Fundamentals of Real Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Berberian, Sterling K.

出品人:

页数:494

译者:

出版时间:1998-10

价格:$ 90.34

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isbn号码:9780387984803

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《解析几何的璀璨光辉：从二维平面到高维空间的探索》 本书旨在为读者构建一个扎实而全面的解析几何知识体系，带领大家深入理解几何图形在代数方程中的优雅表达，以及代数方程如何精准地勾勒出几何世界的奇妙形态。我们不触及实数分析的抽象理论，而是专注于几何与代数交织产生的深刻洞见和实用应用。 第一部分：平面上的几何舞步 我们将从大家最熟悉的二维平面出发，回顾并深化对基本几何对象的认识。 直线与圆的协奏曲： 我们将详细探讨直线的方程形式，包括点斜式、斜截式、两点式、截距式以及一般式，并深入分析它们之间的几何意义。直线与直线之间的平行、垂直、相交关系将被量化分析。随后，我们将引入圆的方程，探讨其标准方程、一般方程，以及如何通过方程确定圆心、半径和位置。我们将研究直线与圆的相交情况——相离、相切、相交，并利用代数方法求解交点。 二次曲线的迷人曲线： 抛物线、椭圆和双曲线是解析几何中最具代表性的曲线。我们将从它们的几何定义（如到定点、定线的距离关系）出发，推导出它们的标准方程。书中将详细讲解如何识别不同形式的二次曲线方程，并分析其顶点、焦点、准线、离心率等重要几何元素。我们将学习如何通过方程变换（平移、旋转）来简化曲线的表达，以及如何利用这些曲线的性质解决实际问题，例如天体轨道、抛物线天线的设计等。 几何变换的魔力： 学习解析几何，不能不提及几何变换。我们将深入探讨平移、旋转、反射和伸缩等基本变换，理解它们如何影响几何图形的方程。通过矩阵的语言，我们将更简洁地表达和理解这些变换，为进一步探索高维空间打下基础。 第二部分：空间的维度飞跃 在牢固掌握二维平面上的解析几何后，我们将自然地迈向三维空间，体验维度提升带来的广度和深度。 点、线、面的立体交响： 在三维空间中，我们将学习如何表示点，并引入向量的概念来描述方向和大小。我们将学习向量的加减、数乘、点积和叉积，理解它们在几何中的应用，例如判断向量平行、垂直，计算夹角，求解投影等。直线在三维空间中将以参数方程和对称方程的形式出现，我们将分析两条直线的位置关系——平行、相交、异面。平面方程的引入将是三维几何的关键，我们将学习平面的点法式、截距式和一般式方程，并分析点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关系。 曲面世界的奇幻之旅： 类似于二维的二次曲线，三维空间中存在着丰富的二次曲面，如球面、椭球面、抛物面（椭圆抛物面、双曲抛物面）、双曲面（单叶双曲面、双叶双曲面）等。我们将从它们的几何特征出发，推导并分析它们的标准方程，理解不同方程形式所对应的曲面形状。本书将重点展示如何通过方程来可视化和理解这些复杂的三维图形，以及它们在科学和工程中的应用，如工程设计、物理模拟等。 高维空间的初步探秘： 虽然本书的重点放在二维和三维，但我们将触及更高维度的概念，说明解析几何的思想如何自然地推广到任意维度。通过向量空间和线性代数的工具，我们将看到高维空间的直线、平面等对象依然可以用代数方程来描述，为读者提供一个宏观的视野。 本书特色： 直观与严谨并存： 我们力求在概念讲解上力求直观易懂，通过丰富的图示和生动的例子帮助读者建立几何直觉，同时保持数学推导的严谨性。 强调代数与几何的联系： 本书的核心在于揭示代数方程与几何形状之间不可分割的联系，让读者理解如何用代数工具来描述、分析和操纵几何对象，反之亦然。 丰富的例题与习题： 每章都配有大量的例题，详细解析解题思路，并提供不同难度层次的习题，帮助读者巩固所学知识，提升解题能力。 注重实际应用： 在介绍理论知识的同时，本书会穿插介绍解析几何在物理学、工程学、计算机图形学、天文学等领域中的实际应用，激发读者的学习兴趣。 本书适合对象： 对数学充满好奇，希望深入理解几何与代数关系的大学生。 需要巩固和拓展解析几何知识的理工科学生。 对几何概念在现实世界中应用的读者。 任何希望通过严谨的数学语言探索空间美学的学习者。 通过《解析几何的璀璨光辉》，您将不仅掌握一套强大的数学工具，更能领略到几何之美在代数世界中的回响，为进一步学习更高等的数学和解决实际问题打下坚实的基础。

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我对这本书的评价，必须从它对“证明的艺术”的培养作用说起。很多分析学的教材只是罗列了证明，但很少有教材能真正地“教你如何思考”。这本书在这方面做得极为出色，它不仅仅告诉你“结论是什么”以及“如何验证结论”，更深层次地展示了“为什么是这个结论”以及“如何发现这个结论的思路”。特别是在章节的末尾，经常会穿插一些关于“思想启发”的讨论，这些讨论往往不涉及复杂的计算，而是关于如何构建一个反例，或者如何从一个已知的简单情况推广到复杂情况的思维路径。例如，在探讨黎曼积分与勒贝格积分的联系时，它没有直接跳到测度论的复杂性，而是先通过一系列构造好的函数序列，巧妙地揭示了传统黎曼积分的局限性，从而为引入更强大的工具（如勒贝格积分）奠定了坚实的理论基础和动机。这种层层递进、以问题驱动的叙事结构，使得学习过程不再是被动接受，而更像是一场主动的数学探险。对于有志于从事数学研究的读者来说，这种对“发现过程”的强调，远比单纯掌握一套技巧要宝贵得多。它教会我的，是如何在面对一个全新的数学问题时，能够沉下心来，系统地分解、猜想，并最终以严谨的方式去攻克它。

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这本书的选材广度和深度拿捏得恰到好处，明显超越了普通微积分课程的范畴，但又避开了过度专业化、晦涩难懂的纯粹集合论或泛函分析的泥潭。它精准地定位在了“从微积分到现代分析”的过渡地带。我尤其欣赏它在引入现代分析概念时所采用的渐进式策略。例如，在实数完备性的讨论之后，立即深入到序列收敛性、函数的连续性，然后自然而然地引入了紧致性这一极其强大的工具。紧致性的概念，初看之下，似乎只是一个复杂的拓扑性质的组合，但通过本书的讲解，我深刻理解了它如何简洁有力地替代了许多需要复杂不等式操作的传统证明。作者巧妙地将许多经典定理（如Bolzano-Weierstrass）置于紧致性的框架下重新审视，这不仅加深了对紧致性的理解，也展示了数学理论的统一性与优雅。此外，书中对度量空间和拓扑空间的引入也十分克制且有效，它们不是作为独立的知识点被强行塞入，而是作为解决具体分析问题的必要工具被逐步引入，确保了读者始终能感受到理论的实用性和目的性，避免了为了抽象而抽象的弊端。

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我不得不提一下本书在习题设计上的独到匠心。分析学的学习，归根结底是做题和证明。一个好的教材，其习题集应该既能巩固基础概念，又能激发对更深层次问题的思考。这本书的习题集做到了这两点，并且体量适中，避免了陷入无休止的重复计算。基础的练习题往往直接对应于刚刚学过的某个定义或引理的应用，确保了基本功的扎实。但更精彩的是那些“选做”或标记为“挑战”的题目。这些题目往往不是直接的计算或证明，而是引导你思考现有理论的边界，或者要求你构造一个满足特定性质的函数或序列。比如，有一个题目要求你证明一个关于单调收敛定理的‘逆’命题在某种特定条件下不成立，这迫使我必须跳出教科书给出的标准范式，去主动寻找那些理论的“灰色地带”。这种设计极大地培养了读者的批判性思维和创造性解决问题的能力，让我深刻体会到数学并非只有教科书上的标准解答，而是充满了探索的空间。这样的习题设置，真正将学习过程从“知识的接收”转化为了“知识的再创造”。

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这本书的语言风格可以说是极其“精炼”与“精确”的混合体，虽然这在某种程度上意味着它对读者的预备知识有一定的要求，但一旦跨过最初的门槛，其效率是无与伦比的。作者的用词极其考究，每一个介词、每一个限定词都可能隐含着严格的数学意义。这迫使读者必须以一种近乎“字斟句酌”的态度去阅读和理解每一个句子。例如，在区分“存在”与“唯一存在”时，作者的措辞变化是微妙但至关重要的。这种严谨性在初读时可能会让人感到一丝阅读上的阻力，但随着阅读的深入，你会发现正是这种不留余地的精确性，才保证了后续所有定理的可靠性。它成功地在“易读性”和“数学的忠实性”之间找到了一个偏向后者的平衡点。对于那些已经具备扎实微积分基础，渴望进入数学系高阶课程的工程或物理背景的学生来说，这种直接、不加粉饰的叙述方式是最高效的知识获取途径。它提供的不是安逸的阅读体验，而是一套精密的思维训练工具，让你习惯于在数学的“零误差”世界中工作。

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这部教材给我带来的最直观感受是，它在严谨的数学逻辑和清晰的教学引导之间找到了一个绝佳的平衡点。初次接触实分析这个领域时，很多概念的抽象性和证明的复杂性曾让我望而却步，总觉得隔着一层厚厚的理论迷雾。然而，这本书的叙述方式却像一位经验丰富、极富耐心的导师，总能在关键时刻提供恰到好处的几何直觉或具体的例子来锚定那些飘忽不定的抽象定义。比如，在处理极限和连续性的问题时，作者并没有急于抛出$epsilon-delta$语言，而是先用直观的“逼近”概念铺垫，让读者能够先建立起对“无限接近”的感性认识，这使得后续的符号化处理不再是机械的套用公式，而是对先前理解的精确表达。对于像完备性、测度论这些核心却又容易混淆的概念，作者的处理尤其到位，他们似乎深知初学者容易在哪里‘卡壳’，总是在那些微妙之处用更细致的语言进行澄清，甚至会特意指出一些常见的误解，这对于自学者来说简直是如获至宝。这本书的排版也相当出色，定理、引理和推论的区分清晰明了，使得在回顾知识点时，能够迅速聚焦到核心的结构，而不是被大段的文字淹没。总的来说，它成功地将一门“硬核”的数学分支，打磨成了一部可以被系统、高效学习的经典教材，极大地提升了我的学习信心和对分析学的兴趣。

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