Singularities of Plane Curves pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Eduardo Casas-Alvero

出品人:

页数:364

译者:

出版时间:2000-8-31

价格:GBP 47.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521789592

丛书系列:London Mathematical Society Lecture Note Series

图书标签:

• Plane Curves
• Singularities
• Algebraic Geometry
• Complex Analysis
• Differential Geometry
• Topology
• Mathematics
• Pure Mathematics
• Curve Theory
• Intersection Theory

《奇异点：解析平面曲线的隐藏之美》 本书将带您踏上一段深入探索平面曲线奇异点奥秘的迷人旅程。我们不再将奇异点视为需要规避的“瑕疵”，而是将其视为理解曲线几何性质和代数结构的关键线索。通过清晰的理论阐述和丰富的几何直观，本书旨在揭示奇异点背后隐藏的深刻数学思想，以及它们在代数几何、拓扑学乃至更广泛数学分支中的重要作用。 一、 什么是奇异点？ 我们将从最基本的概念出发，清晰地定义平面曲线的奇异点。你将了解到，与光滑点不同，奇异点是曲线上的那些“尖锐”的、“自交”的、或者“退化”的区域。我们不仅仅关注其存在，更会深入分析奇异点的分类：孤立奇点、尖点、双重点等等，每一种奇异点都诉说着关于曲线局部行为的独特故事。本书将详细介绍判断一个点是否为奇异点的方法，无论是从解析几何的切线角度，还是从代数几何的理想论角度，都将给出严谨的推导和直观的解释。 二、 奇异点的局部几何特性 奇异点并非孤立的存在，它们深刻地影响着曲线的局部几何形状。本书将详细剖析奇异点附近的局部结构。你将学习到如何利用局部解析化的思想，将复杂的奇异点行为转化为更易于理解的局部幂级数形式。例如，我们将深入探讨普累虚耳（Puiseux）级数，这种强大的工具能够描述任意代数曲线在奇异点附近的“分支”，揭示其局部拓扑结构。我们将通过大量的例子，展示不同类型奇异点所呈现出的丰富多样的局部形状，从简单的尖点到复杂的交织点，都将在书中得到细致的刻画。 三、 奇异点的代数结构 奇异点的几何表现与其背后的代数结构息息相关。本书将系统介绍代数几何中研究奇异点的重要工具。我们将深入探讨局部环（Local Rings）的概念，并着重分析在奇异点处，局部环的性质如何体现其“非光滑性”。你将学习到模（Modules）、理想（Ideals）以及维数（Dimension）等代数概念如何帮助我们量化奇异点的“严重程度”。一个核心的概念是奇异度（Singularity Degree），我们将通过不同的计算方法，如Milnor数（Milnor Number）和Tjurina数（Tjurina Number），来衡量奇异点的“复杂性”。这些代数工具将为我们理解奇异点的分类和性质提供坚实的理论基础。 四、 奇异点的消解（Resolution of Singularities） 奇异点虽然为我们带来了研究上的挑战，但也激发了数学家们发展出强大的技术来“解决”它们。本书将重点介绍奇点消解这一核心概念。我们将详细讲解吹胀（Blowing Up）这一基本操作，它是一种将奇异点“替换”为光滑空间的强大技术，使得原先在奇异点处无法定义的切线和几何对象变得可以良好定义。通过层层递进的吹胀操作，我们可以将任何代数曲线的奇异点转化为一系列光滑的“除数”，从而将复杂问题转化为光滑情形下的研究。本书将通过具体的例子，清晰地展示如何进行奇异点消解，并解释消解过程如何揭示了曲线更深层的几何信息。 五、 奇异点在不同领域的应用 奇异点的研究并非纯粹的理论探索，它们在数学的各个领域以及物理学等学科中都扮演着至关重要的角色。本书将带您领略奇异点应用的广阔天地： 代数几何： 奇异点是理解代数簇（Algebraic Varieties）性质的关键。对奇异点的深入研究是分类和研究代数簇的基础。 微分几何： 奇异点在描述曲面的局部几何行为，如极小曲面（Minimal Surfaces）的构造中起到关键作用。 拓扑学： 奇异点与曲线的拓扑不变量（Topological Invariants）紧密相连，研究奇异点可以帮助我们理解曲线的整体拓扑结构。 复分析： 在复平面上，函数零点和极点的行为与曲线的奇异点有着深刻的联系。 物理学： 奇异点的概念在现代物理学中也有着广泛的应用，例如在黑洞的描述中，奇点是时空曲率无限大的区域。在相变过程中，系统的某些物理量也可能表现出奇异行为。 本书特点： 理论与直观并重： 我们力求在严谨的数学推导之外，提供丰富的几何图示和直观解释，帮助读者建立深刻的理解。 循序渐进的难度： 从基本概念出发，逐步深入到更复杂的理论和技术，适合具有一定数学基础（如微积分、线性代数）的读者。 丰富的实例分析： 大量的具体例子将贯穿全书，帮助读者将抽象理论应用于实际问题。 激发进一步探索： 本书旨在为读者构建坚实的理论框架，激发他们对平面曲线奇异点及其相关数学领域的进一步探索兴趣。 无论您是代数几何的研究者，还是对数学的深刻之处充满好奇的爱好者，本书都将为您打开一扇通往平面曲线奇异点世界的大门，让您领略其中蕴含的精妙与和谐。

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老实说，当我真正开始阅读那些核心证明部分时，我感到了一种久违的学术上的“紧张感”。作者在处理那些高维度的抽象概念时，所采用的数学语言极其凝练，几乎没有一句多余的话。这对于习惯了口语化表达的现代读者来说，无疑是一个挑战，但对于致力于严谨治学的学者而言，这恰恰是黄金标准。我特别欣赏作者在引入新概念时，总是会先从一个极简的例子入手，尽管那个例子本身也足够烧脑，但它确实为后续的宏大理论搭建了一个可触及的基石。不过，我得承认，如果这本书是作为初学者入门的读物，那可能会让人望而却步。它更像是为那些已经熟悉黎曼曲面理论、并且渴望在奇异点分类上有所突破的研究生或青年学者准备的“精工细活”。我花了近一个小时才完全消化其中关于局部环结构与奇点重数之间关系的那一小节，那种醍醐灌顶的感觉，远胜过阅读十篇普通综述。

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阅读完前三章，我最大的感受是作者对数学美学的追求。他不仅仅是在解决技术问题，更像是在雕刻一个完美的数学对象。书中引入的许多辅助工具和引理，起初看起来似乎与主线有些偏离，但随着章节的深入，你会发现它们如同精密的齿轮一样，环环相扣，最终指向对奇点分类的完备描述。我特别欣赏作者在证明的结尾处，会用一种近乎诗意的语言来总结某个核心结论的几何意义，这在高度形式化的数学著作中是极为罕见的温柔。这本书要求你投入大量的时间和心力，它不会轻易地将秘密交给你，但一旦你破解了其中的某一个难关，那种成就感是无与伦比的。它无疑将成为我未来研究中，一本需要时不时翻阅、并会带来新启发的参考书。

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这本书的论述风格，我用“剑走偏锋”来形容或许最为贴切。它避开了许多教材中常见的、旨在让概念“平滑落地”的冗长铺垫，而是直接切入问题的核心肌理。这种处理方式的优点是效率极高，知识密度惊人；但缺点也很明显，那就是对读者的专注度和现有知识储备要求极高。我注意到，作者似乎对某些经典证明手法持有一种批判性的重构态度，他没有墨守成规，而是用一种更贴合其内在逻辑的新方法来重新审视已经被公认的定理。这种重构过程，虽然增加了理解的难度，却也为我们理解这些数学对象的本质提供了新的视角。例如，他对模空间（Moduli Space）的某些描述，就跳出了传统代数几何的框架，引入了更多拓扑动力学的思考，这无疑是本书中最具创新性、也最值得细细品味的部分。

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这本书的封面设计着实引人注目，那种深邃的蓝与边缘的金色线条交织在一起，透露出一种既古典又前沿的气息。我刚翻开目录，就被其中严谨的结构所吸引。它似乎并不打算提供一个轻松愉快的阅读体验，更像是一份精心打磨的学术地图，为那些已经对代数几何和拓扑学有一定基础的读者指明了深入探索的路径。我特别关注到其中对于“奇点”这一概念的引入，作者似乎在试图搭建一座桥梁，连接纯粹的代数运算与几何直观理解之间的鸿沟。这种对细节的执着，从排版上的微小调整就能窥见一斑，每一章节的过渡都显得深思熟虑，仿佛在引导读者进行一次结构性的思维重塑，而非简单的知识点堆砌。从我初步的浏览来看，这本书的价值可能更多地体现在它如何系统化地组织和呈现复杂理论，而非仅仅是信息的罗列。它更像是一部工具书，需要读者带着问题和一定的背景知识去“啃食”，才能真正体会到其精妙之处。

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从装帧和印刷质量来看，这绝对是一本经得起时间考验的著作。纸张的质感非常出色，即使在长时间的荧光灯下阅读，眼睛的疲劳感也相对较轻。这体现了出版社对专业学术书籍应有品质的重视。然而，评价一本书的价值，终究还是要回归到内容本身。这本书最大的特点在于其对“不变性”的执着探索。作者反复强调，无论我们如何对平面曲线进行局部微扰或全局形变，总有一些内在的、不可磨灭的特征会保留下来，而这些特征，正是“奇点”的密码。这种哲学的深度渗透在冰冷的数学公式之中，使得阅读过程充满了智力上的愉悦。它不是在教你如何计算，而是在教你如何“看透”曲线的内在命运，这种思维上的升华，是许多同类书籍所缺乏的。

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