某些特定不变量的章节，其论证过程极其精妙，充满了数学家特有的那种“灵光乍现”的美感。它迫使我跳出固有的思维定势，去思考那些在教科书中被视为理所当然的基础假设。这种对思维边界的拓展，远比单纯掌握某个知识点更有价值。这本书的深度和广度，让我重新审视了我对这个领域理解的深度，感觉自己像是站在了一个更高的山丘上，俯瞰着整个知识的全貌，而非仅仅在山谷中摸索路径。

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