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出版者:

作者:Iserles, Arieh 编

出品人:

页数:580

译者:

出版时间:2005-8

价格:$ 175.15

装帧:

isbn号码:9780521858076

丛书系列:

图书标签:

• 数值分析
• 科学计算
• 数值方法
• 偏微分方程
• 计算数学
• 数值线性代数
• 优化算法
• 离散化
• 有限元
• 计算流体力学

《数论新进展》 概述 《数论新进展》是一部汇集了当代数论领域前沿研究成果的学术专著。本书旨在为数论研究者、研究生及对相关领域感兴趣的学者提供一个全面了解该领域最新动态的窗口。本书并非对某一特定方向的深入探讨，而是力求展现数论研究的多样性与活力，涵盖了从经典数论问题到新兴研究领域的诸多重要进展。本书的内容由多位在各自领域享有盛誉的数学家撰写，他们的研究成果共同勾勒出数论学科的最新轮廓，并为未来的研究指明了方向。 详细内容 本书的结构设计旨在循序渐进地引导读者进入数论的各个重要分支。我们将从数论中最基础也是最核心的概念入手，逐渐深入到更为复杂和抽象的领域。 第一部分：代数数论与解析数论的交汇 在这一部分，我们将重点探讨代数数论和解析数论这两个数论传统上最重要的分支之间的深刻联系以及相互促进。 代数数论的最新进展： 域扩张的算术性质： 我们将深入研究代数数域的结构，特别是其整数环的性质。这包括对理想类群、单位群以及分圆域等经典对象的最新研究成果。研究人员在同构问题、算术模群以及局部域的算术结构等方面取得了显著进展。例如，关于某些特定类型的域扩张（如伽罗瓦扩张）的类数问题，以及它们与L函数值之间的关系，都有新的深刻理解。 数域的弯曲与扭曲： 除了经典的数域，本书还将介绍近年来对“弯曲”（twisted）或“扭曲”（deformed）代数结构的研究。这些结构在编码理论、密码学以及数论的交叉领域有着潜在的应用。我们将探讨如何通过引入特定的扭曲因子来构造新的代数结构，并分析其算术性质。 模形式与伽罗瓦表示： 模形式在数论中扮演着至关重要的角色，它们与代数几何、表示论以及弦理论等领域有着深刻的联系。本书将重点关注模形式与伽罗瓦表示之间的森田理论（Sato-Tate conjecture）及其推广，介绍最新的猜想和证明。特别地，我们将讨论椭圆曲线的L函数与模形式的L函数之间的联系，以及它们如何通过谷山-志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）联系在一起。这些研究为解决费马大定理等经典难题提供了关键的工具。 P-adic分析与p-adic L-函数： p-adic分析是研究数论问题的强大工具。本书将介绍p-adic伽罗瓦理论、p-adic L-函数及其在代数数论中的应用，例如对代数数域的类数公式和zeta函数的p-adic性质的研究。我们将探讨p-adic L-函数的构造、性质以及它们与代数对象（如K-群）之间的深层联系。 解析数论的突破： 黎曼猜想的周边进展： 虽然黎曼猜想本身仍然是一个悬而未决的难题，但本书将聚焦于与黎曼猜想相关的最新研究成果。这包括对zeta函数零点分布的研究，如零点聚类、零点的正负号以及对亚纯函数零点分布的一般性结果。我们将介绍高维zeta函数、L-函数族以及相关随机矩阵理论在理解零点分布方面的应用。 加性数论的新方法： 加性数论研究整数的表示问题，如哥德巴赫猜想、华林问题等。本书将介绍新的解析方法，如圆法（circle method）和筛法（sieve methods）的改进，以及它们在解决经典加性问题中的最新应用。例如，我们将讨论如何利用改进的筛法来处理具有更多变量的加性问题，以及如何结合概率方法来分析这些问题的渐进行为。 素数分布的最新结果： 除了黎曼猜想，素数的分布仍然是数论的核心问题。本书将涵盖关于素数定理的精确形式、素数间隙的下界、以及在算术级数中素数分布的最新研究。我们将介绍基于解析方法的证明技巧，以及它们在处理具有特定性质的素数集合（如孪生素数猜想）方面的进展。 代数数域上的解析方法： 本书还将探讨如何将解析数论的方法推广到代数数域上，例如研究代数数域的zeta函数、理想的分布以及素理想的密度。这为理解代数结构的算术性质提供了新的视角。 第二部分：数论与其他数学分支的交叉 数论并非孤立的学科，它与代数几何、组合数学、表示论、拓扑学乃至理论物理等众多数学领域有着密切的联系。 算术代数几何： 代数簇的算术性质： 将代数几何的工具应用于数论问题是当今数论研究的重要方向。本书将探讨算术代数几何中的核心概念，如模空间、算术曲面、以及阿贝尔簇的算术性质。我们将介绍与椭圆曲线、复数乘法、以及更一般地，与某些特殊代数簇上的点集（如有理点）的分布和结构相关的最新研究。 Grothendieck的仿射景（Etale Sheaves）与Hodge理论的算术推广： Grothendieck的抽象代数几何理论为数论提供了强大的语言。本书将介绍Etale上同调、Motives以及相关猜想（如Hodge猜想、Tate猜想）的最新进展，以及这些理论如何为理解数域上的代数簇提供深刻的洞察。我们将探讨在数域上发展Hodge理论的尝试，以及它在算术对象研究中的潜力。 算术D-模与Holonomic系统： 算术D-模是代数几何与偏微分方程理论相结合的产物，在数论中也有着重要的应用。本书将介绍算术D-模的构造、性质以及它们与L-函数、模形式等数论对象的联系。我们将讨论Holonomic系统的算术性质及其在研究代数簇上的微分方程和L-函数方面的应用。 数论与表示论： L-函数的非交换L-函数（Non-commutative L-functions）： L-函数不仅可以定义在经典的数域上，还可以推广到更一般的代数结构，如非交换代数。本书将介绍非交换L-函数的概念、性质以及它们在研究代数结构的算术性质中的应用，例如与某些非交换代数的迹公式或L-函数值的关系。 量子群与数论： 量子群作为一种特殊的代数结构，在数学和物理学中有广泛的应用。本书将探讨量子群与数论之间的联系，例如量子群的表示论如何影响数论对象的结构，或者某些数论问题如何转化为量子群上的问题。 数域的表示论： 研究数域的伽罗瓦群的表示以及这些表示与数域的算术性质之间的关系是代数数论的核心问题之一。本书将介绍最新的研究成果，包括对特定伽罗瓦群表示的研究，以及它们如何反映数域的算术结构。 数论与其他领域： 编码理论与密码学中的数论： 数论在现代编码理论和密码学中发挥着至关重要的作用。本书将介绍基于数论原理的编码方案，如代数几何码（Ag codes）、纠错码（error-correcting codes），以及基于离散对数问题、整数分解问题等的密码学算法。我们将探讨这些算法的安全性分析以及最新的改进。 数论与理论物理： 数论概念也渗透到理论物理学的许多领域，例如在弦理论、量子场论以及统计力学中。本书将介绍数论与物理学交叉领域的一些重要进展，例如与统计力学中的相变、弦理论中的D-brane数学结构，以及某些可积系统与数论的联系。 组合数学与数论： 组合数学的方法和思想在解决数论问题中也扮演着越来越重要的角色。本书将介绍如何利用组合计数、图论、以及概率组合方法来研究素数的分布、整数的分拆以及其他数论问题。 结论 《数论新进展》是一部具有里程碑意义的学术著作，它不仅全面总结了数论领域近年来最重要的研究成果，更重要的是，它揭示了数论学科不断发展的活力和广阔的未来前景。本书的编写旨在促进数论研究者之间的交流与合作，激励新一代数学家投身于这一迷人的学科。通过阅读本书，读者将能够深刻理解数论研究的深度与广度，并从中获得新的研究灵感和方向。本书的内容力求严谨、深入且具有前瞻性，希望能为所有对数论感兴趣的读者提供一次难忘的学术旅程。

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